ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2015 -Toán 10 trường chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường tròn Ơle.. Chứng minh AE vuông góc với MN.. Cho các số thực a, b, c không âm và không có hai số nào cùng bằng 0.. Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường

Đề thi chọn HSG vùng duyên hải Bắc Bộ lớp 10 năm 2015

(Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương)

Thời gian: 180 phút

Câu 1 Giải hệ phương trình

( 1) ( 1) ( 1)







Câu 2 Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn

5a 3b 2

Câu 3 Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường tròn Ơle Các đường cao

AX, BY, CZ đồng qui tại H Gọi M là giao điểm của BH và XZ; N là giao điểm của CH và XY Chứng minh AE vuông góc với MN

Câu 4 Cho các số thực a, b, c không âm và không có hai số nào cùng bằng

0 Chứng minh rằng

Đáp án Toán 10 chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương

Câu 1 Giải hệ phương trình







Lời giải:

Xét (1x  y) y(1 z) z(1 x)

Đẳng thức thứ 1 suy ra: (y z  1 x) x nên

Nếu z  1 x thì x 0 , suy ra z 1 không thỏa mãn

Nếu z  1 x thì

1



 

x y

z x và đẳng thức thứ 2 trở thành ( 1)

( 1) 1



 

x z

z x

z x  z  1 x and ( z x x )((  1)z 1) 0 

Từ đó:

Nếu z x thì x y z

Nếu z x và z  1 x và ( x 1)z 1 thì x 1 và 1

1





z

x , x 0 ( z  1 x

).

Ta được:

( , , ) ( , , )x y z  u u u

1 1 ( , , ) ( , 1 , )

1



x y z u

u u với mọi u  { 1,0}

Thay vào phương trình x 2y 3z 2 0  ta được nghiệm cụ thể

Câu 2 Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn

5a 3b  2

Lời giải:

Xét b = 1 suy ra a = 1

Xét b  2 a 2 Ta có

6k + 5 5

5 3 2 5 2 3 0 ( mod 9) 5 2( mod 9)

a = 6k + 5 ( k ) 5 = 5 5 3 mod7 3 1 ( mod 7)

Mà 6 là cấp của 3 mod 7 suy ra b = 6m, m  *

Có 5a 1 mod 4 , 3  b 1 mod 4  5a 3b 0 mod 4  2 4

Vậy (a, b) = (1, 1) là nghiệm nguyên dương của phương trình

Câu 3 Tam giác ABC nhọn có E là tâm đường tròn Ơle Các đường cao

AX, BY, CZ đồng qui tại H Gọi M là giao điểm của BH và XZ; N là giao điểm của CH và XY Chứng minh AE vuông góc với MN.

Lời giải

- Gọi (K )là đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Dễ thấy A là trực tâm tam giác HBC, đường tròn ( E ) đi qua chân 3 đường cao của tam giác HBC Vậy suy ra ( E) là đường tròn Ơle của tam giác HBC Từ đó E là trung điểm của đoạn AK

- Để chứng minh AK vuông góc với MN ta sẽ chứng minh EK vuông góc với MN

Vì tứ giác BXHZ, CXHY nội tiếp nên

M H A

B

C O

K X

Y Z

E N

Suy ra hai điểm M, N có cùng phương tích đối với đường tròn (E) và (K) hay MN là trục đẳng phương của hai đường tròn này.Từ đó có MN vuông góc với đường nối hai tâm là EK

Câu 4 Cho các số thực a, b, c không âm và không có hai số nào cùng bằng

0 Chứng minh rằng

Lời giải:

- Đặt f a b c , ,  a22 16bc b2 22 16ca c2 22 16ab2

- Do vai trò a, b, c bình đẳng nên có thể giả sử a b c 

16 16





Nếu a < 4b

Xét bất đẳng thức

8

f a b

Ta có a2 b2  2 ; a + bab  2  4ab a2 b2 a + b2  8a b2 2  (3) đúng

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c) là hoán vị của ( a,a,0)