Con người đã phát hiện và chứng minh được nó cách nay nhiều nghìn năm, từ khi toán học vừa mới hình thành.. Cách chứng minh này được ghi lại trong tác phẩm kinh điển về hình học “Elément
Trang 1Chuyên đề: Một số cách chứng minh định lí Pytago
−−−−
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Định lí Pytago là một định lí tuyệt đẹp của toán học Con người đã phát hiện và chứng minh được nó cách nay nhiều nghìn năm, từ khi toán học vừa mới hình thành Về cách chứng minh định lí Pytago thì có đến hàng triệu cách Cách cổ xưa nhất thuộc về Pytago Cách chứng minh này được ghi lại trong tác phẩm kinh điển về hình học “Eléments” của Euclide khoảng năm 300 TCN, song song đó, cách chứng minh khác cũng được tìm thấy trong một tài liệu về toán của Trung Quốc vào khoảng năm 500 đến năm 200 TCN Về sau các nhà toán học đã không ngừng đưa ra nhiều cách chứng minh khác
Để chứng minh định lí Pytago không khó Trong chương trình hình học 7 đã trình bày cách chứng minh dựa vào việc đặt các tam giác vuông có cạnh a, b, c vào hình vuông có cạnh là a + b Cách này giúp học sinh dẽ dàng chứng minh được định lí Pytago Ngoài ra còn nhiều cách khác cũng dựa vào ghép hình nhưng theo cách ghép khác, hoặc ứng dụng các tính chất diện tích của đa giác, ứng dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông, …
Trong chuyên đề nhỏ này, tôi xin giới thiệu đến quý thầy cô một số cách chứng minh định lí Pytago mà tôi hoặc tìm ra được hoặc sưu tầm được, tuy số cách chứng minh còn ít rất nhiều so với số cách mà con người đã biết nhưng với số cách chứng minh này cũng đối với tôi cũng là một gia tài kha khá Hy vọng chuyên đề sẽ đem đến cho quý thầy cô nhiều điều thú vị, từ đó vận dụng vào bài giảng của mình nhằm tăng hứng thú học tập môn toán cho học sinh
Trang 2PHẦN II: NỘI DUNG
−−−−
I Vài nét lịch sử của định lí Pytago
Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý Pythagorastes theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN
Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu Bễ toán kinh (Trung Quốc) khoảng năm 500 đến 200 TCN và Eléments của Euclide khoảng năm 300 TCN
Sự liên hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông đã được nêu ra trước Pytago khoảng 1200 năm vào thời cổ Babilon Nhưng Pytago là người đã chứng minh nó và mở rộng phạm vi áp dụng của nó để giải nhiều bài toán về lí thuyết và thực tiễn Định lí Pytago là chìa khóa để xây dựng nhiều định lí khác trong hình học
Trong tác phẩm Eléments, Euclide trình bày định lí Pytago như sau:
“Trong một tam giác vuông, tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền”
Về sau, người ta nhận thấy diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó nên phát biểu lại: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông” như chúng ta đã biết ngày nay
c
a b
Trang 3II Một số cách chứng minh
Trong phần này, tôi xin giới thiệu một số cách chứng minh do tôi sưu tầm được, việc trình bày có thể không theo thứ tự thời gian mà cách chứng minh được tìm ra Xin quý thầy cô thông cảm
