TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNGI.. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 1... BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1.. Chú ý: định lý có thể được chứng minh bằng quy nạp tương tự như Jensen.. Hệ quả bất đẳng thức trun
Trang 1TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
I BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
1 Định nghĩa hàm lồi
Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu x1 x2 f(x )1 f(x )2
f
çè ø với "x , x1 2 Î (a; b) thì f(x) được gọi là hàm lồi trên khoảng (a; b) (ngược lại là hàm lõm)
Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2
2 Định lý
Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì hàm số f(x) lồi trên khoảng (a; b)
Chứng minh:
Giả sử đồ thị y = f(x) lõm trên (a; b) Gọi A(x1; f(x1)), B(x2; f(x2)) và x1 x2 x1 x2
thẳng x1 x2
x
2
+
= cắt AB tại trung điểm I Dễ thấy yM < yI khi A khác B và yM = yI khi A trùng B
Suy ra x1 x2 f(x )1 f(x )2
f
çè ø Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2.
Vậy nếu f (x)/ / > 0 mọi x thuộc (a; b) thì f(x) là hàm lồi trên (a; b), ngược lại f (x)/ / < 0 thì f(x) lõm
3 Định lý Jensen
Nếu hàm số f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì x1 x2 xn f(x )1 f(x )2 f(x )n
f
thuộc khoảng (a; b) (k = 1, 2,…, n) Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = … = xn
Chứng minh:
+ Với n = 2: định lý đúng (do định nghĩa)
+ Giả sử định lý đúng với n = k, ta có x1 x2 xk f(x )1 f(x )2 f(x )k
f
+ Với n = k + 1:
– Trường hợp k lẻ, đặt m k 1
2
+
+
ç
÷
(*)
+
+
Suy ra định lý đúng cho k lẻ (1)
– Trường hợp k chẵn, chứng minh tương tự (1) ta được:
f
Trang 2Áp dụng (2) cho 1 2 k 1
k 2
x
+ +
=
f(x ) f(x ) f(x ) f
f
+ +
+
÷
f
÷
Suy ra định lý đúng cho k chẵn (3)
Từ (1) và (3) định lý được chứng minh
4 Hệ quả
Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
Chứng minh:
Xét hàm số
3 / /
x
= Þ = > " > , suy ra f(x) là hàm lồi khi x > 0
Áp dụng Jensen với 3 số dương a2, b2 và c2 ta được:
3
II BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1 Định lý
Cho n số thực không âm a1, a2, …, an ta có:
1 2 n
a a a n
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Chứng minh:
+ $ak = 0 (k = 1, 2,…, n) thì định lý là tầm thường
+ Với ak > 0 (k = 1, 2,…, n) xét hàm f(x) = lnx, x > 0 ta có:
/ /
2
1
x
= - < " > , suy f(x) lõm trên x > 0 Áp dụng Jensen cho hàm lõm, ta được:
( )
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Chú ý: định lý có thể được chứng minh bằng quy nạp (tương tự như Jensen).
2 Hệ quả (bất đẳng thức trung bình nhân và trung bình điều hòa)
Cho n số thực dương a1, a2, …, an ta có:
Trang 31 2 n
n
a a a
³
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an
Chứng minh: Áp dụng Cauchy cho n số
, , .,
III BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY–SCHWARZ (hay Buniakowski – Cauchy – Schwarz hay B–C–S)
Định lý
Cho 2n số thực a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thì:
( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )2
a + a + + a b + b + + b ³ a b + a b + + a b
a b + a b + + a b £ a + a + + a b + b + + b Đẳng thức xảy ra khi ak = mbk, với m Î ¡ và k = 1, 2, …, n
Chứng minh:
Đặt
n
k 1
f(x) (a x b ) (a x b ) (a x b ) (a x b )
=
n 2 k
k 1
=
= å ,
n
k k
k 1
=
n
k
k 1
=
Do f(x) ³ 0 x" Þ B2 - AC £ (đpcm).0 Khi ak = mbk, với m Î ¡ và k = 1, 2, …, n ta có đẳng thức xảy ra (ý này xuất phát từ f(x) = 0)
IV BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
1 Định lý
Cho n số thực a1, a2, …, an cùng dấu và lớn hơn – 1 thì:
(1+ a )(1+ a ) (1+ a ) ³ 1+ a + a + + a
hay
n n
Chứng minh:
+ Định lý đúng khi n = 1
+ Giả thiết định lý đúng khi n = k ta có
k k
+ Khi n = k + 1 ta có:
+
÷
2 Hệ quả
Khi a1 = a2 = … = an = a > – 1 thì (1+ a)n ³ 1+ na, n" Î ¥