Giao an phep bien hinh

Mô tả các mức độ nhận thức Phép biến hình Nắm đuợc định nghĩa Phép tịnh tiến Nắm được định nghĩa Tìm đuợc ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến Tìm ảnh của đuờng thẳng, đuờng tròn qua phé

Trang 1

Chủ đề: PHÉP DỜI HÌNH ( 4 tiết)

I Mục đích, yêu cầu

1 Về kiến thức

- Nắm được định nghĩa về phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan đến nó

- Nắm được định nghĩa về phép tịnh tiến Hiểu được phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến

- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- Nắm được định nghĩa và tính chất của phép quay

- Nắm được biểu thức tọa độ của phép quay với góc quay đặc biêt

2 Về kĩ năng

- Dựng được ảnh của một điểm qua phép biến hình đã cho

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép phép tịnh tiến

- Biết áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để xác định tọa độ ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn

- Dựng ảnh và xác định tọa độ ảnh của một điểm, đường thẳng, tam giác qua phép quay

3 Về tư duy, thái độ

- Phát triển tư duy hàm, tư duy lôgic

- Liên hệ trong thực tiễn với phép biến hình, phép tịnh tiến

- Hứng thú trong học tập, phát huy tính độc lập, hợp tác trong học tập

4 Các năng lực chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên:

2 Học sinh: Chuẩn bị đồ dùng học tập, và ôn tập:

III Mô tả các mức độ nhận thức

Phép biến

hình

Nắm đuợc định nghĩa

Phép tịnh tiến Nắm được định

nghĩa Tìm đuợc ảnh của một điểm qua phép

tịnh tiến

Tìm ảnh của đuờng thẳng, đuờng tròn qua phép tịnh tiến

Tìm tập hợp điểm

Sử dụng phép tịnh tiến trong đại số

Phép quay Nắm được định

nghĩa

Tìm đuợc ảnh của một điểm qua phép quay

Sử dụng phép quay trong các bài toán thực tế

IV Thiết kế câu hỏi bài tập

1 Nhận biết

Ví dụ : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA

a) Tìm ảnh của A qua phép tịnh tiến theo 1

2

v= AC

r uuur

b) Tìm phép tịnh tiến biến N thành điểm C và B thành điểm N

Bài tập 4 Chọn phương án đúng trong các câu sau:

Câu 1: Cho A( 3 ; 0 ) Phép quay tâm O và góc quay là 900 biến A thành :

A M(– 3 ; 0) B M( 3 ; 0) C M(0 ; – 3 ) D M ( 0 ; 3 )

A N(– 3 ; 0) B N( 3 ; 0) C N(0 ; – 3 ) D N ( 0 ; 3 )

2 Thông hiểu

Ví dụ 1 Cho điểm A và đường thẳng d, A d∉ Dựng điểm A’ là hình chiếu của A trên d

Ví dụ 2 Cho điểm A và vr Dựng điểm A’ sao cho uuur rAA'=v

Ví dụ 3 Cho điểm A và I, Dựng A’ sao cho I là trung điểm của AA’

Ví dụ 4 Cho điểm A và đường thẳng d Dựng A’ sao cho d là trung trực của AA’

Ví dụ: Dựng ảnh của điểm M qua Q( , )Oα , biết:

Trang 2

a) α =2kπ b) α =(2k+1)π

Bài tập 1: Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là phép biến hình, quy tắc nào không là phép biến hình? Giải

thích!

a) Cho điểm I và số k > 0 Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM k=

b) Cho điểm I và vr Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IMuuur= vr

c) Cho điểm A và đường thẳng d, A∉d Quy tắc biến A thành điểm M d∈ thỏa mãn AM ⊥d

Bài tập 2: Qua phép tịnh tiến theo véc tơ vr , đường thẳng d có ảnh là đường thẳng d/ Với các mệnh đề sau, nêu tính đúng, sai và giải thích

a) d/ trùng với d khi d song song với giá của vr

b) d/ trùng với d khi d vuông góc với giá của vr

c) d/ trùng với d khi d cắt đường thẳng chứa giá của vr

d) d/ trùng với d khi d song song hoặc d trùng với giá của vr

Bài tập 3: Cho vur(−1;5) và điểm M' 4; 2( ) Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến T vur Tọa độ M là