1 Cách cắt và ghép hình thứ nhất:
Cách này chính là cách chúng ta đã biết trong sách giáo khoa toán 7
Vì hai hình vuông trên có diện tích bằng nhau nên phần diện tích phần không bị các tam giác vuông che khuất bằng nhau Từ đó suy ra c2 = a2 + b2
2 Cách cắt ghép hình thứ hai:
Cách này do Leonardo da Vinci tìm ra
Lật ngược đa giác được tô đậm, ta dễ dàng nhận thấy đa giác mới bao gồm hai tam giác vuông ban đầu và một hình vuông có cạnh bằng c, từ đó suy ra được
a+b
a
b
a
b
2
2
c
a+b
a
b
2
c c
c
a
a b
c b
a
Trang 43 Cách cắt ghép hình thứ ba:
Cách này do nhà toán học Henry Perigal tìm ra năm 1873
Cách thực hiện:
+ Dựng hình vuông ABCD và hình vuông AEFG sao cho đỉnh G nằm trên cạnh AD, sao cho cạnh của hình vuông ABCD bằng a, cạnh của hình vuông AEFG bằng b (giả sử a > b)
+ Trên tia BA, lấy điểm I sao cho BI = AE = b
+ Các đường thẳng vuông góc với CI tại C, vuông góc với FI tại F cắt nhau tại J
Chứng minh:
Dễ dàng chứng minh được CIFJ là hình vuông nên có diện tích là c2
Mặt khác, SCIFJ = SCIFGD + SDJC + SGFJ = SCIFGD + SBCI + SEFI = SABCD + SAEFG Hay c2 = a2 + b2
4 Cách cắt ghép hình thứ tư:
Ta đặt các tam giác vuông có cạnh a, b, c vào hình vuông có cạnh a + b như hình sau:
Ta nhận thấy hình vuông có cạnh c bằng tổng diện tích bốn tam giác vuông cộng thêm hình vuông có cạnh a − b Nên ta có:
c2 = 4 a.b
2 + (a − b)
2 ⇔ c2 = 2ab + a2 + b2 − 2ab ⇔ c2 = a2 + b2
B
C
G
D
F
I
J
a
b
c
b
a b
c
a - b
a + b
Trang 55 Cách chứng minh của tổng thống James Garfield (Hoa Kỳ):
Giả sử tam giác vuông ABC
(vuông tại A) có AB = c, AC = b, BC = a
Trên tia đối của tia CA, ta dựng ∆A’CC’
vuông tại A’ và bằng ∆ABC như hình vẽ
⇒ AA’C’B là hình thang vuông với hai
đáy là AB, A’C’
⇒
AA C B
(AB A C )AA
S
2
′ ′
+
=
2
(b c) bc 1b 1c
+
Mặt khác:
AA C B ABC A CC CBC
⇒ 1a2 1b2 1c hay a2 2 b2 c2
6 Cách chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b, BC = a
Ta kẽ đường cao AH ⊥ BC
Dễ dàng chứng minh được ∆vABC ∽ ∆vHBA ∽ ∆vHAC
∆vABC ∽ ∆vHBA ⇒ AB BC
HB AB= ⇒ AB
2 = HB.BC (1)
∆vABC ∽ ∆vHAC ⇒ AC BC
HC AC= ⇒ AC
2 = HC.BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ HB.BC + HC.BC = AB2 + AC2
⇔ BC2 = AB2 + AC2
Hay a2 = b2 + c2
C B
A
H
B
A' a
C'
a
c
b c
Trang 6PHẦN III KẾT LUẬN
−−−−
Chuyên đề đã làm được:
− Trình bày được 6 cách chứng minh định lí Pytago Tuy đây chưa phải là con số nhiều, nhưng cũng giúp người đọc có thêm những ý tưởng độc đáo nhằm tìm ra cách khác để chứng minh định lí Pytago
− Trong các cách chứng minh phần lớn dựa vào thực hành cắt, ghép hình và các quan sát mang tính cảm tính, không đòi hỏi suy luận chặt chẽ nên rất phù hợp với học sinh THCS (lớp 7)
− Ngoài ra chuyên đề cũng giới thiệu một số cách áp dụng các hằng đẳng thức, công thức tính diện tích, áp dụng tam giác đồng dạng rất phù hợp để giới thiệu với học sinh lớp 8, 9 trong các kiến thức có liên quan
Với chuyên đề nhỏ này, hy vọng đem lại sự thích thú cho quý thầy cô khi đọc nó
Duyệt của BGH
