Khi sản suất lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp sắt tây là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.. Tron
Trang 1BÀI TOÁN THỰC TẾCHƯƠNG I VẬN DỤNG
1/ Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí C, biết rằng
khoảng cách ngắn nhất từ vị trí C đến vị trí B là 1km; Khoảng cách từ B đến A là 4 km Mỗi km dây
điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, trên mặt đất là 3000 USD Hỏi vị trí điểm S đặt ở trên bờ, cách
A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?
Nhiễu :Sai qui tắc làm tròn số và tính toán
Gợi ý:
Đặt x = BS, 0 ≤ x ≤ 4 Khi đó CS= x2+ , AS = 4 – x 1
Tiền mua đây điện là:
2 T(x)=5000 x + +1 3000(4 x)
-Hàm số T đạt giá trị nhỏ nhất tại x=3, 75
[<Br>]
2/ Ống thép tròn 21 theo tiêu chuẩn BSl có đường kính trong là 15mm độ dày 2mm, chiều dài mỗi
ống là 6m Biết khối lượng riêng của thép là 7800kg/m3 Từ 10 tấn thép nguyên liệu số ống thép tối đa
làm được theo tiêu chuẩn trên là:
Nhiễu B Sai qui tắc làm tròn số
Nhiễu C Sai hàng làm tròn số
Nhiễu D Sai không làm tròn số
Giải
Diện tích mặt cắt của ống : S R2 r2 với r = 0,0075m ; R = 0,0095m
Thể tích phần thép tạo nên 1 ống là : V =Sl= p(0, 00952- 0, 0075 6 6, 408849013.102) » - 4( )m3
Khối lượng mỗi ống dài 6m là V.7800 = 4,99890223kg
10 tấn thép nguyên liệu ta được 10000 :4,99890223 2000 ống
[<Br>]
3/ Khi sản suất lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm
vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Em hãy cho biết diện tích
toàn phần của lon gần đúng nhất đến hàng phần trăm khi ta muốn có thể tích của lon là 314cm3
Nhiễu B Sai qui tắc làm tròn số
Nhiễu C Sai hàng làm tròn số
Nhiễu D Sai không làm tròn số
Giải
Thể tích hình trụ 2 314
r h
r
[<Br>]
4/ Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R thì thể tích lớn nhất của các hình trụ đó là:
A
3
4 R
3 3
p
B
3 R
3 3
p
C
3
4 R 2
p
D
3 R 2 p Nhiễu B Sai công thức
x
1km
4km
C
Trang 2Nhiễu C Sai công thức
Nhiễu D Hiểu sai bài toán
Gợi ý:
Gọi đường cao hình trụ là h, hÎ (0;2R)thì V trụ là V r h2 R2 h2 h R h2 h3
= p = pçç - ÷÷ = pçç - ÷÷
ax
3 (0;2R )
= çç ÷÷=
çè ø [<Br>]
5/ Xét chuyển động thẳng của một chất điểm xác định bởi phương trình s(t)=6t2- t3, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét Thời điểm t (giây) gần đúng nhất mà tại đó vận tốc v(m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
Nhiễu A Không đọc kỹ đề, tính sang vận tốc max
Nhiễu C Tính sai
Nhiễu D Sai theo C và A
Gợi ý:
2 3
s(t)=6t - t nên v=s'(t)=12t 3t- 2; v’= 12 - 6t;v '= Þ0 t=2; ax(0;M )v v(2) 12
[<Br>]
6/ Xét chuyển động thẳng của một chất điểm xác định bởi phương trình s(t) 1t4 t3 1t2 3t
-trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét Thời điểm mà tại đó vận tốc v(t) của chất điểm triệt tiêu là:
Nhiễu A Không đọc kỹ đề, coi là thời gian triệt tiêu
Nhiễu C Tính sai
Nhiễu D Sai theo C và A
Gợi ý:
= - + - nên v=s'(t)=t3- 3t2+ -t 3;v= Þ0 t=3
[<Br>]
7/ Xét chuyển động thẳng của một chất điểm xác định bởi phương trình 1 4 3 1 2
-trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét Gia tốc a(t) của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây là:
Nhiễu A C D Không đọc kỹ đề, hiểu nhầm câu hỏi
Gợi ý:
= - + - nên v=s'(t)=t3- 3t2+ -t 3;a(t)=v '=3t2- 6t 1+ ; a(2)=1 [<Br>]
8/ Xét chuyển động thẳng của một chất điểm xác định bởi phương trình s(t) 1t4 t3 1t2 3t
-trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét Vận tốc v(t) của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây là:
Trang 3Nhiễu A C D Không đọc kỹ đề, hiểu nhầm câu hỏi
Gợi ý:
= - + - nên v=s'(t)=t3- 3t2+ -t 3; v(2)= - 5
[<Br>]
9/ Một người thợ mộc cần xây một căn phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi 54m Một cạnh của
căn phòng là bao nhiêu để diện tích của căn phòng là lớn nhất?
