Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa O đường thẳng , MC cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng FC cắt đường thẳng BM tại K.. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL.. Trong
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 10-NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
,
x y
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn nội tiếp đường tròn ( )O , hai đường cao
,
BE CF cắt nhau tại H Gọi M là điểm trên cung nhỏ BCcủa( )O đường thẳng , MC
cắt đường thẳng BE tại L, đường thẳng FC cắt đường thẳng BM tại K Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm đoạn KL
Câu 3 (4,0 điểm) Cho p p( > là số nguyên tố và 3) m n, là các số nguyên thỏa mãn
Chứng minh 2m n- chia hết cho p.
(Với các số nguyên x³ y³ 0, kí hiệu y
x
C để chỉ số các tổ hợp chập ycủa tập hợp gồm
xphần tử).
Câu 4 (4,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức
10
2
æ ö æ÷ ö æ÷ ö÷
Câu 5 (4,0 điểm) Trong lớp học có 7 học sinh nam và 13 học sinh nữ Trong 3 tháng,
mỗi học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần Chứng minh rằng trong
1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
1 Điều kiện x£ 3;y£ 5.Phương trình ban đầu biến đổi thành
(2 3- x +1 3) - x =(2 5( - y)+1 5) - y ( )* Đặt f t( ) (= 2t+1) t vớit³ 0thì ( ) (* : f 3- x)= f(5- y) (1)
Nhận xét Với mỗi số không âm 0 t£ ¹1 t2 thì
2
2 2 1 1
0
f t f t
Vậy f t là hàm số đồng biến trên ( ) [0;+¥ Do đó )
( )1 : 3- x= -5 y Û y= +x 2
2,0
Thay vào phương trình còn lại được
2
2
Đặt 3
2
2
2 4
x t
+
=
- + phương trình trên thành
{ }
2t - t - = Û = Þ1 0 t 1 x+ =2 x - 2x+ Þ4 xÎ 1;2 Vậy hệ có nghiệm ( ) (1;3 ; 2;4 )
2,0
2 Kéo dài EF cắt LK tại X , tam giác HLK có 3 điểm thẳng hàng
, ,
E F X nên theo định lí Menelaus , ta có
( )
XL EH FK = Û XL = EL FH =FH EL
1,0
Bốn điểm A F H E, , , cùng thuộc một đường tròn đường kính AH
cos
1,0
Trang 3cos
Vì ·ECL=·ABK nên hai tam giác BFK và CEL đồng dạng nên
( )
cos
2 cos
EL =EC = C
1,5
Từ ( ) ( )1 , 2 và ( )* có được XK 1
XL = , điều phải chứng minh
0,5
3
Đặt
3
3
0
k p
p p
k
C A
-=
=
å Với mọi 0£ £ -k p 3 ta có
3
2 3 !
3 !
k p
k
p
p k
1,5
Do đó 2 k 3 ( ) (1 k 2)( 1 mod)( )
p
C - º - k+ k+ p nên tồn tại số nguyên
k
a thỏa mãn
3
3
2
1 , 0,1,2, , 3
k k
k
k
Trang 4
( )( )
3
0
2
p
k p
k
-=
÷
Þ (2m n B- ) =npAº 0 mod( p)
Trong đó A B, là các số nguyên và B=( p- 1 !) º - 1 mod( p)nên
2mº n modp .
2,5
4 Biến đổi bất đẳng thức như sau
2
2 2
2
3
a a b a c
b c
b c
a a b a c
b c
+
+
+
1,5
2
2
2 2
0
a a b a c
b c
a a b a c
a a b a c
b c
a a b a c
b c
+
+
+
å
1,5
Theo bất đẳng thức Schur thì bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng
5 Kí hiệu 7 học sinh nam : B 1 , B 2 ,…, B 7 ; 13 học sinh nữ G 1 ,G 2 ,…,G 13
Xét các bộ gồm (2 nam-1 nữ) mà 2 bạn nam đó cùng đến chơi nhà
1 nữ trong cùng 1 tháng
Cố định 1 bạn nữ Gọi n 1 , n 2 , n 3 là số bạn nam đến thăm bạn nữ đó
trong tháng thứ 1, tháng thứ 2 và tháng thứ 3, ta có n 1 +n 2 +n 3 =7, suy
ra số bộ thu được là
2,0
Trang 5( ) ( )
2
2
7 7 14
T
Vậy có không dưới 5 bộ ứng với bạn nữ đó
Xét bảng
…
B 6 -B 7 X
Ta sẽ đánh dấu x vào các ô của bảng nếu có hai bạn nam cùng đến chơi nhà 1 bạn nữ trong cùng 1 tháng Vậy mỗi cột có không dưới 5 dấu x Suy ra có không ít hơn 5.13=65 dấu x trong bảng nên có một
hàng có không ít hơn 2
7
65
C
é ù
ê ú
ê ú
ë û+1=4 dấu x Vậy có một cặp Bi-Bj đến chơi nhà 4 bạn nữ trong 3 tháng, suy ra có một cặp Bi-Bj đến chơi nhà hai bạn nữ trong cùng 1 tháng
2,0