DE DA DUYEN HAI VA DBBB KHOI 10

Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau.. Xét một buổi giao lưu gồm 2m học sinh sao cho cứ 3 học sinh bất k

Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình y − 2xy + 7y = −x + 7x + 8

√3 − x + y + 1 = x + x − 4y + 3

Câu 2 (4 điểm) Cho hai đường tròn  1 và  2 cắt nhau tại P và Q, một đường thẳng

d thay đổi đi qua P cắt  1 tại A và cắt  2 tại B sao cho P nằm giữa A và B; C, D là

hai điểm cố định lần lượt thuộc  1 ,  2 sao cho P thuộc tia đối của tia DC Tia BD

và đoạn AC cắt nhau tại X, điểm Y thuộc  1 sao cho đường thẳng PY song song với

đường thẳng BD, điểm Z thuộc  2 sao cho đường thẳng PZ song song với đường thẳng

AC Gọi I và J lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ và CDQ

a) Chứng minh rằng đường thẳng IJ vuông góc với đường thẳng

b) Chứng minh rằng đường thẳng YZ luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi

Câu 3 (4 điểm) Cho số nguyên tố p và ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x<y<z<p

Chứng minh rằng nếu ≡ ≡ (mod p) thì + + chia hết cho x+y+z

Câu 4 (4 điểm) Xét các số thực dương x, y và z thỏa mãn x + y + z ≤ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= √ + + √ √ + √ + + +

Câu 5 (4 điểm) Có 42 học sinh tham gia một buổi giao lưu Biết rằng cứ 3 học sinh bất

kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau

Kí hiệu là số cặp đôi như thế Tìm giá trị nhỏ nhất của

-Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII

MÔN: TOÁN; KHỐI: 10

Ngày thi: 18/04/2015

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề này có 05 câu; gồm 01 trang)

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10

(Hướng dẫn chấm này có 04 trang)

2

a Vì ACQP và PDQBlà các tứ giác nội tiếp nên ta có

XAQCAQ CPQ  DPQ   DBQ XBQ nên

AXQB nội tiếp (1)

1,0

Vì AXQB và BPDQ là các tứ giác nội tiếp nên ta có

QXC  ABQ PBQCDQ nên tứ giác XDQCnội tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra QX là trục đẳng phương của hai đường tròn

ABQvà CDQdo đó IJ XQ

1,0

b Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng YZ đi qua điểm Qcố định và

đường thẳng này cũng đi qua điểmX

Vì XDQCnội tiếp nên DQX  DCX  PCA (3)

Chứng minh tương tự ta được Y, ,Q X thẳng hàng

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1,0

3 Trong lời giải này, tất cả các đồng dư thức đều là modulo p

Từ giả thiết ta có y − x ≡ 0 , suy ra

C

Sử dụng (2) ta có (x + y) ≡ xy, kết hợp với x + y ≡ −z ta được

z ≡ xy, thay trở lại (2) ta có x + y + z ≡ 0 (6)

Kết hợp với (6) ta có x + y + z chia hết cho 2p (vì p > 2)

Suy ra điều phải chứng minh

1 4y

1 4z

5 Ta sẽ giải bài toán tổng quát:

Bài toán Cho m là số nguyên dương lớn hơn 1 Có 2m học sinh tham

gia một buổi giao lưu Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất

một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với

nhau Kí hiệu k là số cặp đôi như thế Tìm giá trị nhỏ nhất của k

Lời giải Với mỗi số nguyên dương m > 1, rõ ràng tồn tại giá trị nhỏ

nhất của k, ta ký hiệu giá trị này bởi k(m)

Ta thấy k(2) = 2

Bây giờ giả sử m > 2

Xét một buổi giao lưu gồm 2m học sinh sao cho cứ 3 học sinh bất kỳ,

đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm

học tập với nhau và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng k(m)

1,0

Tồn tại ít nhất 2 học sinh (ký hiệu là A và B) không trao đổi học tập

với nhau, loại A và B ra khỏi buổi giao lưu này ta có một buổi giao lưu

gồm 2(m-1) học sinh mà cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp

đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau

2,0

Chú ý khi chấm:

