Bất đẳng thức dạng đồng bậc, các phương pháp chứng minh cơ bản và chuyển dạng không đồng bậc về dạng đồng bậc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH HOABẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐỒNG BẬC, CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CƠ BẢN VÀ CHUYỂN DẠNG KHÔNG ĐỒNG BẬC VỀ DẠNG ĐỒNG BẬC KHÓA LUẬN TỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH HOABẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐỒNG BẬC, CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CƠ BẢN VÀ CHUYỂN DẠNG KHÔNG ĐỒNG BẬC VỀ DẠNG ĐỒNG BẬC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này tôi đã nhận được sự chỉ

bảo tận tình của thầy giáo ThS Phạm Lương Bằng, cùng sự giúp đỡ,

tạo điều kiện thuận lợi của Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong Khoa và trong tổ Đại số Trường đại học sư phạm Hà Nội 2

Đặc biệt cho tôi được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Phạm Lương Bằng, người đã quan tâm hướng dẫn tận tình, đóng góp

nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong quá trình làm khóa luận

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2, những người đã động viên

và giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

NGUYỄN THỊ THANH HOA

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của sự lỗ lực của bản thân cùng với sự

hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS Phạm Lương Bằng Vì vậy tôi

xin cam đoan nội dung khóa luận này không trùng lặp với công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã được công bố Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

NGUYỄN THỊ THANH HOA

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐỒNG BẬC 3

1.1 Bất đẳng thức dạng đồng bậc 3

1.1.1 Đa thức thuần nhất 3

1.1.2 Bất đẳng thức dạng đồng bậc 3

1.2 Một số bất đẳng thức dạng đồng bậc thường dùng 4

1.2.1 Bất đẳng thức AM – GM (Arithmetric means – Geometric means) 4

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 11

1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐỒNG BẬC 21

2.1 Áp dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức chung đối với bất đẳng thức dạng đồng bậc 21

2.1.1 Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức 21

2.1.2 Phương pháp biến đổi tương đương 24

2.1.3 Phương pháp làm trội 27

2.1.4 Phương pháp hình học 30

2.1.5 Phương pháp dùng quy nạp toán học 34

2.2 Một số phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức dạng đồng bậc 38

2.2.1 Chuẩn hóa bất đẳng thức 38

2.2.2 Lớp hàm đối xứng sơ cấp ba biến 44

2.2.3 Định lý Rolle và ứng dụng 50

2.2.4 Chọn biến số nhỏ nhất, biến số lớn nhất 53

2.2.5 Một số kiểu ước lượng thông dụng 56 2.2.6 Dạng tổng bình phương 58

CHƯƠNG 3 BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỒNG BẬC ĐƯA VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC 61 3.1 Đồng bậc hóa bất đẳng thức 61 3.2 Một số con đường biến đổi khác từ bất đẳng thức dạng

không đồng bậc về đồng bậc 63 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

Chuyên đề bất đẳng thức xuyên suốt quá trình học không chỉ ở bậc THCS, THPT, mà ở bậc Đại học nó vẫn được giảng dạy Các bài toán về bất đẳng thức đa dạng và có thể chứng minh bằng nhiều phương pháp khác nhau: Phương pháp dồn biến, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp tổng quát, phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số,… Và một số phương pháp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các bất đẳng thức dạng đồng bậc, một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng đồng bậc và đưa bất đẳng thức không đồng bậc về bất đẳng thức dạng đồng bậc

3 Đối tƣợng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh và tổng hợp

5 Bố cục của luận văn

Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, 3 chương, kết luận và tài liệu tham khảo

dạng đồng bậc

- Phần 3 Phần kết luận

CHƯƠNG 1 BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG ĐỒNG BẬC

1.1 Bất đẳng thức dạng đồng bậc

1.1.1 Đa thức thuần nhất

 Định nghĩa

Đa thức P x x( ,1 2, ,x của các biến số thực n) x x1, 2, ,x được gọi là n

đa thức thuần nhất bậc m nếu với mọi số thực t ta có:

 Ví dụ

Đặt P a b( , )VT, Q a b( , )VP, ta có deg ( , )P a b deg ( , )Q a b 2

Khi đó ta nói (1) là một bất đẳng thức dạng đồng bậc

2 Các bất đẳng thức AM- GM, Cauchy- Shwarz,… là các bất đẳng thức

đồng bậc; bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng thức sin x x với x0 là các bất đẳng thức không đồng bậc

Nhận xét: Trên cơ sở bậc của đa thức, bất đẳng thức dạng đồng bậc có mối quan hệ chặt chẽ với bậc của đa thức

Bất đẳng thức dạng đồng bậc là một mảng quan trọng trong chuyên

đề bất đẳng thức Ta sẽ đi nghiên cứu một số bất đẳng thức dạng đồng bậc thường dùng, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng này,

và một số cách chuyển dạng không đồng bậc về dạng đồng bậc, để từ đó người đọc có thể tìm ra phương pháp chứng minh thích hợp cho từng bài toán bất đẳng thức dạng đồng bậc

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với nk, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức

đúng với n2k

Thật vậy, xét 2k số thực không âm a1, ,a k,a k1, ,a2k

Sử dụng giả thiết qui nạp ta có

Theo nguyên lý qui nạp ta có bất đẳng thức đúng với  n 2, n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

Bất đẳng thức AM – GM là bất đẳng thức quen thuộc và có ứng

dụng rộng rãi, là bất đẳng thức đầu tiên phải ghi nhớ và sử dụng một

cách thành thạo

Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, cách chứng

minh hay nhất có thể là cách chứng minh sử dụng phương pháp qui nạp

Cauchy (như chứng minh trên) Có lẽ vì vậy mà nhiều người nhầm lẫn

rằng Cauchy là người phát hiện ra bất đẳng thức này Thực ra bất đẳng

thức này có tên là AM –GM (Arithmetric means – Geometric means)

Sau đây là một số bài toán đặc trưng sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Ví dụ 1 Với mọi số thực dương , ,a b c ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra   a b c

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi , ,a b c dương

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra   a b c

Ví dụ 4 Với mọi , ,x y z dương, hãy chứng minh rằng

Nhận xét: Lớp các bài toán trên, bậc của các hàm đa thức chính là bậc

của các đơn thức cũng chính là bậc của bất đẳng thức Do đó, khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì ta thường lấy đại diện một đơn thức ở

vế lớn rồi cộng thêm với các đơn thức đồng bậc với các đơn thức đại diện này

Hai vế là các biểu thức đồng bậc bậc (-3), nhưng chúng ta sẽ không

sử dụng kĩ thuật cộng thêm các biểu thức đồng bậc mà ta sẽ đánh giá mẫu số

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có

x y  x y x  y xy  x y xyxy xy xy x y, 0Vậy, suy ra

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra     a b c d 0

Nhận xét: Rõ ràng trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức trên,

bậc của hai vế của bất đẳng thức luôn bằng nhau, mặc dù đã có một số

bước biến đổi thành phần của các vế

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra ( ,a a1 2, ,a n) và

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi , , a b c dương, ta có

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Giả sử , ,a b c là các số thực dương, chứng minh rằng

Bằng phân tích trực tiếp ta có đẳng thức sau

+ Nếu các dãy a a1, 2, ,a và n b b1, , ,2 b đơn điệu ngược chiều thì n

(a i a j)(b i b j)  0 S 0Suy ra n a b( 1 1  a b n n)(a1a2   a n)(b1  b2 b n)

