04 ty so the tich

Cc tính chất của lăng trụ: a Hình lăng trụ  Cc cạnh bn của hình lăng trụ song song v bằng nhau  Cc mặt bn của hình lăng trụ l cc hình bình hnh  Hai đy của hình lăng trụ l hai đa gic b

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Phương php: Sử dụng cơng thức thể tích

 Thể tích khối lăng trụ: V B h

 Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ cc cạnh a b c, , : V abc

 Thể tích khối lập phương cạnh a: V a3

Để tính thể tích của khối lăng trụ A A1 2 A A An 1 2' ' A ta cần đi tính n'

chiều cao của lăng trụ v diện tích đy Cc tính chất của lăng trụ:

a) Hình lăng trụ

 Cc cạnh bn của hình lăng trụ song song v bằng nhau

 Cc mặt bn của hình lăng trụ l cc hình bình hnh

 Hai đy của hình lăng trụ l hai đa gic bằng nhau v nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

 Lăng trụ cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc hai đy được gọi l lăng trụ đứng.

* Cc cạnh bn của lăng trụ đứng chính l đường cao của nĩ

* Cc mặt bn của lăng trụ đứng l cc hình chữ nhật

 Lăng trụ đứng cĩ đy l đa gic đều được gọi l lăng trụ đều

Cc mặt bn của lăng trụ đều l cc hình chữ nhật bằng nhau.

b) Hình Hộp : L hình lăng trụ cĩ đy l hình bình hnh

 Hình hộp đứng cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc với đy

 Hình hộp đứng cĩ đy l hình chữ nhật được gọi l hình hộp chữ nhật.

 Hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước bằng nhau được gọi l hình lập

phương.

 Đường cho của hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a b c, , l

d  a b c

 Đường cho của hình lập phương cạnh a l d a 3.

Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC A B C ' ' ' cĩ AB a , gĩc giữa hai mặt phẳng ( 'A BC) v (ABC) bằng 600 Gọi G l trọng tm tam gic '

A BC Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v tính bn kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện GABC theo a.

Lời giải

Gọi H l trung điểm của BC, theo

giả thuyết ta cĩ : A HA ' 600

Ta cĩ : 3 , ' 2 3

2

a

AH  A H  AH a

v ' 3

2

a

AA 

Vậy thể tích khối lăng trụ

2 3 3. 3 3 3

M G

H

A'

B' C'

C

B

A J

Gọi I l tm của tam gic ABC, suy ra GI / /AA' GI (ABC)

Gọi J l tm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy ra J l giao điểm của GI

với đường trung trực đoạn GA; M l trung điểm GA, nn cĩ:

2

GM GA GJ GI R GI

Ví dụ 2 3 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng,

AB BC a  , cạnh bn AA'a 2 Gọi M l trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' v khoảng cch giữa hai đường thẳng AM B C, '

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra tam gic ABC vuơng cn tại B.

Thể tích khối lăng trụ l:

3

2

V AA S  a (đvtt).

Gọi E l trung điểm của BB'

Khi đĩ mặt phẳng (AME) / / 'B C nn

d AM B C d B C AME d C AME .

Nhận thấy d C AME , ( ) d B AME , ( ) h

Do tứ diện BAME cĩ BA BM BE, , đơi một

E

M

C'

A' B'

C

vuơng gĩc nn: 12 12 1 2 12 72 7

7

a h

h BA BM BE a  

Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AM v B C' l 7

7

a .

Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC A B C ' ' ' cĩ BB'a, gĩc giữa đường thẳng BB' v mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam gic ABC vuơng tại

C v BAC 600 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B' ln mặt phẳng (ABC) trng với trọng tm của tam gic ABC Tính thể tích khối tứ diện A ABC' theo a.

Lời giải

Gọi D l trung điểm AC,

G l trong tm ABC

2

a

3

BG  BD .

C' A'

G D

C B'

Trong ABC, ta cĩ: 3 ,

2

Thể tích khối tứ diện A ABC' :

3

Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' cĩ độ di cạnh bn bằng 2a, đy ABC l tam gic vuơng tại A, AB a AC a ,  3 v hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh '

A trn mặt phẳng ABC l trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích

khối chĩp A ABC' v tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA B C', ' '

Lời giải.

Gọi H l trung điểm BC  A H' (ABC) v

2 2

AH  BC a  a a

 A H a'  3

3

(đvtt).

