5 TIEM CAN

Vấn đề 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số... Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn nghĩa là biến x c

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ

THỊ HÀM SỐ

A CHUẨN KIẾN THỨC

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG.

Định nghĩa Cho hàm số y f x= ( )xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a;+∞ −∞),( ;b) hoặc (−∞ +∞; ) Đường thẳng y y= 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn: ( ) 0

xlim f x y

xlim f x y

→−∞ = .

II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG.

Định nghĩa Đường thẳng x x= 0được gọi là đường tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y f x= ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

( )

x x0

lim f x

−

x x0

lim f x

+

x x0

lim f x

−

x x0

lim f x

+

→ = −∞.

III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

Định nghĩa

Đường thẳng y ax b,a 0= + ≠ ,được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ

thị hàm số y f x= ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

xlim f x( ) f x( ) (ax b) 0

→+∞ = − + = hoặc

xlim f x f x ax b 0

f x

a lim , b lim f x ax

x

→+∞ →+∞ 

f x

a lim , b lim f x ax

x

→−∞ →−∞ 

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Vấn đề 1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Phương pháp

1 Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau

B1 Tìm tập xác định của hàm số f x( )

B2 Tìm các giới hạn của f x khi x dần tới các biên của miền xác định và ( )

dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận

Chú ý Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của

nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có

Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có

của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: R ,

2 Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau

B1 Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận

xiên nếu tập xác định của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng

vô hạn)

B2 Sử dụng định nghĩa

Hoặc sử dụng định lí :

Nếu

x

f(x)

x

→+∞ = ≠ và xlim [f(x) ax] b→+∞ − = hoặc

x

f(x)

x

→−∞ = ≠ và

xlim [f(x) ax] b

→−∞ − = thì đường thẳng y ax b= + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm

số f

CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : f x( ) P(x)

Q(x)

= trong đó P(x), Q(x) là hai

đa thức của x ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

i) Tiệm cận đứng

0

P(x ) 0

Q(x ) 0



 thì đường thẳng : x x= 0là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

ii) Tiệm cận ngang

Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ

Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng : y A

B

= trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x)

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang

iii) Tiệm cận xiên

Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q(x) hoặc lớn hơn bậc của Q(x)

từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một bậc và P(x) không chia hết cho Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P(x) cho Q(x) và viết f x( ) ax b R(x)

Q(x)

= + + , trong đó

→+∞ = →−∞ =

Suy ra đường thẳng : y ax b= + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chú ý:

1 Xét hàm số y= ax2+bx c a 0+ ( ≠ )

* Nếu a 0< ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận

* Nếu a 0> đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y a x b

2a

  khi x→ +∞ và

b

2a

  khi x→ −∞.

2 Đồ thị hàm số y mx n p ax= + + 2+bx c a 0+ ( > ) có tiệm cận là đường thẳng : y mx n p a x b

2a

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm tiệm cận của hàm số:

1 y 2x 1

x 1

+

=

+ 2

2 4x y

1 x

−

=

−

3 y 2x 1 1

x 2

2

x y

1 x

=

−

Lời giải.

1 y 2x 1

x 1

+

=

+

Giới hạn , tiệm cận

xlim y 2 , lim y 2x

→+∞ = →−∞ = , suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang

của đồ thị (C)

lim y , lim y

→− = −∞ →− = +∞, suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận

đứng của đồ thị (C)

2 y 2 4x

1 x

−

=

−

Giới hạn , tiệm cận

xlim y 4 , lim y 4x

→+∞ = →−∞ = , suy ra đường thẳng y = 4 là đường tiệm cận ngang

của đồ thị (C)

lim y , lim y

→− = −∞ →− = +∞, suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận

đứng của đồ thị (C)

3 y 2x 1 1

x 2

+

Giới hạn , tiệm cận

lim y , lim y

→− = +∞ →− = −∞ ⇒Đường thẳng : x = -2 là tiệm cận đứng của (C).

xlim y , lim yx

→−∞ = −∞ →+∞ = +∞

xlim [y (2x 1)] 0 , lim [y (2x 1)] 0x

→−∞ − + = →+∞ − + = ⇒Đường thẳng y = 2x 1+ là tiệm cận xiên

của (C)

4 y x 1 1

1 x

= − − +

−

Giới hạn , tiệm cận

lim y , lim y

→ = +∞ → = −∞ ⇒Đường thẳng : x = 1 là tiệm cận đứng của (C).