A 21m
27m
25m
27m 4 Nhiễu A C D Tính toán sai
Gợi ý:
Gọi kích thước thứ nhất của căn phòng là x(m), xÎ (0;27), kích thước thứ 2 là 27 x(m)- nên diện tích căn phòng là f(x)=x(27 x)- suy ra f(x) lớn nhất khi x 27m
2
= [<Br>]
10/ Một người chủ trang trại chăn nuôi gia súc muốn rào hai
chuồng bằng nhau nhốt gia súc thành hai chuồng hình chữ nhật, một
chuồng nhốt cừu, một chuồng nhốt dê Ông ta đã có sẵn 240m hàng
rào Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh 2 chuồng là bao nhiêu
(giả sử diện tích hàng rào là không đáng kể)?
A 4000 m2
B 3600 m2 (không tính hàng rào ngăn hai chuồng)
C 4800 m2
D 2400 m2
Nhiễu A C: tính toán
Nhiễu B Không tính hàng rào ngăn giữa 2 chuồng
Gợi ý:
Gọi kích thước chuồng là a và b, khi đó 3a
2
= - , diện tích hai chuồng là 2
-çè ø với aÎ (0;80), suy ra S'=120 3a- ; axm S S(40) 2400(0;40) = = [<Br>]
11/. Một cơ sở in sách xác định rằng: diện tích của toàn bộ trang sách là
S (cm2) Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối phải cách mép (trên
và dưới) trang sách là a (cm) Lề bên trái và lề bên phải cũng cần cách mép là
b (cm) Cần các kích thước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần
in các chữ có giá trị lớn nhất?
A b; aS
a
bS;
C bS; S
aS
bS;
Nhiễu A B C do tính toán
Gợi ý:
b b
a
a
sông
C
B
Trang 4Gọi kích thước thứ nhất của trang sách là x (cm) thì kích thước thứ hai là y S
x
= (cm), khi đó diện tích
dùng để in chữ là f(x) (x 2a ) S 2b
x
S
2
S(x 2a)
b
aS
y
a b
[<Br>]
12/. Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được chiếu trong nhà hát Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định rằng: nếu giá vé vào cửa là 20$ thì trung bình có
1000 người đến xem Nhưng nếu tăng mỗi vé thêm 1$ thì sẽ mất 100 khách trong số trung bình Trung bình mỗi khách hàng dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát Em hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập của nhà hát là lớn nhất?
Nhiễu B nhầm trừ thành cộng
Nhiễu C nhầm trong ngoặc có 10+5,9
Nhiễu D làm tròn số
Gợi ý: Giả sử vé vào cửa là 20 + x ($), so với giá 20$ thì chênh lệch x ($) và như vậy sẽ thu được
f(x)=(1000 100x)(21,8 x)$- + f '(x)= - 100(11,8 2x)+ ; f '(x)= Û0 x= - 5, 9;
vậy axm ff ( 5, 9)= - =25281$ .KL: giá vé vào cửa là 20 – 5,9 = 14,1 $
[<Br>]
13/. Một công ty Container cần thiết kế các thùng đựng
hàng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông,
thể tích 108 m Các cạnh hình hộp và đáy là bao nhiêu 3
để tổng diện tích xung quanh và diện tích của mặt đáy
là nhỏ nhất?