Trong tam gic vuơng A B H' '

cĩ:

C'

B'

H A

B

C A'

HB  A B A H  a nn tam gic B BH' cn tại B'

Đặt  l gĩc giữa hai đường thẳng AA' v B'C' thì:   'B BH Vậy

1 cos

a

a

   .

Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 cĩ đy ABCD l hình chữ nhật.

AB a , AD a 3 Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A1 trn mặt phẳng

(ABCD) trng với giao điểm AC v BD Gĩc giữa hai mặt phẳng

ADD A1 1 v (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v

khoảng cch từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1  theo a Đề thi

ĐH Khối B – 2011

Lời giải

Gọi O AC BD I, l trung

điểm cạnh AD

Ta cĩ AD(AOI)

Vì

2

a

OI  , suy ra A I1 2OI a

2

a

A O OI

I

D1

C1

B1

O B

A

D C

A1

H

Do đĩ

1 1 1 1

3

Gọi B2 l điểm chiếu của B1 xuống mặt phẳng ABCD

B C A D B C A BD  d B A BD d C A BD CH

Trong đĩ CH l đường cao của tam gic vuơng BCD

Ta cĩ: 2 2 3

2

CH



Vậy  1, ( 1 ) 3

2

a

CC BI TỐN LUYỆN TẬP

Bi 1

1 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' Biết mặt phẳng ( 'A BC) tạo với mặt phẳng ( ' ' ')A B C một gĩc 60 v khoảng cch từ 0 A đến mặt phẳng

( 'A BC) bằng 3

2

a

Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '.

2 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A với

AB a AC a   Tính thể tích của khối lăng trụ biết mặt phẳng

( 'A BC) tạo với đy một gĩc 30 0

3 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' cĩ cạnh đy bằng a Gọi M l trung điểm

cạnh CC', biết AM B M' Hy tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' v

cơ sin của gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (AMB') với (ABC).

4 Cho lăng trụ đứng tam gic đều ABC A B C ' ' ', cĩ cạnh đy bằng a, đường cho BC' của mặt bn BCC B' ' tạo với mặt phẳng ABB A' ' một gĩc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' theo a.

5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại B,

AB a AA  a A C  a Gọi M l trung điểm của đoạn thẳng A C' ',

I l giao điểm của AM v A C' Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC v khoảng cch từ điểm A đến mặt phẳng IBC .

Bi 2

1 Cho khối lăng trụ ABC A B C    cĩ độ di cạnh bn bằng 2a, đy ABC l tam gic vuơng tại A AB a AC a ,  ,  3 v hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh '

A trn mặt phẳng (ABC) l trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích

khối chĩp A ABC v tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA' v B C' ' .

2 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' cĩ đy l tam gic đều cạnh a, cạnh bn bằng 3

a v hình chiếu của A' ln mp ABC( ) trng với trung điểm của BC.Tính thể tích của khối lăng trụ đĩ.

3 Cho lăng trụ tam gic ABC A B C ' ' ' cĩ đy l ABC l tam gic cn tại A,

AB AC a BAC   , hình chiếu của A' ln mặt phẳng (ABC) trng

với trọng tm tam gic ABC Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bn

' 2

AA  a.

4 Cho hình lăng trụ ABC A B C    cĩ độ di tất cả cc cạnh bằng a v hình chiếu của đỉnh C trn mặt phẳng (ABB A ) l tm của hình bình hnh ABB A  Tính thể tích của khối lăng trụ.

5 Cho khối lăng trụ tam gic đều ABC.A B C   cĩ chiều cao bằng h

v hai đường thẳng AB ,BC  vuơng gĩc với nhau Tính thể tích khối

lăng trụ v diện tích xung quanh của nĩ

Bi 3

1 Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A B C   cĩ đy l tam gic đều cạnh

a, A A A B A C b Tìm b để gĩc giữa mặt bn (ABB A )  v mặt đy bằng

0

60 v tính thể tích của khối lăng trụ khi đĩ

2 Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A B C   cĩ cạnh đy a Mặt phẳng (ABC ) hợp với mặt phẳng (BCC B )  một gĩc  Tính thể tích v diện tích xung quanh của khối lăng trụ

3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C ,   cĩ đy ABC l tam gic cn tại



A, ABACa,BAC Gọi M l trung điểm của A A  Tính thể tích của khối lăng trụ biết tam gic C MB vuơng