xlim y , lim yx

→−∞ = +∞ →+∞ = −∞

xlim [y ( x 1)] 0 , lim [y ( x 1)] 0x

→−∞ − − − = →+∞ − − − = ⇒Đường thẳng y = x 1− − là tiệm

cận xiên của (C)

Ví dụ 2 Tìm tiệm cận của hàm số:

1 y x2 1

x

+

= 2 y= x2−2x 2+ 3

2

y x= + x −1

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D=¡ \ 0{ }

2

2

1

x 1

1 x

thị hàm số khi x→ −∞

2

2

1

x 1

1 x

→+∞ →+∞ →+∞

+

hàm số khi x→ +∞

của đồ thị hàm số khi x 0→ − và x 0→ +

1

x 1

→−∞ →−∞ →−∞

+

khi x→ −∞

1

x 1

→+∞ →+∞ →+∞

+ +

khi x→ +∞

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡

2

2

2x 2

x 2x 2 x

− +

2

x

2 2

x

x x

→+∞

− +

y x 1

⇒ = − là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi

x→ +∞

2

2

2

2x 2

x 2x 2 x

− +

2

x

2 2

x

x x

→−∞

− +

⇒ = − + là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi

x→ −∞

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D= −∞ −  ∪  +∞( ; 1 1; )

2

2

2

1

−

xiên của đồ thị hàm số khi x→ +∞

2

2

2

2

1

−

của đồ thị hàm số khi x→ −∞

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y 3x 2

x 2

+

=

2x 5 y

3x 1

− −

= +

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y x 1 1

x 5

= + −

2

2x 6x 1 y

3x 1

=

+

Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y 2x 32

+

=

4x y

= +

Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y 2x 43 2x 3

−

3 2

y

x 2x

+

=

−

Bài 5: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

2

2x x 4

y

− +

=

2 2

y

x 2x 3

+ +

=

Bài 6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y x 4= + + x2−3x 2+

2 y 3x= + x2+4

3 y 2x2

= +

Vấn đề 2 Một số dạng toán khác.

Các ví dụ

Ví dụ 1

1 Cho hàm số y 2x 1 1

x 2

+ có đồ thị là (C) Gọi M là một điểm bất kỳ

thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của (C) , hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành , chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi

2 Tìm m∈¡ để hàm số y mx 1

x

= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực

tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng 2

17.

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞ − ∪ − +∞; 2) ( 2; )

Gọi MNIP là hình bình hành tạo bời hai tiệm cận của (C) và hai đường thẳng vẽ từ M lần lượt song song với hai tiệm cận này

0 0

0

1

M (C) M x ;2x 1

+

0 0

N TCX

N(x ;2x 1)

1

+

Đường thẳng MN qua M và song song với TCĐ nên có phương trình là :

0

x – x = ⇒0 d I,MN( ) = − −2 x0 = +2 x0

Diện tích của hình bình hành MNIP:

( ) 0

0

1

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;0) (∪ 0;+∞)

Ta có : y' m 12,x 0

x

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y' 0= có hai nghiệm phân biệt khác 0

Với m 0> thì y' 0 m 12 0 x1 1 x2 1

x

= ⇔ − = ⇔ = − < = và điểm cực tiểu của

hàm số là A 1 ;2 m

m

Vì

→−∞ = →+∞ = nên ( )d : y mx= là đường cận xiên

( )

1

d A , d

−

17.m 2 m= + ⇔1 4m −17m 4 0+ = ⇔m 4= hoặc m=14.

Ví dụ 2.

1 Cho hàm số y x2 (m 1)x m2 2m 1

1 x

=

− (1) Tìm m để đường tiệm cận

xiên của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện

tích bằng 1

2.

2 Cho hàm số mx2 (m2 m 2 x m) 2 3

y

x 1

=

+ Tìm m∈¡ để khoảng cách

từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;1) (∪ 1;+∞)

Ta có : y x m m2 m 1

1 x

= − − +

−

Vì xlim [y ( x m)] 0 , lim [y ( x m)] 0→+∞ − − − = x→−∞ − − − = nên đường thẳng ( )d

y= − −x m là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).

( )d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A 0; m  ( − ) và B m;0 (− )

Diện tích tam giác OAB: S 1OA.OB 1y xA B 1m 2

Theo giả thiết ta có : S 1 m2 1 m 1.

2

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞ − ∪ − +∞; 1) ( 1; )

2

Vì

→−∞ = →+∞ =

+ + nên ( )d : y mx m= + 2+ 2 ⇔ ( )d :mx y m− + 2+ = 2 0

là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số

2 2

+

+ +

Vậy d O;d nhỏ nhất bằng 2 khi ( ) m2 1 12 m 0

Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y 2=

Ví dụ 3.