A Cạnh đáy hình hộp là 3m, chiều cao là 3m
B Cạnh đáy hình hộp là 3m, chiều cao là 6m
C Cạnh đáy hình hộp là 9m, chiều cao là 3m
D Cạnh đáy hình hộp là 6m, chiều cao là 3m
Nhiễu A B C nhầm công thức và tính toán
Gợi ý:
Giả sử cạnh đáy là x (m) thì chiều cao của là 1082
x (m), khi đó tổng diện tích xung quanh và mặt đáy là 2
432
x
= + ; f '(x) 4322 2x
x
= - + ; f '(x)= Û0 x= , suy ra chiều cao là 36 [<Br>]
14/. Một cửa hàng bán thú kiểng cần làm một chuồng thú
Hình chữ nhật sao cho phần cần làm hàng rào là 20 m
Chú ý rằng, hình chữ nhật này có hai cạnh trùng với
mép của hai bức tường trong góc nhà nên không cần
rào Các cạnh cần rào của hình chữ nhật là bao nhiêu
để diện tích chuồng là lớn nhất có thể? (giả sử diện tích hàng
rào không đáng kể)
Hàng rào
Tường
Trang 5A Mỗi cạnh là 10m B Mỗi cạnh là 5m C 8m và 12m D 9m và 11m
Nhiễu B Vẫn tính hình chữ nhật
Nhiễu C D Tính toán kèm sở thích
Gợi ý:
Gọi kích thước thứ nhất của chuồng thú là x(m) thì kích thước thứ 2 là 20 – x (m) và do đó diện tích chuồng là f(x)=x(20 x)- ; f '(x)=20 2x- ; f '(x)= Û0 x=10
[<Br>]
15/ Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của
mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n)=480 20n- (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Nhiễu A C D do tính toán
Gợi ý:
Trên mỗi đơn vị diện tích có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f(n)=n.P(n)=480n 20n- 2 (gam) Xét hàm f(x)=480x 20x- 2 trên khoảng (0;+¥ ,)
suy ra f '(x)=480 40x- ; f’(x) = 0 khi x = 12
[<Br>]
16/ Người ta muốn làm một con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ một con sông,
các số liệu được thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm theo đường gấp khúc AMNB Biết rằng chi phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm B nhiều gấp 1,3 lần chi phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ nhất?
Nhiễu tính toán và làm tròn, nhìn nhầm số
Giải
Đặt x = HM (0 x 4,1)
4 , 1 2 , 25 ,
44 ,
Gọi a là số tiền để làm 1km đường bên bờ có điểm A Khi
đó chi phí để làm hai đoạn AM và BN là :
2 1 , 44 1 , 3 4 , 1 2 2 , 25
x f
4 , 1 2 , 25
1 , 4 3
, 1 44 , 1
'
2 2
x
x a
x
x a x f
f’(x) = 0 x 2 , 630356850 x0
f 0 5,621108864 ; 0 6,87550878 ; 4,1 6,22200187
Do đó 0
1
,
4
;
0 f x f x
Min Vậy HM 2 , 63036km
[<Br>]
17/ Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 km Trên bờ biển có một cái
kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h Xác định vị trí điểm M để người đó đi đến kho nhanh nhất?
Nhiễu do dùng phép tính gần đúng
A
1,5 km
1,2 km
4,1 km M
N H
B
Trang 6Gợi ý:
Đặt x = BM, 0 ≤ x ≤ 7 Khi đó AM = x2+25, CM = 7 – x
Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:
2
T(x)
-Hàm số T đạt giá trị nhỏ nhất tại x 2 5=
[<Br>]
18/ Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x)=0, 025x (30 x)2 - trong đó
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Hãy tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất?
A 30 mg B 20 mg C 15 mg D 40 mg
[<Br>]
19/ Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x)=0, 025x (30 x)2 - trong đó
x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Hãy tính độ giảm huyết áp nhiều nhất khi tiêm thuốc?
A 130 mg B 100 C 125 D 135
[<Br>]
20/ Một con cá bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt một quãng sông với khoảng cách là 300 km
(tới nơi sinh sản), vận tốc dòng nước là 6 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được tính bởi công thức E(v)=cv t,3 trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun Hãy tính vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao
là ít nhất?
A 8 km/h B 9 km/h C 10 km/h D 12 km/h
Hướng dẫn E(v) cv t3 300c. v3
v 6
-x
5km
7 km
A