A M( )3;7 B M(5; 3− ) C M(3; 7− ) D M(−4;10)

3 Vận dụng

Bài 5: Trong mặt phẳng (Oxy) cho ur = −(1; 2)

a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng 3x – 5y + 1 = 0 trong trường hợp sau :

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x2+y2−4x+ − =y 1 0

Bài 6: Cho A(2;0), d: x + y – 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua Q(O,90 0)

4 Vận dụng cao

Bài 7: Cho hai thành phố A và B nằm hai bên của một dong sông người ta muốn xây 1 chiếc cầu MN bắt

qua con sông người ta dự định làm hai đoạn đường từ A đến M và từ B đến N hãy xác định vị chí chiếc cầu MN sao cho đoạn thẳng AMNB là ngán nhất ( Ta coi 2 bờ song là song song với nhau và cây cầu là vuông góc với hai bờ sông)

V Tiến trình dạy học

Tiết 1:

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

1 Mục tiêu

Cho học sinh nhận ra có một số quy tắc biến một điểm thành duy nhất một điểm

2 Nội dung phương thức tổ chức:

a Chuyển giao

Giáo viên nêu một số ví dụ sau:

Ví dụ 1 Cho điểm A và đường thẳng d, A d∉ Dựng điểm A’ là hình chiếu của A trên d

Ví dụ 2 Cho điểm A và vr Dựng điểm A’ sao cho uuur rAA'=v

Ví dụ 3 Cho điểm A và I, Dựng A’ sao cho I là trung điểm của AA’

Ví dụ 4 Cho điểm A và đường thẳng d Dựng A’ sao cho d là trung trực của AA’

Giáo viên yêu cầu học sinh giải giải các ví dụ trên và trả lời hai câu hỏi:

Câu hỏi 1: Có dựng được điểm A’ hay không?

Câu hỏi 2: Dựng được bao nhiêu điểm A’?

b Thực hiện

Học sinh nhận nhiệm vụ, làm việc cá nhân

c Báo cáo, thảo luận

Học sinh trình bày lời giải của mình cho các ví dụ trên

trả lời các câu hỏi Câu hỏi 1: Luôn dựng được điểm A’

Câu hỏi 2: Điểm A’ dựng được là duy nhất

d Đánh giá:

Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh và nêu ra được : Những quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm A với một và chỉ một điểm A’ gọi là một phép biến hình

Trang 3

e Sản phẩm:

- Lời giải các ví dụ

- Hình dung được định nghĩa phép biến hình

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

B1 Hoạt động hình thành kiến thức 1 Hình thành định nghĩa phép biến hình

1 Mục tiêu

Học sinh nắm được định nghĩa phép biến hình

a.Chuyển giao

Qua các ví dụ phần khởi động mà ta gọi các quy tắc đó là phép biến hình, vậy thế nào là phép biến hình

b Học sinh

Học sinh nhận nhiệm vụ

c Báo cáo thảo luận

Học sinh thảo luận, trình bày định nghĩa phép biến hình theo suy nghĩ của mình( thoát li SGK)

d Đánh giá:

Giáo viên đánh giá câu trả lời của học sinh, đưa ra định nghĩa của phép biến hình (SGK)

Định nghĩa : (sgk)

F(M) = M’

M’ : ảnh của M qua phép bh F F(H) = H’

Hình H’ là ảnh hình H

Ví dụ 1: Cho trước số dương a, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình hay không?

Giáo viên: Yêu cầu học sinh dựa vào định nghĩa phép biến hình để đưa ra câu trả lời

Học sinh: Ta có thể tìm được ít nhất 2 điểm M’ và M” sao cho MM’ = MM” = a.

⇒ quy tắc tương ứng này không phải là một phép biến hình

e Sản phẩm:

Định nghĩa phép biến hình

B2 Hoạt động hình thành kiến thức 2 Hình thành định nghĩa phép tịnh tiến

1 Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa phép tịnh tiến

Giáo viên: Qua VD2 phần khởi động ta thấy quy tắc

trong ví dụ có phải là phép biến hình hay không? Vì

sao?

Quy tắc xác định trong ví dụ hai gọi là phép

tịnh tiến theo vr Hãy nêu định nghĩa phép tịnh tiến?

