DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.. • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

(PHẦN 1)

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM

PHÉP BIẾN HÌNH

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F M( ) =M' hay M'=F M( ), khi đó M'

được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó thì hình H'={M M'| '=F M M H( ), ∈ } được gọi là ảnh

của hình H qua phép biến hình F , ta viết H'=F H( )

1 Định nghĩa.

Trong mặt phẳng cho vectơ vr Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

'

M sao cho MMuuuuur r'=v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr

Phép tịnh tiến theo vectơ vr được kí hiệu là T vr

2 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x y và ( ); vr=( )a b;

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đườngthẳng đã cho

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

• Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến

theo vec tơ BCuuur

Ta có T BCuuur( )B =C

Để tìm ảnh của điểm A ta dựng hình bình hành

ABCD Do AD BCuuur uuur= nên T BCuuur( )A =D , gọi E là

điểm đối xứng với B qua C , khi đó CE BCuuur uuur=

Suy ra T BCuuur( )C =E Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vr= −( 2;3) Hãy tìm ảnh của các điểm A(1; 1 ,− ) ( )B 4;3 qua phép tịnh tiến theo vectơ vr

Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2;6( ).

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vr=(1; 3− )và đường thẳng d có phương trình 2x−3y+ =5 0 Viết phương trình đường thẳng 'd là ảnh của d qua phép tịnh tiếnT vr

A ':2d x y− − =6 0 B ':d x y− − =6 0

C ':2d x y− + =6 0 D ':2d x−3y− =6 0

Cách 1 Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M x y tùy ý thuộc ( ); d, ta có 2x−3y+ =5 0 *( )

Thay vào (*) ta được phương trình 2 ' 1 3 ' 3 5 0(x− −) (y+ + = ⇔) 2 ' 3 ' 6 0x− y− = Vậy ảnh của d là đường thẳng ':2 d x−3y− =6 0.

Vậy ảnh của d là đường thẳng ':2 d x−3y− =6 0.

tọa độ các ảnh M N tương ứng của chúng qua ', ' T vr Khi đó d' đi qua hai điểm

Lấy điểm M x y tùy ý thuộc đường tròn ( ); ( )C , ta có x2+y2+2x−4y− =4 0 *( )

Các ví dụ

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng :3 d x y+ − =9 0 Tìm

phép tịnh tiến theo vec tơ vr có giá song song với Oy biến d thành d' đi qua điểm A( )1;1 .

A vr =( )0;5 B vr =(1; 5− ) C vr=(2; 3− ) D vr=(0; 5− )

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng :2 d x−3y+ =3 0

và ':2d x−3y− =5 0 Tìm tọa độ vr có phương vuông góc với d để T d vr( ) =d'

Từ giả thiết suy ra 2− +a 3b+ = − ⇔3 5 2a−3b= −8

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là nr =(2; 3− )suy ra VTCP ur =( )3;2

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu T N vr( ) =M và N∈( )H thì M∈( )H' trong

đó ( )H' =T vr( ) ( )H và kết hợp với M thuộc hình ( )K

(trong giả thiết) suy ra M∈( ) ( )H' ∩ K

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho đường tròn tâm O , bán kính R và hai điểm phân biệt , C D nằm

ngoài ( )O Hãy dựng dây cung AB của đường tròn ( )O sao cho ABCD là hìnhbình hành

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung ABthỏa mãn yêu cầu bài toán

Do ABCD là hình bình hành nên AB DCuuur uuur= ⇒T CDuuur( )A =B

Nhưng A∈( )O ⇒ ∈B ( )O' =T DCuuuur( ) ( )O Vậy B vừa thuộc ( )O

và ( )O nên B chính là giao điểm của ' ( )O và ( )O '

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( )O là ảnh của đường tròn ' ( )O qua T DCuuuur

- Dựng giao điểm B của ( )O và ( )O'

- Dựng đường thẳng qua B và song song với CD cắt ( )O tại A

Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán

Chứng minh: Từ cách dựng ta có T DCuuuur( )A = ⇒B AB DC= ⇒ABCD

uuur uuur

là hình bình hành

Biện luận:

- Nếu CD>2R thì bài toán vô nghiệm

- Nếu CD=2R thì có một nghiệm

- Nếu CD<2R thì có hai nghiệm

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai

cạnh AB AC lần lượt tại ,, M N sao cho AM CN=

thỏa mãn bài toán Từ M dựng đường thẳng

song song với AC cắt BC tại P , khi đó MNCP

là hình bình hành nên CN PM= Lại có AM CN=

suy ra MP MA= , từ đó ta có AP là phân giác

trong của góc A

Cách dựng:

- Dựng phân giác trong AP của góc A

- Dựng đường thẳng đi qua P song song với

AC cắt AB tại M

- Dựng ảnh N T= PMuuuur( )C

Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa

yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Cho hai đường tròn ( )O và 1 ( )O cắt nhau tại ,2 A B Dựng đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai M N sao cho,

2

MN = l cho trước

Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua A

và cắt các đường tròn ( ) ( )O1 , O tương ứng tại 2

các điểm M N sao cho , MN =2l

Nếu T M vr( ) =M' và đểm M di động trên hình ( )H thì điểm M' thuộc hình

( )H , trong đó' ( )H là ảnh của hình ' ( )H qua T vr

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai điểm phân biệt ,B C cố định trên đường tròn ( )O tâm O

Điểm A di động trên ( )O Chứng minh khi A di động trên ( )O thì trực tâm

của tam giác ABC di động trên một đường tròn

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC Tia BO cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D Vì · BCD=900, nên DC AHP Tương

tự AD CHP , do đó ADCH là hình bình hành.Suy ra uuuur uuurAH DC= =2OMuuuur không đổi

OB OCuuur uuur cũng có phương không đổi.