1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi

tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa Các cách giải

khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không

được quá số điểm dành cho câu, phần đó

2 Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,5 điểm và phải thống nhất

trong cả tố chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm Không làm

tròn điểm

3 Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong tổ

chấm và ghi vào biên bản

trong buổi liên hoan mới sẽ không ít hơn k(m − 1), mà mỗi học sinh

trong buổi liên hoan mới sẽ trao đổi kinh nghiệm học tập với A hoặc B

(vì A và B không trao đổi học tập với nhau), suy ra k(m) ≥

k(m − 1) + 2(m − 1)

Do đó k(m) ≥ m(m − 1) với mỗi số nguyên dương m>1 (1)

Với mỗi số nguyên dương m>1, ta xét một buổi giao lưu gồm 2m học

sinh như sau:

Các học sinh trong buổi giao lưu thuộc một trong hai nhóm (gọi là X

và Y) Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một,

nhóm Y gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một Mỗi học

sinh của nhóm này đều không có trao đổi học tập với bất kỳ một học

sinh nào của nhóm kia

Rõ ràng trong buổi giao lưu này, cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất

một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau

và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng m(m-1)

Suy ra k(m) ≤ m(m − 1) với mỗi số nguyên dương m>1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra k(m) = m(m − 1) với mỗi số nguyên dương

m>1

Trở lại bài toán ban đầu

Theo trên ta có giá trị k bé nhất là k(21)=420

1,0

Cho đường tròn ( ) O và dây AB Các đường tròn ( ) O1 và ( ) O2 nằm về một phía đối

với đường thẳng AB, tiếp xúc với nhau tại T đồng thời tiếp xúc với AB và tiếp xúc

trong với đường tròn ( ) O Tiếp tuyến chung tại T của các đường tròn ( ) O và 1 ( ) O 2

cắt đường tròn ( ) O tại C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng AB có

chứa hai đường tròn ( ) O và 1 ( ) O ) Chứng minh rằng T là tâm đường tròn nội tiếp 2

tam giác ABC

Câu 3 (4 điểm)

Cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn 2016 1 m  là ước của 2016 1 n  Chứng

minh rằng m là ước của n

Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn ra 64 tập con X , 1 X , , 2 X của tập X (mỗi 64

tập con đều chứa nhiều hơn 1008 phần tử) Chứng minh tồn tại tập con A của X có số

phần tử không vượt quá 6 mà A X  i   , với 1 64 i  ,

- HẾT - (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và các loại máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10

(Hướng dẫn này có 05 trang)

Điều kiện xác định:    3 y 3 Phương trình 1 ( ) tương đương với phương trình:

  3 3

2 1

x y   x  1

Trang 3

Câu 2

(4 điểm) Cho đường tròn ( ) O và dây AB Các đường tròn ( ) O 1 và ( ) O2 nằm về một

phía đối với đường thẳng AB, tiếp xúc với nhau tại T đồng thời tiếp xúc với

AB và tiếp xúc trong với đường tròn ( ) O Tiếp tuyến chung tại T của các đường tròn ( ) O và 1 ( ) O cắt đường tròn ( ) 2 O tại C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng AB có chứa hai đường tròn ( ) O và 1 ( ) O ) 2

Chứng minh rằng T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

(Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng) Lời giải

+ Gọi E, F, M, N lần lượt là tiếp điểm ( ) O1 , ( ) O2 với đường tròn ( ) O và

AB như hình vẽ Gọi K là giao điểm thứ hai của EF với ( ) O

Ta có các điểm E, O , O thẳng hàng; các điểm M, 1 O , O thẳng hàng 2

1,0 đ

+ Hơn nữa    EKO OEF O FE   1  O F OK  OK AB 1 //  Vậy K là điểm chính giữa cung AB

Như vậy EF đi qua điểm chính giữa K của cung AB

+ Chứng minh tương tự ta cũng có MN cũng đi qua K

+ Ta có các cặp tam giác đồng dạng KAF  và KEA  ; KBN  và KMB 

Từ đó KA KF KE KT 2   2 , suy ra KA KT 

Ta lại có KA KB  , suy ra KA KB KT  

Vì vậy các tam giác KAT và KBT cùng cân tại K

Do đó       CAT ATK ACT TAK BAK TAB      Suy ra AT là phân giác của  CAB (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (đpcm)

(Chuyên Vĩnh Phúc) Lời giải

Cộng theo vế ba BĐT trên suy ra BĐT 2 ( ) được chứng minh

Vậy BĐT ( ) được chứng minh 1

Câu 5

(4 điểm) Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn ra 64 tập con tập X (mỗi tập con đều chứa nhiều hơn 1008 phần tử) X1, X2, , X64 của