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai bộ đơn điệu a a1, 2, ,a n

và a a1n, 2n, ,a n n ta có ngay điều phải chứng minh

Thông thường các bất đẳng thức đối xứng với các biến, nên việc sắp xếp lại các biến luôn có thể thực hiện được Do đó trước khi sử dụng bất đẳng thức này ta phải có một bước sắp xếp lại các biến mà không làm mất tính tổng quát của bài toán Lưu ý rằng điều này chỉ đúng khi và chỉ khi bất đẳng thức hoàn toàn đối xứng với tất cả các biến

Bất đẳng thức Chebyshev có nhiều ứng dụng rất hay, và nói chung làm cho bài toán được giải quyết theo cách đơn giản hơn trong khá nhiều trường hợp Chúng ta cùng xem xét một số ví dụ sau để thấy rõ điều này

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

32

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 0

Ví dụ 2 Chứng minh bất đẳng thức sau với , , a b c là các số thực không

âm cho trước:

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức tổng quát hơn với mọi k2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

0

A B  ta có thể đưa về bất đẳng thức AB để chứng minh

Để chứng minh A B 0 ta có thể dùng các phép biến đổi chuyển

AB thành tổng của nhiều bình phương, tích của hai thừa số cùng dấu hoặc tích của nhiều thừa số không âm,

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi , , a b c ta có

Bất đẳng thức cuối đúng a b c, , Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu , , a b c là ba cạnh của một tam giác với

2 23

(vì abc1 và 3

36

a  nên a0) Vậy ta có điều phải chứng minh

2.1.2 Phương pháp biến đổi tương đương

Để chứng minh bất đẳng thức ta có thể biến đổi bất đẳng thức cần

chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã

Bất đẳng thức này đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho , , a b c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh

Rõ ràng, hai vế là các biểu thức đồng bậc bậc 0 Đây là bất đẳng

thức dạng đồng bậc Bằng con đường quy đồng mẫu số ta có:

cyc

a ab a c abc ab bc ca



Tương tự cho 3 phân thức còn lại ở vế trái của bất đẳng thức Sau

đó cộng các bất đẳng thức này vế với vế ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Dấu bằng xảy ra    a b c d

Ví dụ 5 Cho , , x y z là những số dương Chứng minh rằng

,,,

2

;2

;2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Cho 3 số dương , , a b c Chứng minh rằng

Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra   a b c

Ví dụ 4 Chứng minh rằng, với mọi , , a b c0

Dĩ nhiên phương pháp này chỉ thích hợp cho các bất đẳng thức mà trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học mà thoạt tiên ta chưa nhìn ra nó

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra   a b c

Ví dụ 2 Cho , , a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh

Cách 2: Bài toán trên còn có cách giải như sau

Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra   a b c

Với điều kiện của bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: c a c  c b c  a b

Trong mặt phẳng tọa độ xét 2 vectơ

Từ bất đẳng thức: u v  u v ta suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v, cùng hướng

2 2

2 2

2

( 0)1

k

k k

2.1.5 Phương pháp dùng quy nạp toán học

Nếu bất đẳng thức cần chứng minh phụ thuộc vào số tự nhiên n , thì

ta có thể dùng phương pháp qui nạp Có nhiều hình thức qui nạp khác

nhau, sau đây xin giới thiệu 2 cách cơ bản thường được áp dụng

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với nn0 ta thực hiện các bước

sau:

Cách 1: Qui nạp thông thường

Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với nn0

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k (thay n k vào bất đẳng thức cần chứng minh và bất đẳng thức gọi là giả thiết quy nạp)

Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1

Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi nn0

Cách 2: “Qui nạp Cauchy”

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi số tự nhiên 2

n , ta có thể tiến hành theo 3 bước sau đây:

Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n2

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n2k

Bước 3: Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 4 ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1

Ví dụ 1 Với , , a b c là số đo 3 cạch của một tam giác vuông với c là

 Khi n1: Vế trái bằng vế phải và bằng

1

1

1 xVậy bất đẳng thức đúng

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học

 Với n1 thì ta có bất đẳng thức Nesbitt quen biết

Theo nguyên lý qui nạp suy ra bất đẳng thức đúng  n 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b c 0