Đặt OB v OC vuuur uur uuur uur= 1, = 2 không đổi , thì T O vuur1( ) =B T O, vuur2( ) =C

Vậy tập hợp điểm B là đường tròn 1;

2sin

BC A

 α÷

  ảnh của ,2sin

BC A

 α÷

  ảnh của ,2sin

BC A

1 Định nghĩa:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính

nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm

Ð M =M ⇔IMuuur= −IMuuuur với I là hình chiếu

vuông góc của M trên d

Nếu Ð d( ) ( )H  = H thì d được gọi là trục đối

xứng của hình ( )H

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M x y , gọi ( ); M x y' '; '( ) =Ð M d( )

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng

• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC Phương pháp:

Để xác định ảnh ( )H của hình ' ( )H qua phép đối xứng trục ta có thể dùng

Gọi J'=Ð J d( ) thì J là trung điểm của '0 JJ nên J' 3;1( )

Gọi ( )C' =Ð C d( ) ( ) thì 'J là tâm của ( )C và bán kính của ' ( )C là '' R = =R 2 Vậy

Các ví dụ

Ví dụ 1 Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d và hai đỉnh ,1 B D lần lượt thuộc hai đường thẳng d d 2, 3

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình

vuông ABCD, thỏa các điều kiện của

- Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d tại 1 O và cắt d tại B2

- Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d tại ,1 A C (Kí hiệu các điểm

,

A C theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD)

Biện luận:

Nếu d2'∩d3 thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình

Nếu d2'P thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.d3

Nếu d song song và cách đều 1 d và 2 d thì có vô số nghiệm hình (3 2)

Nếu d hợp với 1 d d một góc 2, 3 45° thì có một nghiệm hình (h3)

Nếu d song song và không cách đều 1 d d hoặc 2, 3 d không hợp 1 d d một góc2, 3

45° thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn ( ) ( )C , C có bán kính khác nhau và đường thẳng'

d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh ,A C lần lượt nằm trên ( ) ( )C , C và'hai đỉnh còn lại nằm trên d

Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD

thỏa mãn đề bài Ta thấy hai đỉnh ,B D d∈

nên hình vuông hoàn toàn xác định khi

biết C Ta có ,A C đối xứng qua d nên C

thuộc đường tròn ( )C , ảnh của đường 1

- Từ điểm C thuộc ( ) ( )C1 ∩ C' dựng điểm A đối xứng với C qua d Gọi

I =AC d∩

- Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB ID IA= =

Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng.

Chứng minh:

Dễ thấy ABCD là hình vuông có , B D d∈ , C∈( )C' Mặt khác ,A C đối xứng qua

d mà C∈( )C' ⇒ ∈A Ð d( ) ( )C' = C hay A thuộc ( )C

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của ( )C và 1 ( )C '

Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất : Nếu N Ð M= d( ) với M di động trên hình ( )H thì N di động

trên hình ( )H - ảnh của hình ' ( )H qua phép đối xứng trục d.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Trên đường tròn (O R cho hai điểm cố định ,, ) A B Đường tròn

(O R tiếp xúc ngoài với '; ') ( )O tại A Một điểm M di động trên ( )O MA cắt

( )O tại điểm thứ hai '' A Qua ' A kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB

tại 'B

Tìm quỹ tích điểm 'B

Lời giải :

Gọi C A B= ' '∩( )O' Vẽ tiếp tuyến chung

của ( )O và ( )O tại điểm A Ta có'

động trên đường tròn ( )O nên '' B di

động trên đường tròn ( )O ảnh của''

( )O qua ' Ð d

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I , P là một điểm

nằm trong tam giác Gọi ', ', 'A B C là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng

qua IA IB IC Chứng minh các đường thẳng , , AA BB CC đồng quy.', ', '

Tương tự BB CC lần lượt là trung trực của ', ' P P 1 3

và P P nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn 1 2

ngoại tiếp tam giác P P P 1 2 3

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : d x+2y− =5 0 Tìm ảnh của

b) ( )C có tâm I( )2;3 , đường thẳng qua I vuông góc với d là d x1: +2y− =8 0 Giao điểm của d d là & 1 14 13;

5 3

 .Gọi 'I là ảnh của I qua phép đối xứng trục

d thì M là trung điểm của ' ' 18 11;

cùng phía đối với d

Gọi 'A đối xứng với A qua d thì A' 5;1( )

Đẳng thức xảy ra khi B và C là các giao

điểm của B C' ' với Ox và đường phân giác

4 4

 ÷

 .

