Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.. Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.. 8 góc bằng nhau, các đỉnh là các điểm nguyên, A
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
LỚP: 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15/4/2017
Bài 1 (4,0 điểm) Cho số thực a và dãy số x n n�0vớix0 vàa 1 2 2
2
n n
n
x x
x
với mọi số tự nhiên n a) Khi 1
2
a Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n
b) Khi a� 0;1 Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n
Bài 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB AC ,đường cao AH và trực tâm là điểm K Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D E BD BE, . Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F G CF CG, Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC
tại điểm P P H � .
a) Chứng minh rằng các điểm , , ,G H P E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF CD PK đồng quy tại một điểm., ,
Bài 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : f � � thỏa mãn điều kiện sau:�
f x f y f f x f y với mọi ,x y��
Bài 4 (4,0 điểm) Các số , , a b c nguyên, c� và thỏa mãn điều kiện 0 n 2n
a là ước của n
b vớic mọi số nguyên dương n
a) Chứng minh rằng c0 hoặc c1
b) Khi c Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.1
Bài 5 (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A A A thỏa mãn: Có tất cả các1 2 8
góc bằng nhau, các đỉnh là các điểm nguyên, A A song song với trục Ox , trên biên của bát giác1 2
có đúng 16 điểm nguyên kể cả đỉnh Gọi n n1, , ,2 n lần lượt là số điểm nguyên nằm bên trong các8
cạnh A A A A1 2, 2 3, ,A A (điểm nằm trong cạnh AB là điểm nằm trên cạnh AB và khác hai điểm8 1
A và B , điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều nguyên).
a) Tính diện tích của bát giác theo n n1, , ,2 n8
b) Tìm diện tích lớn nhất của bát giác A A A 1 2 8
HẾT
-( Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ………
ĐÁP ÁN
(Đáp án gồm 06 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM 2017
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
LỚP:11
Bài 1: (4,0 điểm)_chuyên ĐHSP Hà Nội
Cho số thực a và dãy số x n n�0 với x0 và a 1 2 2 2
n n
n
x x
x
với mọi số tự nhiên n c) Khi 1
2
a Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n
d) Khi a� 0;1 Chứng minh rằng dãy số x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n
2
n
x
Do đó bằng quy nạp ta được x n� 0;1 ,n�� 0,5đ
Từ đó suy ra dãy x giảm và bị chặn nên tồn tại n llimx n, 0 1
2
Từ
2
n n
n
x x
x
, chuyển qua giới hạn ta được
2
2
l
l
1 2 0 0
l l l l
� � Do đó limx n 0
0,5đ
Với a� 0;1 , ta có x n �� suy ra lima n, x n a 0,5đ
Với a� 0;1 , ta có
2
n
x
Do đó bằng quy nạp ta được x n� 0;1 ,n�� và dãy số x giảm n
0,5đ
Kết hợp với dãy x bị chặn nên tồn tại n llimx n, l x 0 a 1 0,5đ
Từ
2
2
n n
n
x x
x
, chuyển qua giới hạn ta được
2
2
l
l
1 2 0 0
l l l l
� � Do đó limx n 0
0,5đ
Bài 2: (4,0 điểm)_chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
Trang 3Cho tam giác ABC nhọn, AB AC , đường cao AH và trực tâm là điểm K Đường thẳng BK
cắt đường tròn đường kính AC tại D E BD BE, Đường thẳng CK cắt đường tròn đường
kính AB tại F G CF CG, Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm P P H �
c) Chứng minh rằng các điểm , , ,G H P E cùng thuộc một đường tròn.
d) Chứng minh rằng các đường thẳng BF CD PK đồng quy tại một điểm., ,
a.
2,0đ
Ta có �AHB900 suy ra 5 điểm A G B H F, , , , cùng nằm trên một đường tròn
Do đó tứ giác AGHF nội tiếp �KG KF KA KH (1)
Ta có �AHC900 suy ra 5 điểm A E C H D, , , , cùng nằm trên một đường tròn
Do đó tứ giác ADHE nội tiếp �KD KE KA KH (2)
Từ (1) và (2) ta được KD KE KG KF suy ra tứ giác GDFE nội tiếp
0
180
GDF GEF
0,5đ
Ta có AB là trung trực của GF�AGAF , AC là trung trực của
DE� ADAE� A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDFE
2
GEF GAF BAF
Tứ giác DHPF nội tiếp nên �FDP�FHP, tứ giác ABHF nội tiếp nên
0,5đ
Từ (4) và (5) ta được �GEF �FDP (6) Từ (3) và (6) ta được
0
180 , ,
Tương tự P F E, , thẳng hàng
0,5đ
180
Từ (4) và (7) suy ra 0
180
� � �tứ giác GHPE nội tiếp
0,5đ
b
Ta có HP là trục đẳng phương của DHPF và GHPE, DF là trục đẳng 0,5đ
Trang 4phương của DHPF và GDFE, GE là trục đẳng phương của GDFE và
GHPE suy ra HP GE DF, , đồng quy tại điểm S
Xét tam giác SEP có EB GP SF, , đồng quy suy ra SPBC 1
E SPBC GFKC
Xét tam giác KBC và kết hợp với (8) ta được BF CD PK đồng quy tại một, ,
Bài 3 (4,0 điểm)_chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi
Tìm tất cả các hàm số :f � � thỏa mãn điều kiện sau:�
f x f y f f x f y với mọi ,x y��
4,0đ
Thay y f x � f x f f x f f x f f x 1 1 suy ra tồn
Thay y a ta được
f x f a f f x f a � f x f f x x�� (1) 0,5đ Thay x bởi f x và y bởi x ta được
f f x f x f f f x f x
0 1,
f f f f x f x x
0,5đ
Từ (1) và (2) ta được
0 2 1,
f f x f x ��x
2 0 1,
f x f x f x
Từ (3) ta được f x 2 f x f x 1 f x 1 , ��x
2 1 1 ,
f x f x f x f x x
1 1 0 ,
f x f x f f x
0,5đ
Từ (4) và n nguyên dương ta được f n f 0 n f 1 f 0 (5)
Từ (4) và n nguyên dương ta được f n f n 1 f 1 f 0
suy ra f n f 0 n f 1 f 0 (6).