Chứng minh tồn tại tập con A của X có số phần tử không vượt quá 6 mà

i

A X    , với 1 64 i  ,

(Chuyên Thái Bình) Lời giải

Tổng số phần tử trong 64 tập con lớn hơn 64.1008 32.2016  Vì vậy tồn tại một phần tử a của tập X thuộc ít nhất 33 tập con, giả sử là X 1 , X 2 , …, X 33

1,0 đ

Xét 31 tập con còn lại, lý luận tương tự suy ra tồn tại một phần tử b của tập

X thuộc ít nhất 16 tập con, giả sử là X 34 , X 35 , …, X 49

1,0 đ

Xét 15 tập con còn lại, lý luận tương tự suy ra tồn tại một phần tử c của tập

X thuộc ít nhất 8 tập con, giả sử là X 50 , X 51 , …, X 57

1,0 đ

Xét 7 tập con còn lại, lý luận tương tự suy ra tồn tại một phần tử d của tập

X thuộc ít nhất 4 tập con, giả sử là X 58 , X 59 , X 60 , X 61 Xét 3 tập con còn lại, lý luận tương tự suy ra tồn tại một phần tử e của tập

X thuộc ít nhất 2 tập con, giả sử là X 62 , X 63 Với tập X 64 còn lại ta lấy một phần tử f

Như vậy tập con A chứa các phần tử a, b, c, d, e, f thỏa mãn bài toán

Suy ra đpcm

1,0 đ

CHÚ Ý KHI CHẤM

1) Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi

tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa Các cách giải khác

nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không quá số

điểm dành cho câu, phần đó

2) Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất

trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn

điểm

3) Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong tổ

chấm và ghi vào biên bản

Câu I (4 điểm) Giải phương trình 7x 5 2x 7 2    x 1 4 

Câu II (4 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3 2    2 2

Chứng minh rằng 5(a b c) 3 18

abc

Câu III (4 điểm) Cho tam giác ABC và điểm T thuộc cạnh BC sao cho

TB = 2TC Gọi H là hình chiếu của B trên AT và D là trung điểm BC Biết rằng

   Chứng minh rằng DH AC 

Câu IV (4 điểm) Các số nguyên từ 1 đến 2013 được viết liền nhau thành một

số như sau 1234 20122013 Từ số nói trên ta nhân chữ số thứ nhất với 2 rồi cộng với

chữ số thứ hai, kết quả lại nhân với 2 rồi cộng với chữ số thứ ba, cứ tiếp tục như vậy

cho đến hết Với số vừa nhận được lại làm tiếp tục như trên cho đến khi kết quả là số

có một chữ số Hãy tìm chữ số đó

Câu V (4 điểm) Trong hình vuông có cạnh dài 4cm, đặt 2013 đường tròn có

đường kính 311 cm Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 17 đường

tròn trong 2013 đường tròn đã cho

……….Hết………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính;

Giám thị coi thi không cần giải thích gì

Câu Lời giải Điểm

Mà AT CF BH / /CF  

Từ đó  EFK   BHF   BAF   EAK

Suy ra FH AC  tại H và H là trực tâm tam giác ACF

Từ đó dễ thấy BHCF là hình bình hành, suy ra F, D, H, E thẳng hàng

1.00

1.00 0.25 0.25

Suy ra T H(mod8)  , mà T 5(mod8) 1  và T T (mod8)  1

suy ra H 5(mod8)  , mà H có một chữ số nên H = 5

0.25 0.75

0.75 0.75

1.00 0.50

V

(4 điểm)

thành 125 hình chữ nhật bằng nhau Khi đó mỗi hình chữ nhật có chiều

Khi đó tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 1 trong 29 đường tròn còn lại

và đó chính là đường thẳng thỏa mãn đầu bài

1.25

1.25

1.00

0.50

Chú ý: Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm cho một cách giải với mỗi bài toán, nếu thí sinh làm

cách khác nhưng lý luận chặt chẽ thì cho điểm tối đa tương ứng

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

ĐỀ ĐỀ NGHỊ -

KỲ THI OLYMPIC KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm (O) Hai đường tiếp tuyến tại hai điểm phân

biệt A và B ( thuộc đường tròn (O) ) cắt nhau tại P Trên cung AB nhỏ lấy điểm C

không là điểm chính giữa cung AB Giả sử AC cắt PB tại D, BC cắt AP tại E Chứng

minh rằng tâm của ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) thẳng hàng