4 Cho lăng trụ tam gic ABC.A B C   cĩ đy l tam gic vuơng tại



A,BCa, ABC Cc mặt phẳng (A AB),(A BC),(A CA)    nghing đều

trn đy một gĩc  Hình chiếu của điểm A ln mặt phẳng (ABC)

thuộc miền trong tam gic ABC Chứng minh thể tích của khối lăng

trụ ABC.A B C   được tính theo cơng thức

2.a sin 2 tan

32 cos cos



  



5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A Khoảng cch từ đường thẳng AA đến mặt phẳng (BB C C)  bằng a, khoảng cch

từ C đến mặt phẳng (C AB) bằng b, mặt phẳng (C AB) tạo với đy gĩc  Tính thể tích của khối lăng trụ

Bi 4

1 Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh

2a Mặt phẳng ( 'B AC) tạo với đy một gĩc 30 , khoảng cch từ B đến mặt 0 phẳng ( 'D AC) bằng

2

a

Tính thể tích khối tứ diện ACB D' '.

2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ', AB a AD a  ,  3 Tính thể tích khối hộp biết khoảng cch từ A đến mặt phẳng ( 'A BD) bằng

2

a

.

Bi 5

1 Cho hình hộp ABCD A B C D     cĩ cc cạnh bằng a BAD ,  60 ,0

 90 ,0  120 0

BAA DAA Tính thể tích khối hộp.

2 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' cĩ tất cả cc mặt đều l hình thoi cạnh a,

cc gĩc BAA 'BAD DAA  ' 60 0 Tính thể tích khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D theo a.

3 Cho hình hình hộp ABCD.A B C D    cĩ tất cả cc cạnh đều bằng

a,BAABADDAA,(0  90 ) Tính thể tích của khối hộp theo a v 

Bi 6

1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   cĩ đy l tam gic vuơng tại

B, ABa,BC2a, AA3a Mặt phẳng ( ) qua A v vuơng gĩc với CA lần lượt cắt cc đoạn thẳng CC v BB tại M,N Tính diện tích tam gic AMN

2 Cho hình lăng trụ tứ gic đều ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bn l h Từ một đỉnh vẽ hai đường cho của hai mặt bn kề nhau Gĩc giửa hai đường cho đĩ cĩ số đo l

  

    

0 

2 Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đ cho

Bi 7

1 Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A B C   cĩ cạnh đy bằng a Gọi M l trung điểm của cạnh AA  Tính khoảng cch từ C đến mặt phẳng (BMC ) biết

BMAC 

2 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, cạnh đy a Mặt phẳng ABC’ hợp với mặt phẳng BCC’B’ một gĩc cĩ số đo l     

0 

2 Gọi I, J lần lượt l hình chiếu vuơng gĩc của A ln BC v BC’

a) Chứng minh ·AIJ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v diện tích xung quanh của hình lăng trụ đĩ

3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   cĩ AB a, AC 2a  v  0

BAC120 Gọi

M l trung điểm cạnh CC thì  0

BMA 90 Tính khoảng cch từ A đến mặt phẳng (BMA ).

4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   cĩ  0

BCa,BA C 90 Cc đường thẳng

BA ,CA  tạo với mặt phẳng đy cc gĩc tương ứng ,  (  ) Tính thể tích của lăng trụ v khoảng cch từ B đến (BCA ).

Bi 8

1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D    cĩ AB a,BC b,  AA c Gọi M

l điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3. Tính khoảng cch từ điểm M đến mặt phẳng (AB C).

2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đy ABC l tam gic cn tại A Gĩc giữa hai đường thẳng AA’ v BC’ l 300 v khoảng cch giữa chng l a Gĩc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bn qua AA’ l 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

3 Cho khối lập phương ABCD.A B C D    cạnh a Gọi K l trung điểm của DD  Tính khoảng cch giữa CK v A D.

CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC

Bi 9

1 Cho khối lăng trụ đứng tam gic ABC.A B C   cĩ đy l tam gic vuơng tại



A, ACa, ACB Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (AA C C)   một gĩc  Tính thể tích khối lăng trụ đĩ

2.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   cĩ đy l tam gic vuơng thỏa mn

ABACa Gĩc giữa hai đường thẳng AC v A B bằng  Tính thể tích khối lăng trụ theo a v 

3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A,

AB a, BC 2a Mặt bn ABB’A’ l hình thoi , mặt bn BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đy , hai mặt ny hợp với nhau một gĩc bằng 

a)Tính khoảng cch từ A đến mặt phẳng BCC’B’ Xc định gĩc 

b)Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh a, gĩc  0

A 60 Chn đường vuơng gĩc hạ từ B’ xuống mặt phẳng ABCD trng với giao điểm của hai đường cho của đy ABCD Cho BB’ a

a)Tính gĩc giữa cạnh bn v đy

b) Tính thể tích v diện tích xung quanh của hình hộp

Bi 10

1 Cho hình lăng trụ AB A B C ' ' ' cĩ đy ABC l tam gic đều cạnh a,



A A A B A C BAA         Tính thể tích của khối lăng trụ.

