Các cách chứng minh định lí xấp xỉ weierstrass

Định lýcho chúng ta thấy mọi hàm số liên tục xác định trên một khoảng đóngcó thể xấp xỉ đều bởi một hàm đa thức, tức là "Cho hàmf : [a, b] → R là hàm liên tục, khi đó với mỗi > 0 ta đều

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tớithầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, giảng viên khoa Toán trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốtthời gian tập dượt nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong tổ giải tích,các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, và toàn bộ thầy cô trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đã hết lòng dạy dỗ tôi trong suốt thờigian qua

Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của giađình, bạn bè trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Xuân Hòa, ngày 20 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Bùi Thị Thủy

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, do chínhsức lực của bản thân tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức

đã được học và các tài liệu tham khảo

Khóa luận này không trùng với kết quả của bất kỳ người nào khác

đã có trước đó

Xuân Hòa, ngày 20 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Bùi Thị Thủy

MỞ ĐẦU 5

NỘI DUNG 7

Chương 1.Một số kiến thức liên quan 7

1.1.Không gian metric 7

1.1.1 Metric trên một tập hợp 7

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric 8

1.1.3 Lân cận, tập đóng, tập mở 9

1.1.4 Phần trong, bao đóng 11

1.1.5 Không gian metric compact 12

1.2.Đa thức Bernstein 13

1.3.Chuỗi Fourier, tổng Dirichlet và tổng Fejer 14

1.4.Một số kiến thức xác suất 15

1.4.1 Biến ngẫu nhiên nhị thức 15

1.4.2 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức 15

1.4.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức 16

Chương 2.Các cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass

18 2.1.Định lý xấp xỉ Weierstrass 18

2.2.Chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass bằng cách sử

dụng đa thức Bernstein 19

2.3.Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass bằng toán tử tích phân sử dụng chuỗi Fourier cho hàm tuần hoàn 26 2.4.Chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass bằng phương pháp xác suất 28

2.5.Ứng dụng của định lý xấp xỉ Weierstrass 32

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

Định lý xấp xỉ Weierstrass, được Weierstrass công bố năm 1885 làmột trong những định lý quan trọng của Giải tích Toán học Định lýcho chúng ta thấy mọi hàm số liên tục xác định trên một khoảng đóng

có thể xấp xỉ đều bởi một hàm đa thức, tức là "Cho hàmf : [a, b] → R

là hàm liên tục, khi đó với mỗi  > 0 ta đều có đa thức P (x) sao cho

sup

x∈[a,b]

|f (x) − P (x)| < ."

Từ định lý xấp xỉ Weierstrass và khái niệm hội tụ đều, Weierstrass

đã chứng minh được một số định lý mà trước đó chưa được chứng minhnhư: "Định lý giá trị trung bình", "Định lý Bolzano - Weierstrass",

"Định lý Heine - Borel"

Cho đến ngày nay, có rất nhiều tài liệu đề cập đến định lý xấp

xỉ Weierstrass, và có nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ranhiều cách chứng minh khác nhau cho định lý xấp xỉ Weierstrassnhư: Sử dụng đa thức Bernstein, sử dụng lý thuyết chuỗi Fourier và

lý thuyết xác suất Với mục đích là tìm hiểu sâu hơn nữa về định líxấp xỉ Weierstrass, và hiểu rõ hơn được tầm quan trọng của định lýnày trong Toán học Cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thânphục vụ công tác giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho các bạnsinh viên có cái nhìn tổng quan hơn về định lý xấp xỉ Weierstrass Vìnhững lý do trên cộng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ củaQuý các thầy cô, đặc biệt là thầy Th.S Nguyễn Quốc Tuấn, cùng với

sự đam mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

"Các cách chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass"Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo khóa

luận của tôi gồm 2 chương

Chương 1 Một số kiến thức liên quan

Chương này, trình bày một số khái niệm trong không gian metric,

đa thức Bernstein, chuỗi Fourier, và một số kiến thức xác suất.Chương 2 Các cách chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass

Chương này, nghiên cứu định lý xấp xỉ Weierstrass và các cáchchứng minh của định lý