Câu 4 (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm f :  thỏa mãn f x y f y(   ( )) f x( ) f y x y( ), , 

Câu 5 (4 điểm)

Cho bảng hình chữ nhật kích thước m n m n (  ) Một số ô có một số ngôi sao,

giả sử mỗi cột có ít nhất một ngôi sao Chứng minh rằng có ít nhất hai ngôi sao mà

hàng chứa nó có nhiều ngôi sao hơn cột chứa nó

-Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN Môn: Toán 10 Câu 1 (4 điểm)

2 2 2

1

11

  

Nhưng bất đẳng thức trên đúng theo AM-GM:

3

3 3 3t   t t 256t  , và 25613 t 3 10813 Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a b c 

Ta chỉ ra tứ giác OMCP nội tiếp

Thật vậy, ta có  CMP   DMP   DMC   DAP   PBE, do các tứ giác AMDP và

BMEP nội tiếp Mà BP và AP là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên

Do đó tứ giác OPCM nội tiếp Từ đây ta có ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) có 2

điểm chung C và M, suy ra tâm của ba đường tròn (ACE), (BCD), (PCO) thẳng hàng

(ĐPCM)

C O

P B

f x y  f x  f y với mọi ,x y

Đây là phương trình hàm Cauchy và nghiệm của nó là f x xf( ) (1)

Thay lại vào phương trình ban đầu ta suy ra f x ( ) 0  ,x y hoặc

( ) 2

f x  x  ,x y

Câu 5 (4 điểm)

N ngôi sao được đánh số từ 1 tới N

Đặt a bi, i tương ứng là số ngôi sao ở cột và hàng chứa ngôi sao thứ i Ta cần

chứng minh b ai  i với ít nhất hai chỉ số i nào đó

Nhận xét: Nếu a ki  thì mọi ngôi sao cùng cột với ngôi sao thứ i có aj tương

ứng là k

Trường THPT Chuyên Biên Hoà THPT chuyên khu vực duyên hải - đồng

Tỉnh Hà Nam bằng bắc bộ

Môn : Toán; Lớp 10

Câu I (4,0đ): Giải hệ phương trình sau

Câu II (4,0đ): Cho a, b, c là các số không âm có tổng Chứng minh

rằng

Câu III (4,0đ): Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, (T) là đường tròn

ngoại tiếp Gọi D và E lần lượt là giao điểm thứ hai của (T) và đường thẳng AI, BI Dây

cung DE cắt AC tại F và DE cắt BC tại G P là giao điểm của đường thẳng qua F, song

song với AD và đường thẳng qua G song song với BE Giả sử tiếp tuyến của (T) tại A và

B cắt nhau tại K Chứng minh các đường thẳng AE, BD, KP đồng quy hoặc song song

Câu IV (4,0đ): Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho

Câu V (4,0 đ): Trên mặt phẳng cho một số điểm sao cho không có 3 điểm nào trong

chúng thẳng hàng Một vài điểm trong đó được nối với nhau bằng các đoạn thẳng Biết

rằng bất kì đường thẳng nào không đi qua các điểm đã cho, luôn cắt một số chẵn các

đoạn thẳng nối Chứng tỏ rằng mỗi điểm đã cho là đầu mút của một số chẵn các đoạn

thẳng

.Hết

Trường THPT Chuyên Biên Hoà THPT chuyên khu vực duyên hải - đồng

4,0 đ Hệ phương trình đã cho tương đương

Nếu một trong ba số x,y,z bằng 2.Giả sử x thì y

Cả ba số x,y,z nhân ba phương trình ta được

vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của hệ

Câu 2

Như vậy ta có

Áp dụng ta có

Xét các trường hợp là nghiệm thoã mãn

Xét ta chứng minh phương trình vô nghiệm

+) Chứng minh Thật vậy vì nên

nên tứ giác AIEF nội tiếp trong đường tròn (C1)

nên tứ giác BIGD nội tiếp trong đường tròn (C2) Suy ra AE là trục đẳng phương của ( và (C1)

BD là trục đẳng phương của ( và (C2)