2 Cho khối lăng trụ tam gic đều ABC.A B C   cạnh đy bằng a, đường cho BC hợp với mặt bn (ABB A )  một gĩc  Tính thể tích, diện tích xung quanh v diện tích tồn phần của khối lăng trụ Xc định gĩc  để hình lăng trụ đĩ tồn tại

Bi 11

1 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M l trung điểm

của BC, N thuộc cạnh CD thỏa 1

3

CN

CD  Mặt phẳng ( 'A MN) chia khối

lập phương thnh hai khối, gọi ( )H l khối chứa điểm A Tính thể tích của khối ( )H theo a.

2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D    cĩ đy l hình thoi cạnh

a,BAD (0  90 ) Tính thể tích của khối lăng trụ biết rằng hai đường thẳng AB v BD vuơng gĩc

3 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ', đy l hình thoi Biết diện tích hai mặt cho ACC A' ' v BDD B' 'l s s1 2, , gĩc BA D ' 900 Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' theo s1 v s2.

Bi 12

1 Cho hình hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ cĩ cc mặt bn hợp v mặt A BD'  với đy

gĩc 600, biết gĩc BAD60 ,0 AB2 ,a BD a 7 Tính V ABCD A B C D ’ ’ ’ ’.

2 Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A’B’C’ Mặt phẳng A’BC cch A một khoảng cch bằng a 3

4 v hợp với BC’ một gĩc  biết   15

sin

10 Tính thể tích của khối lăng trụ đ cho

3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đy l tam gic đều cạnh a Hình chiếu vuơng gĩc vủa A’ ln mặt phẳng ABC trng với tm O của đường trịn ngoại tiếp tam gic ABC Cho ·BAA' 45 0

a)Tính thể tích của khối lăng trụ đ cho

b)Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’

Bi 13

1 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A Khoảng cch từ AA' đến BCC B' ' bằng a, khoảng cch từ C đến ABC'

bằng b, gĩc giữa hai mặt phẳng ABC' v ABC băng 

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' theo , a b v 

b) Khi a b khơng đổi, hy xc định  để thể tích khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C nhỏ nhất.

2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đy l tam gic đều nội tiếp trong đường trịn

 O tm O Hình chiếu vuơng gĩc của C’ ln mặt phẳng ABC l O Khoảng cch giữa AB v CC’ l d Gĩc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bn ACC’A’ v BCC’B’

l 2 0 2  

2

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

b) Gọi  0  900 l gĩc giữa hai mặt phẳng ABB’A’ v ABC Tính  biết

   900

Bi 14

1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ', gĩc giữa đường cho AC' v mặt đy ABCD bằng 300 v AC'a, AC B'  Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' theo a v  Giả sử a khơng đổi, tìm  để thể tích khối hộp lớn nhất.

2 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D ,    đy ABCD cĩ BD a khơng đổi v

BADDCB90 , ABD,CBD Mặt phẳng (AA C C)   l hình thoi, vuơng gĩc với đy v  0

A AC 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D    v tìm ,  để thể tích đĩ lớn nhất

3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D ,    cĩ đường cho AC  hợp với đyd (ABCD) một gĩc , hợp với mặt bn (BCC B )  gĩc  Tìm hệ thức lin hệ giữa ,

  để tứ gic A D CB  l hình vuơng v tìm gi trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật khi đĩ

4 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ Tam gic ABC’ cĩ diện tích Q 3 v hợp với mặt phẳng đy một gĩc cĩ số đo bằng     

0 

2 a) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo Q v 

b) Cho Q khơng đổi v  thay đổi Tính  để thể tích V lớn nhất

5 Gọi     , , , 1, 1,1 l cc gĩc của đường cho hình hộp chữ nhật với ba cạnh cng pht xuất từ một đỉnh v ba mặt cng pht xuất từ một đỉnh Chứng minh :

           

cos cos cos 1 ; sin sin sin 1