Mặc dù khóa luận đã hoàn thành với sự đam mê và cố gắng củabản thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới củabản thân tôi, nên trong quá trình viết cũng như trong quá trình in

ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong Quýcác thầy, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tôi hoànthành khóa luận của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toántrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Th.S NguyễnQuốc Tuấn đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện tối nhất đểgiúp tôi hoàn thành khóa luận này

Một số kiến thức liên quan

1.1 Không gian metric

Trong Toán học, một không gian metric là một tập hợp mà trong

đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử đã được định nghĩa.Không gian metric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người làkhông gian Euclide ba chiều R3 Metric Euclide (khoảng cách) giữahai điểm trong không gian Euclide R3 là độ dài đoạn thẳng nối chúng.Bây giờ ta sẽ đi tìm hiểu cụ thể hơn về khái niệm này

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1])

Không gian metric là một tập hợp X, sao cho với mọi x, y ∈ X

xác định một số d(x, y), gọi là khoảng cách giữa x và y thỏa mãn batiên đề sau:

i) Xác định dương, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0

Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu x = y

ii) Đối xứng, có nghĩa là với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x)

iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x, y, z ∈ X,

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Ta kí hiệu không gian Metric (X, d)với tập nền X và metric (khoảngcách) d

Ví dụ 1.1 (Các không gian metric thông thường).

i) Không gian R là không gian metric với metric

ii) Không gian Rn là không gian metric với metric

d(x, y) =

vuut

x = (x1, x2, , xn),và y = (y1, y2, , yn) ∈ lp Khi đó không gian

v) Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b].Trên X ta xác định một metric

a≤t≤b|x(t) − y(t)|, x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b]

Khi đó, không gian (C[a,b], d∞) lập thành một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 (xem [1])

Cho (X, d) là một không gian metric Phần tử x ∈ X được gọi

là giới hạn của dãy các phần tử {xn} ⊂ X (kí hiệu: xn → x, hoặc

lim

n→∞xn = x), nếu d(xn, x) → 0khi n → ∞, có nghĩa là với mọi  > 0

nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên n0 > 0 sao cho với mọi n > n0 ta đều

có d(xn, x) < 

Một số tính chất đơn giản

i) Giả sử dãy {xn} là dãy các phần tử trong không gian metric X.Nếu dãy {xn} hội tụ thì nó hội tụ đến một phần tử duy nhất Thậtvậy, nếu xn → x và xn → y thì

Do đó d(x, y) = 0 hay x = y

ii) Metric d(., ) là hàm liên tục theo cả hai biến Thật vậy, với mọi

Suy ra d(x, y) − d(z, u) ≤ d(u, y) + d(x, z) Đổi vai trò của x, y, z, uta

iii) Giả sử dãy {xn} là dãy các phần tử trong không gian metric

X, hội tụ đến x trong (X, d), và {xnk} là dãy con của dãy {xn} Khi

đó, dãy {xnk} cũng hội tụ đến x trong (X, d) Thật vậy, d(xnk, x) ≤d(xnk, xn)+d(xn, x) Ta có lim

n k ,n→∞d(xnk, xn) = 0và lim

Suy ra, xnk → x khi nk → ∞

Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Cho (X, d) là một không gian metric,

x0 ∈ X và cho số thực dương r Tập hợp tất cả các phần tử trong X

cách x0 một khoảng nhỏ hơn r, được gọi là hình cầu mở tâm x0 bánkính r, kí hiệu S(x0, r), hay

S(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}

Tương tự, tập hợp tất cả các phần tử trong X cách x0 một khoảngkhông lớn hơn r, được gọi là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r, kíhiệu S(x0, r), hay

Cho không gian metric (X, d), x ∈ X và A là tập con của X

i) Điểm x được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lâncận mở của x nằm trongA, hay tồn tại số ε > 0sao cho S(x, ε) ⊂ A

ii) Điểm x được gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại một lâncận của x không chứa điểm nào thuộc A, hay tồn tại số ε > 0 sao cho

S(x, ε) ⊂ X\A

iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của

x đều chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A, hayvới mọi số ε > 0 ta có S(x, ε) ∩ A 6= ∅, S(x, ε) ∩ (X\A) 6= ∅

iv) Điểm x được gọi là điểm dính của tập A nếu với mọi lân cậncủa x đều chứa ít nhất một điểm thuộc A, hay với mọi số ε > 0 ta có

Định nghĩa 1.1.6 (xem [1])

Cho không gian metric (X, d) và tập A là tập con của X

i) TậpA được gọi là tập mở trong không gian(X, d), nếu mọi điểmthuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A

thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

ii) Tập A được gọi là tập đóng trong không gian (X, d), nếu mọiđiểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếuđiểm xkhông thuộcA, thì tồn tại một lân cận củax không chứa điểmnào thuộc tập A.