Học sinh: Quy tắc xác định điểm A’ trong ví dụ 2 là

một phép biến hình vì điểm M’ luôn được xác định

và duy nhất

Học sinh: Suy nghĩ trả lời

Học sinh nêu định nghĩa phép tịnh tiến

d Đánh giá:

Giáo viên đánh giá câu trả lời của học sinh, đưa ra định nghĩa của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho véc tơ vr Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho '

MM =v

uuuuur r

được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ vr

Phép tịnh tiến theo véc tơ vr được kí hiệu v T→ , véc tơ vrgọi là véc tơ tịnh tiến

v T→(M) = M' ⇔ MMuuuuur r'=v

e Sản phẩm:

Định nghĩa phép tịnh tiến

Ví dụ : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA

a) Tìm ảnh của A qua phép tịnh tiến theo 1

2

v= AC

r uuur

b) Tìm phép tịnh tiến biến N thành điểm C và B thành điểm N

Trang 4

B3 Hoạt động hình thành kiến thức 3 Hình thành tính chất phép tịnh tiến

a.Chuyển giao

Treo bảng phụ

Nội dung bảng phụ:

Dựng ảnh M’, N’ lần lượt của điểm M, N qua phép tịnh tiến theo vr

So sánh độ dài đoạn MN và đoạn M’N’ Chứng minh

Rút ra nhận xét tổng quát

b Thực hiện

Học sinh: Nhận nhiệm vụ, làm việc cá nhân

Học sinh đưa ra đáp án của mình

MN = M’N’

Nhận xét: Nếu M’, N’ lần lượt là ảnh của điểm M, N qua phép tịnh tiến theo vr thì MN = M’N’

d Đánh giá:

Giáo viên nhận xét câu trả lời của học sinh và đưa ra tính chất 1 và tính chất 2

Tính chất 1: Nếu v T→(M) = M'

; v T→(N) = N' thì M Nuuuuuur uuuur' '=MN và từ đó suy ra M’N’ = MN

Từ tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

e Sản phẩm:

Nội dung hai tính chất

B4 Hoạt động hình thành kiến thức 4 Hình thành biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

1 Mục tiêu

Học sinh nắm được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

2 Nội dung phương thức tổ chức

a Chuyển giao: Yêu cầu học sinh giải bài toán sau:

Bài toán : Trong mp0xy cho v r

= (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến v r

?

b Thực hiện:

Học sinh làm việc cá nhaanm dựa vào định nghĩa phép tịnh tiến để suy ra tọa độ của M’

Học sinh trình bày lời giải bài toán

v

−

d Đánh giá

Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh và đưa ra biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

e Sản phẩm: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tiết 2.

B5 Hoạt động hình thành kiến thức 5 Hình thành định nghĩa phép quay

1 Mục tiêu

Học sinh nắm được định nghĩa phép quay và dựng được ảnh của một điểm qua phép quay

a Chuyển giao:

Trang 5

? Hãy quan sát 1 chiếc đồng hồ đang chạy Hỏi từ lúc đúng 12h00 đến 12h15 phút, kim phút của

đồng hồ đã quay 1 góc lượng giác bao nhiêu rad?

? Trên đường tròn lượng giác như hình vẽ , α là góc nhọn

Dựng điểm A’ sao cho ·AOA'=α? Dựng được bao nhiêu điểm A’ như vậy?

Dựng điểm A” sao cho góc lượng giác (OA OA; ") =α? Dựng được bao nhiêu điểm A” như vậy? Quy tắc nào là phép biến hình?

b Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm để thực hiện các yêu cầu mà giáo viên đã đưa ra

Học sinh trả lời các câu hỏi

+) Từ lúc đúng 12h00 đến 12h15 phút, kim phút của đồng hồ đã quay 1 góc lượng giác là

2

π rad +) Dựng được hai điểm A’

+) Dựng được và duy nhất điểm A”

+) Quy tắc dựng điểm A” là phép biến hình

d Đánh giá

Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh và đưa ra định nghĩa phép quay:

Định nghĩa: SGK trang 16

Kí hiệu:Q(O,a)

O là tâm quay;  là góc quay

Ta có: ( , )

'

=





O

OM OM

Chiều dương của phép quay là chiều dương trên đường tròn lượng giác

Ví dụ: Dựng ảnh của điểm M qua Q( , )Oα , biết:

a) α =2kπ b) α =(2k+1)π

Giáo viên: +) Yêu cầu học sinh lên bảng dựng ảnh của M

+) Trong mỗi trường hợp trên, Q( , )Oα thực chất là phép biến hình nào?