Ta sẽ chứng minh KP là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

Gọi J là giao điểm của (C1) và (C2)

Suy ra IJ là trục đẳng phương của (C1) và (C2)

Gọi K/ và P/ lần lượt là giao điểm của IJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABJ

Xét điểm A.Gọi a là số đoạn thẳng nhận A làm đầu mút

Giả sử a là số lẻ

Dựng đường thẳng l đi qua A mà không đi qua bất kì điểm nào khác

Với mỗi đường thẳng l thì tồn tại hai đường thẳng l1 và l2 sao cho

l // l1// l2 và trong khoảng giới hạn bởi l1, l2 không chứa bất kì điểm nào

Gọi S1,S2 là số giao điểm của l1,l2 với các đoạn thẳng được nối

Ta thấy các đoạn thẳng có đầu mút là A cắt l1 tại x điểm thì cắt l2 tại a-x điểm

Mỗi đoạn thẳng không có đầu A sẽ có hai trạng thái:

+/Cắt cả hai đường thẳng l1 và l2

+/ Không cắt l1 và l2

Khi đó số giao điểm là 0 và 2

Vậy các đoạn thẳng không có đầu A cắt l1,l2 tại số chẵn điểm

Suy ra S S1+S2 a(mod 2) hay S1+S2 1(mod 2) vì a lẻ

Nên tồn tại S1 hoặc S2 lẻ , điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy a chẵn

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 20 tháng 4 năm 2013 (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

AB lấy các điểm M, N, P sao cho MB MC k NC NA k PA PB k k k k /  1 , /  2 , /  3 ,( , , 1 2 3  1).

Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau tạo ra theo

kí tự a và b, sao cho hai phần tử bất kì của S là hai dãy khác nhau tại ít nhất 3 vị

trí Chứng minh rằng số phần tử của S không vượt quá 2 11

……… HẾT ………

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm M,

N, P sao cho MB MC k NC NA k PA PB k k k k /  1 , /  2 , /  3 ,( , , 1 2 3  1). Tính diện tích tam

giác tạo bởi 3 đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau tạo ra theo k k k 1 , , 2 3

0,5

5 Cho S là tập hợp các dãy 15 kí tự viết liền nhau, mà chỉ gồm hai kí tự a và b, sao

cho hai phần tử bất kì của S là hai dãy khác nhau tại ít nhất 3 vị trí Chứng minh

rằng số phần tử của S không vượt quá 2 11 4 điểm

Để cho đơn giản ta mã hóa a là 0, b là 1 Thế thì S đơn giản là tập các dãy nhị phân có

độ dài 15 sao cho hai dãy bất kì có ít nhất ba vị trí khác nhau

1,0

Với mỗi phần tử s S  , có đúng 15+1=16 dãy nhị phân độ dài 15 (bao gồm cả s ) khác s

tại nhiều nhất một vị trí Ta kí hiệu Bs là tập các dãy như vậy

1,0

Với ,st S  phân biệt ta có B B s    t Mặt khác B S s   s vì một dãy thuộc t chỉ có

thể khác nhau tại nhiều nhất 2 vị trí Nói cách khác các phần tử của B s ngoại trừ s đều

TrườngTHPT chuyên Nguyễn Trãi

Cho tam giác ABC có góc  BAC  60 0 Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc AC,AB lần

lượt tại D,E Các điểm M,N,P,Q lần lượt là trung điểm CA,AB, BD, CE Đường thẳng MP

cắt AB tại K, NQ cắt AC tại H Chứng minh các tam giác ABC và AHK có diện tích bằng

Với một số tự nhiên n , gọi S n ( ) là tập hợp tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại

một số nguyên dương k  2 mà biểu diễn của m theo cơ số k là một số gồm n chữ số 1

a) Chứng minh rằng: S (3)  S (4)  

b) Tìm S (3)  S (5)

Bài 5 ( 4 điểm)

a) Chứng minh rằng {2 , 1,2, ,36} i i   là hệ thặng dư thu gọn modulo 37

b) Giả sử a a 1 , , , 2  a k là các số nguyên lớn hơn 1 sao cho a a 1     2  a k 36 Chứng minh

rằng có thể chia tập {1,2,…,36} thành các tập rời nhau A A 1 , , , 2 A k sao cho | | A a i  i và tổng

các phần tử của A i chia hết cho 37 với mọi i=1,2,…,k