Hệ quả 1.1.1 (xem [1]) Trong không gian metric bất kỳ (X, d),phần bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở.Các tập X, ∅ vừa là tập đóng, vừa là tập mở

Định nghĩa 1.1.7 (xem [1])

Cho không gian metric (X, d) và tập A là tập con của X

i) Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của

iv) int(A ∩ B) =intA ∩intB, A ∪ B = A ∪ B

v) Tập A là tập mở trong X nếu và chỉ nếu phần trong của A làtập A

vi) Tập A là tập đóng trong X nếu và chỉ nếu bao đóng của A làtập A

Định lý 1.1.1 (xem [1]) Cho không gian metric (X, d) và tập A làtập con của X

Phần trong intA của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, và int

A là tập mở trong X

Bao đóng A của tập A là tập tất cả các điểm tụ của tập A, và A làtập đóng trong X

Định lý 1.1.2 (xem [1]) Cho không gian metric bất kỳ (X, d) và A

là tập con của X Khi đó phần trong của A intA = X \ (X \ A)

Định nghĩa 1.1.8 (xem [1])

Cho không gian metric (X, d), tập A, B là tập con của X

i) Tập A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A

ii) Nếu A = X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X

Chú ý 1.1.2 Bao đóng của tập A là tập X nếu và chỉ nếu với mọi

Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]) Cho không gian metric (X, d) Tập

dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa một dãy con hội tụ tớiphần tử thuộc tậpK Tập K được gọi là tập compact tương đối trongkhông gian (X, d), nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộcK đều chứamột dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X)

Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric compact,nếu tập X là tập compact

Định nghĩa 1.1.10 (xem [1]) Cho không gian metric (X, d) Tập

trước tùy ý, ta đều tìm được một số hữu hạn các hình cầuS1, S2, , Sk

(k là số dương nào đó) với bán kính  sao cho

Khi đó, ta cũng nói các hình cầu S1, S2, , Sk phủ tập A

Định lý 1.1.3 (Tiêu chuẩn compact Hausdoff, xem [1]) Không gianmetric (X, d) là không gian compact nếu và chỉ nếu (X, d) là khônggian đầy và tập X hoàn toàn bị chặn

Định lý 1.1.4 (Định lý về ánh xạ liên tục trên tập compact, [1]).Cho hai không gian metric (X, d1), (Y, d2) và ánh xạ f ánh xạ X vào

Y Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K là tập con của X, thìi) Ánh xạ f liên tục đều trên K

ii) Tập f (K) là tập compact trong không gian Y

1.2 Đa thức Bernstein

Trong giải tích, đa thức Bernstein, được đặt tên theo nhà toán học nổitiếng Sergei Natarovich Bernstein Đa thức này là một tổ hợp tuyếntính của các đa thức Bernstein cơ sở Ta thường sử dụng thuật toánDescaste để tìm các đa thức dạng Bernstein

Đa thức dưới dạng Bernstein được sử dụng lần đầu tiên bởi stein trong một chứng minh có tính chất xây dựng của định lý Weier-strass

Bern-Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức Bernstein) Các đa thức Bernstein cơ sởbậc n được định nghĩa như sau

1.3 Chuỗi Fourier, tổng Dirichlet và tổng Fejer.

Chuỗi Fourier của một hàm khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π]

là chuỗi lượng giác

phân ở vế phải của biểu thức (1.3.3) được gọi là tích phân Dirichlet,

dễ dàng thấy rằng hạch Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục tuần hoànvới chu kỳ 2π và

1π

Biến ngẫu nhiênX được gọi là nhị thức B(n, p)trong đóp ∈ [0, 1]

(có nghĩa là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p)) nếu nhưphân bố xác suất của nó có dạng

Định nghĩa 1.4.1 (Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức,xem [5]) Cho X là biến ngẫu nhiên nhị thức, hàm đặc trưng ϕ(.) của

X được định nghĩa như sau: ϕ(t) = E[eitX] trong đó t ∈ R, với E là

kì vọng lấy theo độ đo xác suất P r

Xét E là kì vọng theo xác suất P r với X ta có

!