Ngoài phương pháp chứng minh bất đẳng thức chung, thì do một số đặc điểm của bất đẳng thức dạng đồng bậc ta còn có các phương pháp chứng minh khác Sau đây là một số phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức rất hay áp dụng đối với bất đẳng thức dạng đồng bậc

2.2 Một số phương pháp mới chứng minh bất đẳng thức dạng đồng bậc

Trong đó là hai đa thức đồng bậc Do tính chất đối xứng của hàm thuần nhất ta có thể chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về việc chứng minh bất đẳng thức: f x x( ,1 2, ,x n) với mọi x x1, 2, ,x thỏa n

mãn điều kiện: g x x( ,1 2, ,x n)

Chuyển hóa một cách thích hợp ta có thể làm đơn giản các biểu thức của bất đẳng thức cần chứng minh, tận dụng được một số tính chất đặc biệt của hằng số



 

c z

VT  Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Nói chung nhiều bài toán bất đẳng thức có một vế là tổng

của ba phân thức như trên là rất khó hoặc không thể đánh giá được từng phân thức Cách chọn như trên cho phép ta làm được khó khăn này một cách dễ dàng dựa trên tính chất cơ bản về bất đẳng thức, phân số, và tam thức bậc hai Tổng quát hơn, ta có thể chứng minh nhiều bất đẳng

  và tương tự x  y z k Mà không làm mất tính đối xứng

của bất đẳng thức ban đầu

Do đó, ta viết vế trái bất đẳng thức dưới dạng

Đây là điều phải chứng minh

Nhận xét: Bằng cách đặt tương tự, ta có thể thiết lập các biểu thức đối

xứng cùng bậc, rồi chọn một điều kiện nào đó, ước lượng các giá trị khi các biến số bằng nhau ta giải được nhiều bài toán tương tự

Nhận xét: Nếu biết quan sát và lựa chọn những điều kiện thích hợp,

nghĩa là lúc ấy như có thêm giả thiết, ta sẽ có lời giải gọn gàng, sáng sủa Sau đây là một số ví dụ minh họa cho điều này

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi không âm ta luôn có

Ý tưởng tự nhiên khi giải bài toán này là tìm cách loại bỏ dấu căn bậc ba nếu có thể Bằng cách đó, ta thay đổi bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức có điều kiện

Giả sử (a b b c c a )(  )(  ) 8, hãy chứng minh

Đây là bất đẳng thức đẹp và khó Cách giải thường là lũy thừa mũ

6 cả hai vế rồi khai triển, nhưng cách này rất dài và không nhiều ý nghĩa, thậm chí rất dễ nhầm lẫn Ta xem chứng minh sau đây

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Điểm đáng chú ý trong lời giải trên là việc giả sử ab bc ca  3

Ta giả sử được như vậy vì bất đẳng thức trên là thuần nhất

2.2.2 Lớp hàm đối xứng sơ cấp ba biến

Với ba số thực a b c là nghiệm của phương trình bậc ba , ,

Bây giờ ta sử dụng đồng nhất thức ta được

a b c p

ab bc ca q abc r

Mở đầu về phần này, tôi muốn giới thiệu cho các bạn một bất đẳng

thức cực kì nổi tiếng và có nhiều ứng dụng, đó là bất đẳng thức Schur:

Do tính đối xứng của bất đẳng thức ta có thể giả sử a b c

Đặt x a b, y b c, bất đẳng thức được viết lại thành

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0 hoặc x c 0 hay a b c

hoặc ab c, 0 Do giả sử a b c ở đầu bài nên các trường hợp 0,

x yz và y0,xz cũng có đẳng thức Về sau ta chỉ gói gọn là

ab c hoặc các hoán vị Định lý đã được chứng minh

+ Một số trường hợp đặc biệt của định lý Schur