Học sinh: +) Dựng ảnh của M

+) α =2kπ : Q( , )Oα là phép đồng nhất.

+)α =(2k+1)π:Q( , )Oα là phép đối xứng tâm O.

e Sản phẩm:

Học sinh ghi nhớ được định nghĩa phép quay

B6 Hoạt động hình thành kiến thức 6 Hình thành tính chất của phép quay

1 Mục tiêu

Học sinh xây dựng và ghi nhớ được tính chất của phép quay

Hãy dựng ảnh của M, N qua Q(O,90 0 ) ? So sánh độ dài của đoạn MN và M’N’?

Phép quay có bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì hay không?

b Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm để thực hiện các yêu cầu mà giáo viên đã đưa ra

Học sinh trình bày lời giải của mình

A’

A O

Trang 6

Q(O,900 ) biến M thành M’ ⇒OM OM MOM= ';· ' 90= 0

Q(O,900 ) biến N thành N’ ⇒ON ON NON= ';· ' 90= 0

'

MOM

∆ và ∆NON' là hai tam giác vuông bằng nhau ⇒MN M N= ' '

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

d Đánh giá

Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh và tính chất mà học sinh nêu ra

Chính xác hóa tính chất 1 và tính chất 2

Tính chất 1: ( )( )

( )( )

, ,

' ' ' '

O O

a a

ïïî

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Chú ý: Q( , )Oα ( )d =d',0< <α π

( ; ')d d =α khi 0< ≤α π2

( ; ')d d = −π α khi π2≤ <α π

e Sản phẩm:

Học sinh nắm được hai tính chất của phép quay

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm O Xác định ảnh của tam giác đó qua Q( ,60 )O 0

Giáo viên: Yêu cầu các học sinh làm việc độc lập, cá nhân

Gọi một học sinh lên bảng trình bày Học sinh: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên

Tiết 3

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

C1 Hoạt động luyện tập 1

1 Mục tiêu: Củng cố các định nghĩa về phép biến hình, phép tịnh tiến, phép quay ( Các bài tập mức độ

nhận biết)

Bài tập 1: Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là phép biến hình, quy tắc nào không là phép biến hình? Giải

thích!

a) Cho điểm I và số k > 0 Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM k=

b) Cho điểm I và vr Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IMuuur= vr

c) Cho điểm A và đường thẳng d, A d∉ Quy tắc biến A thành điểm M d∈ thỏa mãn AM d⊥

Giáo viên đưa ra bài tập 1 Yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm để tìm lời giải

b Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm, tìm lời giải

Học sinh đại diện nhóm trình bày lời giải của nhóm mình

d Đánh giá

Trang 7

Giáo viên nhận xét bài của các nhóm và đưa ra đáp án chuẩn

a) Quy tắc này không là phép biến hình vì có rất nhiều điểm M thỏa mãn, tập hợp các điểm M này là đường tròn tâm I, bán kính R = k

b) Quy tắc này không là phép biến hình vì có rất nhiều điểm M thỏa mãn, tập hợp các điểm M này là

đường tròn tâm I, bán kính R v= r

c) Quy tắc này là phép biến hình vì điểm M luôn xác định và là duy nhất

e Sản phẩm: Lời giải bài tập 1

Bài tập 2: Qua phép tịnh tiến theo véc tơ vr , đường thẳng d có ảnh là đường thẳng d/ Với các mệnh đề sau, nêu tính đúng, sai và giải thích

a) d/ trùng với d khi d song song với giá của vr

b) d/ trùng với d khi d vuông góc với giá của vr

c) d/ trùng với d khi d cắt đường thẳng chứa giá của vr

d) d/ trùng với d khi d song song hoặc d trùng với giá của vr

b Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm, tìm lời giải

d Đánh giá

a) Đúng vì khi d song song với giá của vr

Lấy M thuộc d và M'=T M vr( ) ⇔MMuuuuur r'= ⇒v M'∈ ⇒ ≡d d' d

b) Sai

c) Sai vì c là một trường hợp của b

d) Đúng vì

Khi d song song với giá của vr

Lấy M thuộc d và M'=T M vr( ) ⇔MMuuuuur r'= ⇒v M'∈ ⇒ ≡d d' d Khi d trùng với giá của vr

