CHUYÊN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨCA.. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

Xét biểu thức A x( )

+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn nhất là M, nếu

( )

A x M x và có giá trị x0 sao cho A x( ) 0 M (Chỉ ra 1 giá trị là được)

+) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2 Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với a0; 4ac b 2 0

Ta có 4 a F x y ;  4a x2 24abxy4acy24adx4aey4ah4a x2 2b y2 2d24abxy4adx2bdy

+) Nếu a0; 4ac b 2  0 m0,n 0  2 :F x y ; r **

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất

+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đathức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm

- Nếu F x y ;   r 0 hoặc F x y ;  r 0 thì không có x y;  nào thảo mãn F(x; y) = 0

+) Nếu a0; 4ac b 20;r 0  2 :F x y ;  phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của

x

y y

z z

Bài 11: Tìm min của: M x2 2xy2y2  2y1

Bài 30: Tìm min của: A x 26y214z2 8yz6zx 4xy

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Phương pháp :

- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức

- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế

Lời giải

0 2

0 2

y 

thay vào E và làm tiếp

Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của

8

8 8

y x

Bài 16: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x + 2y = 3 tìm min của: A x 22y2

Từ gt ta có : y 2 x thay vào A ta được : A x 32 x32 2x  x

Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x y  4 0, Tìm max của:

Tìm min max của: B m n p  

Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x y 2, Tìm min của

Từ gt =>x4y4 3xy2x y2 2 7=>   

2 2

Bài 40: Cho x, y  0, x + y = 1, Tìm min, max của: A x 2y2

a b

Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x y z  3, Tìm GTLN của :B xy yz zx  

- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.

- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ

4 1 ( 0)

2 2 2

Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x Tìm GTNN của

Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của

x

Dạng 7: Dạng phân thức

A Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

2

m

A  A  ax bc c

Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau

y 

tại

1 2

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

C Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

x B x

x A

x B x







Vì y4  1 0 x nên chia cả tử và mẫu cho y 4 1 ta được: 2

1 2

A x

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

1 ( 1) ( 1)

B x

Bài 4: Tìm GTLN của

2 2