Các bài toán thực tế về hàm đặc trưng nguyễn bá hoàng

Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm và ước tính rằng với q sản phẩm được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là C q 3q272q9789 đơn vị tiền tệ.. Hãy xác định số sản p

Các bài toán thực tế về hàm đặc trưng

A Nội dung kiến thức

Thông thường các bài toán thực tế liên quan đến hàm đặc trưng quy về bài toán yêu cầu bạn đọc đi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số này trên một miền, hay cũng có thể đơn giản chỉ là tính giá trị của hàm số tại một điểm

Về cách tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một miền bằng cách khảo sát sự biến thiên của hàm số tác giả xin được không nhắc lại! Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công thức sau :

 Cho hàm số yax2 bx c, nếu a0 thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi

.2

b x

2

b a

a

 Cho hàm số yax2 bx c, nếu a0 thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi

.2

b x

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân Sau thời gian

t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được cho bởi công thức 0, 282

Hỏi sau bao lâu kể từ khi tiêm thì nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân là lớn nhất?

Lời giải

Ta có :  

2 2 2

0, 28 4'( )

2

'( ) 0 0 0, 28 4 0

24

Như vậy sau 45 năm kể từ năm 1970 tức là năm 2015 thì tốc độ tăng trưởng dân số là 0, 048

nghìn người/năm

Đáp án C

Ví dụ 3 Một công ty chuyên sản xuất đĩa CD với chi phí mỗi đĩa là 40 (nghìn đồng) Theo nghiên cứu

nếu mỗi đĩa bán với giá x (nghìn đồng) thì số lượng đĩa bán được sẽ là q x( ) 120 x,(x *) Hãy xác định giá bán của mỗi đĩa sao cho lợi nhuận mà công ty thu được là cao nhất?

A 60 nghìn đồng B 70 nghìn đồng C 80 nghìn đồng D 90 nghìn đồng

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên (0;120)

Nhận thấy rằng đây là hàm số dạng ax2 bx c với a0 nên nó đạt giá trị lớn nhất trên khi

Ví dụ 4 Công ty A chuyên sản xuất một loại sản phẩm và ước tính rằng với q sản phẩm được sản

xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là C q( )3q272q9789 (đơn vị tiền tệ) Giá của mỗi sản phẩm được công ty bán với giá R q( ) 180 3  q Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất trong một tháng (giả sử công ty này sẽ bán hết được số sản phẩm mà mình làm ra) để thu về lợi nhuận cao nhất ?

Ví dụ 5 Một khách sạn có 50 phòng, người ta tính rằng nếu mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn

đồng một ngày thì tất cả các phòng đều hết Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống Hỏi người quản lý phải quyết định giá phòng là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất ?

A 440 nghìn đồng B 450 nghìn đồng C 430 nghìn đồng D 460 nghìn đồng

) theo thời gian t (giờ) kể từ lúc bắt đầu bị bệnh Hỏi độ chênh

lệch nhiệt độ giữa nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất trong vòng 11 giờ kể từ lúc mắc bệnh là bao nhiêu

(tính theo C), biết rằng 32

1,8

F C

(0) 98, 6 min ( ) (0) 98, 6 39(6) 102, 2

max ( ) (6) 102, 2 37(11) 99, 7

Ví dụ 7 Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm Trái đất nóng lên Theo

OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm Người ta ước tính rằng, khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2 C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%; còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% Biết rằng nhiệt độ trái đất tăng thêm t C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t( )% thì ( ) t

f t k a , trong đó k và a là các hằng số dương Hỏi khi nhiệt độ Trái đất tăng thêm bao nhiêu C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% ?

A 8, 4 C B 9,3 C C 7, 6 C D 6, 7 C

Lời giải

Ví dụ 8 Một công ty chuyên sản xuất kim cương, theo nghiên cứu nếu mỗi viên kim cương giá x

(nghìn USD) thì lợi nhuận thu được từ việc bán viên kim cương đó là 1 2

( ) (6 )16

q x  x x (nghìn USD) Hỏi khi bán một viên kim cương công ty này có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu tiền lãi, biết rằng giá bán của mỗi viên kim cương do công ty này sản xuất không vượt quá 6000 USD

A 500 USD B 1000 USD C 1500 USD D 2000 USD

Lời giải

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 2

( ) (6 )16

q x  x x trên 0;6

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có :

3 2

Đáp án D

Ví dụ 9 Khi nuôi cá trong hồ, một nhà sinh vật học thấy nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có

n con cá thì trung bình sau mỗi vụ một con cá nặng P n( )480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu

cá trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất, biết rằng mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ không được thả nhiều hơn 23 con cá ?

