Mở rộng định lý xấp xỉ weierstrass cho đa tạp tuyến tính và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN —————o0o————— TRẦN THỊ THANH THANH MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ XẤP XỈ WEIERSTRASS CHO ĐA TẠP TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

—————o0o—————

TRẦN THỊ THANH THANH

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ XẤP XỈ WEIERSTRASS CHO ĐA TẠP TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa họcThS NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI - 2014

Trước khi trình bày khóa luận, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhtới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này.

Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóaluận, tôi đã nhận được sự động viên chỉ bảo, tạo điều kiện của Quýthầy, cô tham gia giảng dạy nói riêng, cũng như Quý thầy, cô côngtác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung Qua đây, tôi xinđược gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toántrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của giađình, bạn bè trong suốt thời gian vừa qua

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Thanh Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Sưphạm Toán với đề tài "Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho

đa tạp tuyến tính và ứng dụng" được hoàn thành bởi chính sựnhận thức của bản thân tôi, không có sự trùng lặp với bất cứ khóaluận nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học và có sự tham khảo một số tàiliệu được ghi trong phần tài liệu tham khảo với sự trân trọng, lòngbiết ơn sâu sắc

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Thanh Thanh

ii

Một số kí hiệu viết tắt v

1.1 Hàm liên tục 3

1.2 Sự hội tụ của dãy hàm 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Điều kiện hội tụ đều 4

1.3 Không gian Banach 5

1.3.1 Khái niệm không gian vector 5

1.3.2 Khái niệm không gian định chuẩn 5

1.3.3 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 6

1.3.4 Khái niệm không gian Banach 6

1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn 8

1.4.1 Khái niệm toán tử tuyến tính 8

1.4.2 Khái niệm toán tử tuyến tính bị chặn 8

1.5 Hệ phương trình tuyến tính 9

1.6 Đa tạp tuyến tính 11

1.6.1 Khái niệm không gian tô pô 11

1.6.2 Khái niệm phép đồng phôi 12

1.6.3 Khái niệm đa tạp tuyến tính 12

2 Định lý xấp xỉ Weierstrass 142.1 Đa thức Bernstein 142.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) 15

3 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến

3.1 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến

tính 203.2 Ứng dụng của mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho

đa tạp tuyến tính 233.2.1 Ứng dụng trong các bài toán tối ưu hóa đa thức 233.2.2 Ứng dụng trong việc xét sự ổn định của một hệ

tuyến tính có độ trễ 24

iv

N Tập hợp các số tự nhiên

R Tập hợp các số thực

R+ Tập hợp các số thực dương

Rn Không gian vector thực n chiều

C[a, b] Không gian các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a, b]kxk Chuẩn của vector x

kAk Chuẩn của toán tử tuyến tính A

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, định lý xấp xỉ Weierstrass (năm 1885) làmột trong những định lý quan trọng của Toán học Đến năm 1937,định lý này đã được Mashall H Stone mở rộng thành định lý Stone -Weierstrass

Hiện nay, đã có nhiều tài liệu đề cập đến phần mở rộng của định

lý xấp xỉ Weierstrass, nhưng trong phạm vi của một bài khóa luận,tôi chỉ tiến hành nghiên cứu định lý mở rộng của định lý xấp xỉWeierstrass cho đa tạp tuyến tính và các ứng dụng của nó Từ đó,phần nào hoàn thiện kiến thức Toán học của bản thân để phục vụcho công tác học tâp cũng như giảng dạy sau này Đồng thời là đểgiới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn

về mở rộng của định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính vàứng dụng

Được sự định hướng, góp ý, động viên của các thầy cô và đặc biệt

là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn cùng với sự đam mê Toán học củabản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

"Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrasscho đa tạp tuyến tính và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khóa luận này là nghiên cứu vấn đề mởrộng của định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính và ứngdụng

1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ các khái niệm: không gian Banach, toán tử tuyến tính bịchặn, đa tạp, hệ phương trình tuyến tính, đa thức Bernstein

Nêu và chứng minh được định lý xấp xỉ Weierstrass

Nghiên cứu định lý mở rộng của định lý xấp xỉ Weierstrass cho đatạp tuyến tính và một vài ứng dụng của nó

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu dựa trên sự kết hợp của các phương pháp:nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc của khóa luận

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống lại các khái niệm cơ bản cũng như các tínhchất liên quan đến không gian định chuẩn, không gian Banach, toán

tử tuyến tính bị chặn, hệ phương trình tuyến tính để chuẩn bị choviệc trình bày định lý mở rộng của định lý xấp xỉ Weierstass cho đatạp tuyến tính và các ứng dụng của nó

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Hàm liên tục

Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Cho hàm số f : A −→ R với tập hợp

A ⊂ R và điểm x0 ∈ A Nếu với mọi  > 0 nhỏ tùy ý cho trước baogiờ cũng tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào  và x0), sao cho với mọi x ∈ Athỏa mãn 0 < |x − x0| < δ ta đều có |f (x) − f (x0)| <  thì ta nóihàm f liên tục tại điểm x0

Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ A thì ta nói f liên tục trên A.Tính chất 1.1.1 (Xem [3]) Hàm f liên tục tại x0 khi và chỉ khi vớimọi dãy {xn}n ⊂ A, xn −→ x0 (n −→ ∞) ta đều có

limn→∞f (xn) = f (x0).Định nghĩa 1.1.2 (Xem [3]) Hàm số f : A −→ R được gọi là liêntục đều trênA nếu với mọi  > 0nhỏ tùy ý cho trước tồn tạiδ > 0 (chỉphụ thuộc ), sao cho với mọi x, x0 ∈ A thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ

ta đều có |f (x) − f (x0)| < 

Nhận xét 1.1.1 Nếu hàm f liên tục đều trên A thì nó liên tục trên

A Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đúng

Chẳng hạn, hàm f (x) = x2 liên tục trên R nhưng không liên tụcđều trên đó Thật vậy, lấy  = 1 ta thấy, với mọi δ > 0 nếu chọn

x2δ − x02δ =

1

δ2 −

1

δ +

δ2

2 ... class="page_container" data-page="19">

KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng< /small>

được gọi đa tạp tuyến tính Fi bậc tất

cả biến x1,... class="page_container" data-page="11">

KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng< /small>

tại số tự nhiên n0 phụ thuộc vào , cho với số nguyên dương

n,... data-page="21">

KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng< /small>

Ví dụ 2.1.2 Xét hàm f (x) = ex [0, 1] Theo định nghĩa đa thứcBernstein ta có