1 Cho hàm số y 1 x2

x

−

= có đồ thị là (C) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho d M ,TCĐ( )= 2d M ,TCX ( )

2 Cho hàm số y x 2

x 3

+

=

− , có đồ thị là ( )C Tìm tất cả các điểm M thuộc ( )C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ

M đến tiệm cận ngang

3 Tìm trên đồ thị ( )C :y x 2

x 3

+

=

− những điểm M sao cho khoảng cách từ

điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng 1

5 khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;0) (∪ 0;+∞)

0 0

0

1

x

0

1 d(M;TCX) , d M ,TCĐ x

2x

0

x 1 , y 0 1

x 1 , y 0 2x



Vậy, các điểm cần tìm là M 1;0(± )

2.Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;3) (∪ 3;+∞)

Giả sử 0

0

5

M x ;1

+

  là điểm thuộc đồ thị ( )C , x0≠3

Khi đó khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= x0−3

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2

0

5 d

=

−

Theo giả thiết d1=5d2 hay ( )2

0

25

có 2 nghiệm x0= −2 hoặc x0=8

Vậy, M 2;0 ,(− ) M 8;2 là tọa độ cần tìm.( )

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;3) (∪ 3;+∞)

Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang lần lượt là ( )d :x 3, d : y 11 = ( )2 =

0

+

0 0

5 x 3



Vậy có 2 điểm thỏa mãn M 2; 4 ,M 4;61( − ) 2( )

Chú ý:

1 ( 1) ( 2) 0

0

5

−

2 d M ,d( 1) (+d M ,d2) ≥2 d M ,d d M ,d( 1) ( 2) =2 5

Ví dụ 4.

1 Cho hàm số y 2x 1 2

2x 1

− có đồ thị là (C) hai điểm thuộc hai nhánh

khác nhau của (C) sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất

2 Cho hàm số y 3 2x

x

−

= có đồ thị là (C) Tìm các điểm trên (C) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ;1 1;

−∞  ∪ +∞

M thuộc nhánh phải của (C) ,suy ra M 1 a;2a 1 , a 0

N thuộc nhánh trái của (C), suy ra N 1 b; 2b 1 , b 0

 − − +  >

2 2

MN 4 2;

1



Vậy hai điểm cần tìm là M 1 1 ;0

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (−∞;0) (∪ 0;+∞)

0 0

A (C)∈ ⇒A(x ;y )với 0

0

3

x

= − + , d(A ,Ox) y= 0 , d(A ,Oy) x= 0

T d(A ,Ox) d(A ,Oy) y= + = +x

Nếu A thuộc nhánh trái của (C) thì y0< −2 khi đó T 2> Mặt khác giao điểm của (C) với trục Ox là E 3;0

2

 , vì d E,Ox( ) (d E,Oy) 3 2

2

+ = < ,suy ra điểm cần tìm thuộc nhánh phải của (C)

Như vậy ta chỉ cần xét các điểm A thuộc nhánh phải của (C) (x0>0)

0

3

x

Lập bảng biến thiên của hàm số T trên (0;+∞)

3 2x

0

3

x

Ta có:

2 0

3

−

= − + = < với mọi x0 0;3

2

∈ 

* Nếu

0

3

x

2

⇔ ∈ +∞÷ thì 0

0

3

x

Ta có: 2

0

3

x

= + > với mọi x0 3,

2

∈ +∞÷

*Tại x0 3

2

+

 ÷= −

  ,

T'

−

 ÷= −

Vì T' 3 T' 3

    nên

3 T' 2

 

 ÷

  không tồn tại.

Bảng biến thiên của hàm số T

3 2

T'

T

x 0

3

-∞

Suy ra minT 3

2

= đạt được khi x0 3

2

= Vậy điểm cần tìm là E 3; 0

2

Ví dụ 5.

Cho hàm số:y 2m x

x m

−

= + có đồ thị là ( )Cm Cho A 0;1 và I là tâm đối xứng ( )

Tìm m để trên ( )Cm tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A

Lời giải.