A Thả 8 con B Thả 12 con C Thả 20 con D Thả 23 con

Lời giải

Khối lượng cá thu được sau một vụ là : f x( )n P n ( )n.(480 20 ) n (gam)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( )n(480 20 ) n trên 0; 23

Ví dụ 10 Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức MlogAlogA0, với A là biên độ

rung chấn tối đa và A là hằng số Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo 0

được là 8 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản ?

log log 8 log 8

log log 6 log 6

A

A B

quá A Hỏi 20172017 có bao nhiêu chữ số ?

A 9999 chữ số B 6666 chữ số C 6665 chữ số D 6699 chữ số

Bài 1 Một của hàng bán sản phẩm với giá 10 USD Với giá bán này, của hàng bán được khoảng 25

phản phẩm Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cứ giảm 2 USD thì số sản phảm tăng lên 25 sản phẩm Xác định giá bán để của hàng thu được lợi nhuận nhiều nhất, biết rằng giá mua về của một sản phẩm là 5 USD

Bài 2 Một công ty du lịch dự định tổ chức một tua xuyên Việt Coobg ty dự định nếu giá tua là 2

triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất ?

Bài 3 Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm hai phần Trong đó phần thứ nhất không

phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng/giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với vận tốc, khi 10

v km/h thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất ?

A 25 km/h B 15 km/h C 20 km/h D 30 km/h

Bài 4 Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức

4 3

1( ) 30

B Tốc độ bơm tăng từ lúc bắt đầu bơm đến phút 75

C Tốc độ bơm luôn giảm

D Tốc độ bơm luôn tăng

Bài 5 Biết rằng mối quan hệ giữa nhu cầu thị trường và sản lượn gạo của một doanh nghiệp được

cho theo hàm 656 1

2

Q  P, trong đó Q là lượng gạo mà thị trường cần và P là giá bán của

một tấn gạo Lại biết chi phí cho việc sản xuất được cho theo hàm

3 2

( ) 77 1000 100

C Q Q  Q  Q , trong đó C là chi phí doanh nghiệp bỏ ra, Q (tấn) là lượng

gạo sản xuất trong cùng một đơn vị thời gian Để có lợi nhuận cao nhất thì doanh nghiệp này cần sản xuất lượng gạo gần với giá trị nào nhất sau đây ?

A 51 tấn B 52 tấn C 2 tấn D 3 tấn

Bài 6 Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại sản phẩm với giá 45 nghìn đồng cho mỗi sản

phẩm, với giá bán này khách hàng sẽ mua 60 sản phẩm mỗi tháng Doanh nghiệp dự định tăng giá bán và họ ước tính rằng nếu tăng giá bán lên 2 nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ bán được

ít hơn 6 sản phẩm Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 27 nghìn đồng Hỏi doanh nghiệp phải bán với giá bao nhiêu để lợi nhuận thu được là lớn nhất

A 46 nghìn đồng B 47 nghìn đồng

C 48 nghìn đồng D 49 nghìn đồng

Bài 7 Trong giai đoạn từ năm 1980 đến năm 1984, tỉ lệ phần trăm những hộ gia đình ở Mỹ có ít

nhất một đầu máy video (VCR) đã được mô hình hóa bởi hàm số sau : 75 0,6

A Năm 1994 B Năm 1990 C Năm 1989 D Năm 1987

Bài 8 Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay của một bệnh nhân Sau t giờ, nồng

độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được cho bởi công thức  0,4 0,6 

( ) 100 t t

C t  e e với

0 t 24 Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân là lớn nhất (làm tròn đến 1 giờ)

A 12 giờ B 8 giờ C 6 giờ D 2 giờ

Bài 9 Sự sản sinh virut Zika ngày thứ t có số lượng là N t( ), biết '( ) 1000

Bài 10 Các loài cây xanh trong quá trình quang học sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một

đồng vị của cacbon) Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tượng quang hợp sẽ ngưng

và nó sẽ không nhận thên cacbon 14 nữa Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14 Gọi P t( ) là số phần trăn cacbon còn lại trong

một bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t( ) được cho bởi công thức :

A 3574 năm B 3754 năm C 3475 năm D 3547 năm

Bài 11 Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá

2000000 đồng thì mọi căn hộ đều có người thuê, nhưng cứ tăng giá cho thuê mỗi căn hộ

100000 đồng mỗi tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì

A 2225000 đồng B 2100000 đồng

Bài 12 Một giáo viên luyện thi Đại học đang đau đầu về việc thi cử thay đổi liên tục, cộng với việc

lương thấp không đảm bảo cuộc sống nên đang phân vân có nên tạm thời gác lại niềm đam

mê chuyển hẳn sang kinh doanh trà sữa Trân Châu hay không Sau khi nhờ người nghiên cứu thị trường thì thu được kết quả như sau: nếu bán với giá 40000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình bán được 2000 cốc, còn từ mức giá 40000 đồng mà cứ tăng 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 28000

đồng Hỏi phải bán mỗi cốc trà sữa với giá bao nhiêu để thu được lợi nhuận tối đa?