(peit)k(1 − p)n−k

= [peit+ (1 − p)]n

Vậy hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhị thức là

ϕSn(t) = E[eitSn] = E[eit

(biến đổi sau cùng ở trên là do các Xi độc lập và có cùng phân phối)

Từ đó suy ra Sn có phân phối nhị thức B(n, p)

Cho X là biến ngẫu nhiên nhị thức B(n, p), ta có

ϕ0(t) = E[iXeitX] = npieit(peit+ q)n−1

Tiếp tục lấy đạo hàm cấp hai, ta được

ϕ00(t) = E[(iX)2eitX] = −npeit[ϕn−1(t) + (n − 1)peitϕn−2(t)]

Do đó

Suy ra

Từ đó, phương sai của X là

= npq

Vậy kì vọng và phương sai của X là E[X] = np, và Var[X] = npq

Tất nhiên, ta cũng có thể tính trực tiếp từ công thức trên theo địnhnghĩa kỳ vọng và phương sai

ta có thể xấp xỉ hàm f bởi một đa thức nào đó hay không (với sai

số  nhỏ cho trước)? Để trả lời câu hỏi đó, năm 1885 Weierstrass đãcông bố và chứng minh định lý (2.1.1)

Định lý 2.1.1 (xem [11]) Cho I là tập đóng và bị chặn Giả sử

P : I → R sao cho

hay tương đương với

Hai mươi năm sau, một chứng minh khác đã được đưa ra bởi Fejer

Có nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra nhiều cách chứngminh khác nhau Nhưng trong khuôn khổ của một bài khóa luận, tôichỉ xin trình bày ba cách chứng minh định lý xấp xỉ này

2.2 Chứng minh định lí xấp xỉ Weierstrass

bằng cách sử dụng đa thức Bernstein

Đầu tiên, ta đi chứng minh trường hợp đặc biệt của định lý (2.1.1),

Định lý 2.2.1 (xem [11]) Giả sử f : [0, 1] → R là một hàm liên tục,

khi đó với mỗi  > 0, tồn tại một hàm P : I → R sao cho

sup{|f (x) − P (x)| : x ∈ I} < 

Trước tiên, ta định nghĩa đa thức Bernstein của một hàm f bấtkỳ

Định nghĩa 2.2.1 Cho f : [0, 1] → R xác định trên [0, 1], Với mỗi

số nguyên n ≥ 0, đa thức B bậc n, kí hiệu Bn(f )(x) được xác địnhbởi



nk

!

xk(1 − x)n−k

Ta gọi đa thức Bn(f )(x) là đa thức Bernstein của hàm f

Cụ thể hơn, dãy các đa thức Bernstein {Bn(f )} được xác địnhtrong định nghĩa (2.2.1) hội tụ đều đến f

xkyn−k−1 (2.2.2)Nhân cả 2 vế của (2.2.2) với nx, ta có

Rõ ràng, đẳng thức trên đúng khi n = 0, vì vậy ta có thể chọn bất kỳ

số nguyên n ≥ 0 sao cho

Tương tự, từ (2.2.4) ta cũng có với mọi số nguyên bất kỳ n ≥ 0, thì

Vì f là hàm liên tục và đoạn [0, 1] là đoạn compact, ta đã biết, ảnh

liên tục của một tập compact là tập compact Áp dụng định lí Heine

- Borel, thì f [0, 1] là đóng và bị chặn Do đó, tồn tại một số thực

với mọi x, y ∈ [0, 1] thỏa mãn

|x − y| < δ suy ra |f (x) − f (y)| < 

2. (2.2.11)

Ước lượng đa thức Bernstein Bn(f ) là từ f với số nguyên n ≥ 1



nk

!k

=



rk(x)

=