Xét B b;2m b (C )m

b m

m 2b

AB b;

m b

⇒ =  + ÷

uuur

Ta có I( m; 1)− − ⇒ AI ( m; 2)uur= − −

Tam giác ABI vuông cân tại A AB.AI 02 2



⇔ 

=



uuur uur

= −



( )

(2)⇔m b − +4 4(b − = ⇔4) 0 (b −4)(m + =4) 0⇔b2= ⇔ = ±4 b 2

* b 2= thay vào (1) ta được: m 4 m m2 3m 4 0

* b= −2 thay vào (1) ta được: m 4 m m2 3m 4 0

Vậy m= ±1, m= ±4 là những giá trị cần tìm

Ví dụ 6.Tùy theo giá trị của tham số m∈¡ Hãy tìm tiệm cận của đồ thị

hàm số sau: y x 13

mx 1

−

=

− .

Lời giải.

* m 0= ⇒ = − + ⇒y x 1 đồ thị hàm số không có tiệm cận.

x 1

−

hàm số khi x→ +∞ và x→ −∞

Vì

x 1 x 1

1 lim y lim

3

→ = → = ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

* m 0

m 1

 ≠

1

m

¡

Đường thẳng y 0= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Đường thẳng x 31

m

= là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Ví dụ 7.Cho hàm số 2 ( 2 ) ( )

m

x 3m

=

1 Tìm m∈¡ để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị ( )Cm bằng 450

2 Tìm m∈¡ để đồ thị ( )Cm có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại

A ,B sao cho tam giác AOB∆ có diện tích bằng 4

Lời giải.

Ta có: y mx 2 6m 2

x 3m

−

+

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận 6m 2 0 m 1

3

Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1:x= −3m⇔ +x 3m 0=

Và ∆2: y mx 2= − ⇔mx y 2 0− − =

Véc tơ pháp tuyến của ∆1và ∆2 lần lượt là : nuur1=( )1;0 ,nuur2=(m; 1− )

1 Góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 45 khi và chỉ khi 0

1 2

1 2

0 n n cos45 cos

n n

=

uur uur uur uur

2 2 2

2

Vậy m= ±1 là những giá trị cần tìm

2 Hàm số có tiệm cận xiên

m 0 1 m 3

 ≠



 Khi đó: A 0; 2 ,B( ) 2;0

m

Ta có: S ABC 1OA.OB 4 1 2 2 4 m 2

∆ = = ⇔ − = ⇔ = ±

Vậy m= ±2 là những giá trị cần tìm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Gọi ( )C là đồ thị của hàm số y 4x 1

3 x

+

=

−

1.Chứng minh rẳng tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên ( )C đến hai đường tiệm cận của nó là một hằng số

2 Tìm các điểm thuộc ( )C sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận của ( )C nhỏ nhất

Bài 2: Gọi ( )C là đồ thị của hàm số y mx2 (3 m)x m2 2

x 1

=

Khi ( )C có tiệm cận xiên , gọi đường tiệm cận xiên này là ( )d Tìm m để

1 ( )d đi qua điểm A(1; 4)

2 ( )d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6

3 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( )d bằng 3

Bài 3: Gọi ( )C là đồ thị của hàm số y (m 1)x2 (2m 1)x 2

x 1

=

1 Tìm m để tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên ( )C đến hai đường tiệm cận của nó bằng 2

2 Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C luôn thuộc parabol (P) : y   x =− 2

3 Khi ( )C có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn ( )γ :x2 y2 1

4

Bài 4: Cho hàm số y 3x 1

x 2

−

=

− có đồ thị là (C).

1 Tìm những điểm nằm trên (C) cách đều hai trục tọa độ

2 Tìm những điểm M nằm trên (C), sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai

trục tọa độ nhỏ nhất

3 Tìm hai điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) sao cho AB nhỏ nhất.

4 Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

:3x 4y 1 0

∆ − + = bằng 2

5

1 .

Bài 5:

1 Tìm giá trị tham số m sao cho y 2x2 3mx m 2

x 1

=

− có tiệm cận xiên tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

2 Tìm giá trị tham số m sao cho y 2mx m 2 m2 1

x 1

+

+ có tiệm cận xiên

cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1

17.

Bài 6: Cho hàm số y 2x m

mx 1

+

=

− Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là 2

Bài 7:

1.Cho đường cong ( )Cm : y 1x 3 2

− và đường thẳng ( )dm :

y mx m 2= − + Tìm tham số m để ( )Cm có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng ( )dm một góc 45 0

2 Cho hàm số y mx2 x 1

x 1

+ +

= + Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu

và tiệm cận xiên, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành một tam giác vuông có một góc 60 0

Bài 8:Tìm tham số m để đồ thị hàm số mx2 (3m 1 x m 2)

y

x 1

=

cận xiên là ( )d và ( )d tiếp xúc với đường tròn tâm I 1;2 , bán kính bằng( )

2