Lấy M thuộc d và M'=T M vr( ) ⇔MMuuuuur r'= ⇒v M'∈ ⇒ ≡d d' d

Bài tập 3: Cho vur(−1;5) và điểm M' 4; 2( ) Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến T vur Tọa độ M là

A M( )3;7 B M(5; 3− ) C M(3; 7− ) D M(−4;10)

Giáo viên đưa ra bài tập 3 Yêu cầu học sinh làm việc cá nhân để tìm lời giải

b Thực hiện: Học sinh tìm lời giải

Học sinh trình bày lời giải của nhóm mình

d Đánh giá

Trang 8

M 5;3

5 2 3

= − − = −

Bài tập 4 Chọn phương án đúng trong các câu sau:

A M(– 3 ; 0) B M( 3 ; 0) C M(0 ; – 3 ) D M ( 0 ; 3 )

A N(– 3 ; 0) B N( 3 ; 0) C N(0 ; – 3 ) D N ( 0 ; 3 )

b Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm tìm lời giải

d Đánh giá

Câu 1: Đáp án B

Câu 2: Đáp án A

Tiết 4

C2 Hoạt động luyện tập 2 Các bài tập vận dụng tính chất của phép tịnh tiến và phép quay

Giáo viên nêu bài tập 5

Yêu cầu học sinh thực hiện

Học sinh thực hiện theo yêu cầu của

giáo viên

d Đánh giá

Giáo viên nhận xét và chuẩn hóa lời

giải

e Sản phẩm

Bài 5: Trong mặt phẳng (Oxy) cho ur = −(1; 2)

a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng 3x – 5y + 1 = 0 trong trường hợp sau :

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) :

2 2

x +y − + − =y

Giải.

a) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : ' 1 ' 1

 = − +  = +

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :

3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔3x’-5y’-12= 0 b) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : ' 1 ' 1

 = − +  = +

Trang 9

Đường tròn (C’) : ( ) (2 )2 ( )

x− + y+ − x− + + − =y

hay : x2+y2−6x 5+ y+ =10 0

giáo viên

d Đánh giá

giải

Bài 6: Cho A(2;0), d: x + y – 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua

(O,90 0)

Q

Giải

O 1

1

A

A'

A''

Dựa vào hình vẽ ta được Q(O,90 0)( )A =A' 0; 2( )

Giả sử Q(O,90 0)( )d =d' thì d ⊥ d’

 d’: x - y + c = 0, mà do A’  d’ nên ta có 0 – 2 + c = 0  c = 2

Vậy PT d’: x - y + 2 = 0

D Hoạt động vận dụng: Vận dụng phép tịnh tiến và phép quay trong một số bài toán thực tế

1 Mục tiêu:

Học sinh vận dụng được kiến thức của phép quay, phép tịnh tiến trong một số bài toán quỹ tích

Bài 7: Cho hai thành phố A và B nằm hai bên của một dong sông người ta muốn xây 1 chiếc cầu MN bắt

qua con sông người ta dự định làm hai đoạn đường từ A đến M và từ B đến N hãy xác định vị chí chiếc cầu MN sao cho đoạn thẳng AMNB là ngán nhất ( Ta coi 2 bờ song là song song với nhau và cây cầu là vuông góc với hai bờ sông)

giáo viên

d Đánh giá

giải

Bài 7:

Ta thực hiện phép tịnh tiến théo véc tơ MNuuuur biến điểm A thành A’ lúc này theo tính chất của phép tịnh tiến thì AM = A’N vậy suy ra AM+NB =A’N +NB ≥ A’B

Vậy AMNB ngắn nhất thì A’N+ NB ngắn nhất khi đó ba điểm A’, N, B thẳng hàng

E Hoạt động tìm tòi, mở rộng

1 Mục tiêu: Học sinh tự sưu tập các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến, phép quay trong các bộ môn học

khác và trong thực tế

Trang 10

a Chuyển giao

Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm các bài toán áp dụng hai đơn vị kiến thức vừa học

b Thực hiện: Học sinh ghi nhớ nhiệm vụ

c Báo cáo, thảo luận:

d Đánh giá: Giáo viên kiểm tra việc chuẩn bị của học sinh

e Sản phẩm: Hệ thống các bài tập đã nêu

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	920 KB