Từ (5) và (6) suy ra f x f 0 x f 1 f 0 cx d, ��x
1,0đ
Thử lại phương trình đã cho ta được
f x cy d f cx d cy d x y��
c x cy d d c cx d d cy d x y
1, ,
cx c y cd d c x cd d cy d x y
2 2
0 0
1 1
1
1
c
d
c
d
�
� �
� �� ��
1,0đ
Trang 5Do đó f x ��1, x và f x ��x 1, x .
Bài 4 (4,0 điểm)_chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Ta có b n c 0 mod� a n 2n b3n c3moda n 2n (1) 0,5đ
Theo giả thiết ta được
3n
b c chia hết cho a3n 23n a n2n a2na n.2n22n suy ra b 3nc
chia hết cho a n2n suy ra b3n �cmoda n2n (2)
0,5đ
Từ (1) và (2) ta được c3 �cmoda n2n với mọi số nguyên dương n 0,5đ
Suy ra c3c chia hết cho a n 2n với mọi số nguyên dương n Do đó
0
1
c
c
�
� � �� Kết hợp với c�0 ta được c� 0;1 0,5đ
Khi c1 Giả sử a b, đều là các số chính phương và
a x b y a b �� Khi đó 2
2
n n
x là ước của y2n 1 với mọi số nguyên dương n
Bây giờ ta xây dựng số nguyên tố p sao cho 2n 2n
p x nhưng p không
là ước của số y2n 1 Lấy 2n p 1 và lấy pđủ lớn để a p, b p, 1
theo định lí Fermat ta được 2 1 21 21
vậy ta cần chọn số nguyên tố p thỏa mãn
1,0đ
Từ (1) và theo tiêu chuẩn Fermat ta cần chọn số nguyên tố p lẻ sao cho
2 không là số chính phương mod p Ta có
281
2
1 1 p 1 p 8k 1
p
� �
Như vậy để chọn số nguyên tố p lẻ sao cho 2 không là số chính
phương mod p ta lấy p�3 mod8 hoặc p�5 mod8 Do có vô hạn số
nguyên tố dạng 8k3 nên chọn p�3 mod8 và p a p b , và theo
phân tích ở trên ta được x2n 2n �0 mod p
Mặt khác y2n 1 y p 1 �1 2 mod p Do đó 2 0 mod p� vô lí Vậy giả
sử ban đầu là sai hay a b, không đồng thời là số chính phương
0,5đ
Bài 5 (4,0 điểm)_chuyên Thái Bình
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bát giác lồi A A A thỏa mãn: Có tất cả các góc bằng nhau,1 2 8
các đỉnh là các điểm nguyên, A A song song với trục Ox , trên biên của bát giác có đúng 16 điểm1 2
Trang 61 2, 2 3, , 8 1
A A A A A A (điểm nằm trong cạnh AB là điểm nằm trên cạnh AB và khác hai điểm A và
B , điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều nguyên).
c) Tính diện tích của bát giác theo n n1, , ,2 n8
d) Tìm diện tích lớn nhất của bát giác A A A1 2 8
a.
2,0đ
Ta có n1 n2 n8 16 8 8 Số điểm nguyên trên đoạn thẳng A A1 6 bằng số
điểm nguyên trên đoạn thẳng A A A A A A1 8, 8 7, 7 6 và số điểm nguyên trên đoạn
thẳng A A1 6 bằng số điểm nguyên trên đoạn thẳng A A A A A A2 3, 3 4, 4 5 suy ra
n n n n n n Tương tự n1 n2 n8 n4 n5 n6.
1,0đ
Diện tích của hình chữ nhật bao đa giác là S1 n2 n3 n4 3 n1 n2 n8 3 0,5đ Diện tích của bốn tam giác vuông cân ở bốn đỉnh của hình chữ nhật và nằm bên
ngoài đa giác là
Do đó diện tích đa giác là S S 1 S2.
0,5đ
b
1
4 8
S � n n n n và sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được
2
1
6 2
2
2
4
S���� ��� n n n n (1)
0,5đ
Ta có 1 2 8 2 3 4 1 2 8 2 3 4
1
2
n n n n n n n n n n n n
1
0,5đ
Trang 7 1 2 8 4 5 6 3 7 2 4 6 8
Từ (1) và (2) ta được
2
2
1
, trong đó x n � �2 n4 n6 n8 x 0;8 .
0,5đ
Ta có 20 2 1 2 1
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x8,n2 n4 n6 n8 2,n1 n3 n5 n7 0
(Như hình vẽ ở trên) Vậy maxS31
0,5đ
-Hết -LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.