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Định nghĩa.

Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM' được gọi là phép

đối xứng tâm I

Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là Ð I

Vậy Ð M I( ) =M'⇔IM IMuuur uuuur r+ ' 0=

Nếu Ð H I( ) ( ) =( )H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình ( )H

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

Trong mặt phẳng Oxy cho I a b , ( ); M x y , gọi ( ); M x y là ảnh của ' '; '( ) M qua

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng

• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho điểm I( )1;1 và đường thẳng :d x+2y+ =3 0 Tìm ảnh của d qua

Thay vào ( )* ta được (2−x') (+2 2−y')+ = ⇔ +3 0 x' 2 ' 9 0y− =

Vậy ảnh của d là đường thẳng ': d x+2y− =3 0.

trùng với d nên phương trình ' d có dạng x+2y c+ =0

Ví dụ 1 Cho đường thẳng :d x−2y+ =6 0 và ':d x−2y−10 0= Tìm phép đối

xứng tâm I biến d thành ' d và biến trục Ox thành chính nó.

A I( )3;0 B I( )2;1 C I( )1;0 D I( )2;0

Tọa độ giao điểm của , 'd d với Ox lần lượt là A(−6;0) và B(10;0)

Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên

biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm 'A của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AA Vậy tâm đỗi xứng là ' I( )2;0 .

Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH.

a b

 =

⇔  =



Vậy I( )1;1 là tâm đối xứng của ( )C

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là

hình bình hành

Lời giải :

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I

Vì qua phép biến hình đỉnh của một đa

giác cũng được biến thành đỉnh của đa

giác nên đỉnh A có thể được biến thành

, ,

A B C hay D

- Nếu đỉnh A được biến thành chính nó

thì IA IAuur uur r+ = ⇔ ≡0 I A vô lí

- Nếu A biến thành B (hoặc D ) thì I là

trung điểm của AB( hoăc I là trung điểm của AD ) cũng vô lí.

Vậy A được biến thành C , lí luận tương tự thì B chỉ được biến thành D , vì vậy I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là

Ví dụ 1 Cho hai đường thẳng d d và hai điểm ,1, 2 A G không thuộc d d Hãy 1, 2

dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh , B C lần lượt thuộc d và 1 d 2

Phân tích:

Giả sử đã dượng được tam giác ABC thỏa mãn yêu

cầu bài toán

Gọi I là trung điểm của BC thì Ð C I( ) =B mà C d∈ 2

nên B d∈ 2' với d là ảnh của 2' d qua phép đối xứng

tâm I Lại có B d∈ ⇒ = ∩1 B d1 d2'

Cách dựng:

- Dựng điểm I sao cho 3

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn ( )O và ( )O cắt nhau tại hai điểm ,' A B vá số a>0

Dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng a.

Gọi N Ð M= A( ) ( ), O1 =Ð A( ) ( )O , ,H K lần lượt là trung điểm của AN và AM , khi

đó HO1⊥AM và OK⊥AM Gọi I là hình chiếu của O trên O H , ta có1

Mặt khác I thuộc đường tròn đường kính

1

OO nên I là giao điểm của đường tròn

đường kính OO với đường tròn1 ;

2

a O

 

 ÷

 do đó

I xác định và d là đường thẳng đi qua A

và song song với OI

 

 ÷

  và đường tròn đường kính OO 1

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC và đường tròn ( )O Trên AB lấy điểm E sao cho

uuur uuur uuur uur

Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi trên ( )O

Ð P =Q mà P di động trên đường tròn ( )O nên Q di động trên đường tròn

( )O , ảnh của đường tròn ' ( )O qua phép đối xứng tâm I

Ví dụ 2 Cho đường tròn ( )O và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên ( )O , M không trùng với ,A B Hai đường tròn ( ) ( )O1 , O cùng đi qua2

M và tiếp xúc với AB tại A và B Gọi N là giao điểm thứ hai của ( )O và1

( )O Tìm tập hợp điểm 2 N khi M di động

Gọi I MN= ∩AB, ta có IA2=IM IN 1( )

Tương tự IB2=IM IN 2( ).

Từ ( )1 và ( )2 suy ra IA IB= nên I là trung điểm của AB.

Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn ( )O

Dễ thấy P I O/( ) = −IM IP = −IA IB = −IA2

Do đó −IM IN = −IM IP ⇒IN IP= vậy I là trung điểm của NP do đó Ð P I( ) =N,

mà P di động trên đường tròn ( )O nên N di động trên đường tròn ( )O ảnh 'của đường tròn ( )O qua phép đối xứng tâm I

Vậy tập hợp điểm N là đường tròn ( )O ảnh của đường tròn ' ( )O qua phép đối xứng tâm I

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

21 Tìm ảnh của đường thẳng :3d x−4y+ =5 0 qua phép đối xứng tâm I(−1;2)