Tứ diện BD HSG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I... Ta có mà D là trung điểm của PQ nên AQAR chứng minh tư ng t ta cũng có AQAR ; ARAP.. Mặt khác xét các tam giác vuông APQ;

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I TỨ DIỆN

Tính chất 1: Mặt phẳng (P) cắt ba cạnh SA,SB,SC của tứ diện S.ABC tại A’,B’,C’ khi

đó :

Chứng minh : Để chứng minh tính chất trên ta chứng minh tính chất sau đây trong hình phẳng Cho tam giác SAB đường thẳng d cắt hai cạnh SA,SB tại A’ và B’ khi đó

Thật vậy

Từ C và C’ của tứ diện S.ABC ta kẻ đường cao CH và C’H’ xuống mặt phẳng (SAB)

Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mp(BCD), I là trung điểm của AH, mặt phẳng (P) qua I cắt các cạnh AB; AC; AD tại A’; B’; C’ Chứng minh rằng

Giải: Do tứ diện đều nên H là trọng tâm của tam giác đều BCD

ạ

ư

B

A

C

S

H' H

A'

B'

C'

A

D B

C

B' C'

D'

H I

Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD chứng minh rằng trong đó MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Giải:

D ng hình bình hành ABCE

Dễ thấy

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện

bằng nhau và lần lượt bằng Chứng minh rằng

Giải:

D ng tứ diện AQPR sao cho B,C,D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR,RP,PQ Ta

có mà D là trung điểm của PQ nên AQAR chứng minh tư ng t ta cũng có AQAR ; ARAP

Mặt khác xét các tam giác vuông APQ; AQR; ARP ta có

Giải hệ trên ta được

Vì tứ diện APQR có ba cạnh đôi một vuông góc nên

Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ

diện một khoảng r Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm A,B,C,D đến các mặt đối diện Chứng minh rằng

Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB=a Gọi  là góc hợp bởi hai mặt phẳng (ABC) và

(ABD) CMR

Với là diện tích hai tam giác ABC và ABD

Bài toán 6 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy

bằng ; góc hợp bởi hai mặt bên kề nhau là  Chứng minh rằng

Bài toán 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và

mặt đáy bằng ; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên kề nhau bằng 2

Chứng minh rằng

(HSG vòng 1 An Giang 2011-2012)

E A

D

II TỨ DIỆN VUÔNG

Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc (được gọi là tứ diện vuông) Gọi :

 H là hình chiếu của S lên mp(ABC)

 SA=a, SB=b, SC=c, SH=h

 là góc hợp bởi SH và SA,SB,SC (khi đó lần lượt cũng là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (SBC) , (SCA), (SAB)



Khi đó ta có

Chứng minh:

TC1: Gọi vuông tại S có SH là đường cao nên ta được:

Tam giác BSC vuông tại S có SK là đường cao nên ta được

TC2:

TC3:Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện khi đó

N A

S

C

B

M I

TC4 :Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm

trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng Mx

vuông góc với mp(OBC) qua M

Mặt khác I nằm trên mp trung tr c của đoạn OA nên I nằm trên Mx và

cách mp(OBC) một khoảng a/2

Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp

là

TC5 : Ta có

TC6: theo tính chất 1 ta được

TC7 : áp dụng công thức lượng giác từ TC6 ta được

Một số kết quả về bất đẳng thức

ế

Chứng minh:

ụ

ụ

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpky

Theo TC2 ta được

ụ

ụ

Áp dụng TC1 và Bất đẳng thức Cosi cho ba số ta được

ượ

ề ả ứ

ế Lại theo bài vừa chứng minh ta được

Sử dụng tính chất

ậ

Theo tính chất 4 ta có

Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta được ;

Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta được

Áp dụng TC1 ta được

Vậy

Áp dụng bất đẳng thức Bu nhiacốpky cho ba số ta được:

Nhưng vì nên ta được

Đặt ta được

ư ượ

ậ

Đặt ta được

ấ ằ

Một số kết quả khác

Tài liệu trên có tham khảo Tài liệu Tập huấn phát triển chuyên môn trường chuyên môn toán của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo và của Thầy Lê Lễ THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận năm 2011