 

  , trong đó

0

m là khối lượng ban đầu của các chất phóng xạ (tại thời điểm t0); T là chu kỳ bán rã (tức

là khoảng thời gian để một khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kỳ bán rã của 14C là khoảng 5730 năm Người ta tìm được trong mẫu đồ cổ một lượng cacbon và xác định nó mất khoảng 25 % lượng 14

C ban đầu của nó Hỏi mẫu đồ cổ đó khoảng bao nhiêu năm tuổi ?

A 2378 năm B 2300 năm C 2387 năm D 2400 năm

Bài 14 Một sóng âm truyền trong không khí với mức cường độ âm được tính theo công thức

 là cường độ âm chuẩn Mức cường độ âm tại

điểm M và tại điểm N lần lượt là 40 dB và 80 dB Cường độ âm tại N lớn hơn cường độ âm tại M bao nhiêu lần ?

A 10000 lần B 1000 lần C 40 lần D 2 lần

Bài 15 Số lượng một loại vi khuẩn trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

( ) (0).2t

s t s , trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, s t( ) là số lượng vi khuẩn sau

t phút Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn là 625 nghìn con Hỏi sau bao lâu kể từ lúc bắt

đầu, số lượng vi khuẩn là 10 triệu con ?

A 48 phút B 19 phút C 7 phút D 12 phút

Bài 16 Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 50 hành khách Nếu một chuyến xe buýt chở x hành

khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là

A Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là 3200000 đồng

B Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất khi chở 45 hành khách

C Một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là 2700000 đồng

D Một chuyến xe buýt thu được nhiều nhất khi chở 50 hành khách

Bài 17 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G x( )0, 024x2(30x) ,

trong đó x (mg) là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp Tìm lượng thuốc để

tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất

A 20 mg B 0,5 mg C 2,8 mg D 15 mg

Bài 18 Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi Ra226 là 1602 năm (tức là một lượng Ra226sau

1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa) Sự phân hủy được tính theo công thức S A e rt ,trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r (r0) là tỉ lệ phân hủy hàng năm, t là thời

gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy Hỏi 5 gam Ra226 sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số phần thập phân)?

Bài 19 Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức S A e rt , trong đó A là số lượng vi

khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r0), t là thời gian tăng trưởng Biết số vi khuẩn ban

đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau :

A 3 giờ 9 phút B 4 giờ 10 phút C 3 giờ 40 phút D 2 giờ 5 phút

Bài 20 Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước Giả sử sau 9 giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ

Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín 1

Bài 21 Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t là với số lượng là F t( ), biết

nếu phát hiện sớm khi số lượng không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa Biết 1000

t và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân phát

hiện ra bị bệnh Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không?

A 5433,99 và không cứu được B 1499,45 và cứu được

C 283,01 và cứu được D 3716,99 và cứu được

Bài 22 Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M logAlogA , với A 0

là biên độ rung chấn và A là một biên độ chuẩn (hằng số) Đầu thế kỷ 20, một trận động đất 0

ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam

Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A 33, 2 B 11 C 8,9 D 2,1

Bài 23 Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ

và sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp đôi so với trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau mấy giờ thì lá bèo phủ kín 1

3 hồ?

Bài 24 Các nhà khoa học thực hiện nghiên cứu trên một nhóm học sinh bằng cách cho họ xem một

danh sách các loài động vật và sau đó kiểm tra xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng Sau

t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức

Bài 25 Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ

thời điểm tháng 2 năm 2004 Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ như sau : ( )U x  A(1 0, 04) x với A là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004 Hỏi

đến sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động xấp xỉ là 194790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108160 người

A 1 năm 5 tháng B 1 năm 2 tháng

Bài 26 Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ

cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức 0 xi,

PP e với P0 760 mmHg là áp suất ở mức nước biển (x0), i là hệ số suy giảm Biết rằng ở độ cao 1000 m áp suất của không khí là 672,71 mmHg Hỏi áp suất không khí là

3 2

3

h t  t và lúc đầu bồn không có nước Tìm mức nước L (cm) ở bồn sau khi bơm nước được 19 giây

A L14 B L15, 25 C L16, 25 D L18,5

Bài 28 Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức SA e rt, với A là số lượng vi

khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r0), t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng

vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn là

8100 con ?

A 4 giờ B 24 giờ C 10 giờ D 20 giờ

Bài 29 Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N x  Biết rằng   2000

'1