Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

ỜI CẢM ƠN Lu nậ văn đượ hoàn thành t ic ạ Trườ g Đ in ạ học Sư ph mạ Hà N iộ 2 dưới sự hướng d nẫ c aủ PGS.TS Hà Ti nế Ngo n.ạ Th yầ luôn hướng d nẫ nhiệt tình và truyền đ tạ cho tác giả

ỜI CẢM ƠN

Lu nậ văn đượ hoàn thành t ic ạ Trườ g Đ in ạ học Sư ph mạ Hà N iộ

2 dưới sự hướng d nẫ c aủ PGS.TS Hà Ti nế Ngo n.ạ Th yầ luôn hướng

d nẫ nhiệt tình và truyền đ tạ cho tác giả những kinh nghi mệ trong quátrình học t pậ và nghiên cứu khoa h cọ Tác giả xin bày tỏ lòng kính

tr ng,ọ lòng bi tế nơ chân thành và sâu s cắ đ iố với th yầ

Tác giả xin đượ g ic ử l iờ c mả nơ chân thành t iớ các th yầ giáo,

cô giáo trong nhà trườ và các th yng ầ , cô giáo gi ngả d yạ chuyên ngànhToán Gi iả tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học t pậ vàlàm lu nậ văn

Cu iố cùng, tác giả xin đượ c mc ả nơ t iớ gia đình, b n ạ bè, đồngnghi pệ đã động viên và t oạ m iọ đi uề ki nệ thu nậ l iợ để tác gi ả hoànthành b nả lu nậ văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thị Hương

LỜI CAM ĐOAN

Lu nậ văn đượ hoàn thành t ic ạ trườ Đ ing ạ học sư ph mạ Hà N iộ

2 dưới sự hướng d nẫ c aủ PGS.TS Hà Ti nế Ngo n.ạ

Tôi xin cam đoan Lu nậ văn là công trình nghiên cứu c aủ riêng tôi.Trong khi nghiên cứu lu nậ văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học c aủ các nhà khoa học và đồng nghi pệ với sự trân tr ngọ và bi tế n

ơ

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thị Hương

Mục lục

Mở

đầu 5

Chương 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 8 1.1 Đ nhị lý đi mể b tấ đ ngộ B rouwer 8

1.2 Đ nhị lý đi mể b t đ ộấ ng Schaud er 13

1.3 Đ nhị lý đi mể b t đ ộấ ng L er ay-Schaud er 14

1.3.1 D ngạ đ cặ bi tệ 14

1.3.2 D ngạ t ngổ quát 15

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI 18 2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính c pấ hai 18

2.1.1 Phát bi uể bài toán 18

2.1.2 Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange 19

2.1.3 Ví dụ 2: Phương trình m tặ cực ti uể 21

2.2 Tính gi iả được c a bàiủ toán Di r ichl e t ch o ph ươ ng trình elliptic á tuy ế n tính c p haiấ 21 2.2.1 Đánh giá tiên nghi mệ Ho¨lder đối với nghi mệ bài

toán Dirichlet và các đ oạ hàm c pấ m tộ c aủ nó 21 2.2.2 Áp d ngụ d ngạ đ cặ bi tệ c aủ đ nhị lý Leray-Schauder 25 2.2.3 Áp d ngụ Đ nhị lý Leray-Schauder d ngạ t ngổ quát 30

Tà

i li ệu tham khả o 42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết đi mể b tấ động là m tộ trong những lý thuyết quan

tr ngọ c aủ ngành gi iả tích, với r tấ nhiều thành t uự mà n iổ b tậ là cácnguyên lý đi mể b tấ động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder(1930)

Nguyên lý đi mể b tấ động Brouwer đượ Brouwer chứng minhcdựa trên lý thuyết b cậ tôpô c aủ ánh xạ liên t cụ trong không gianhữu h nạ chiều Đây cũng là m tộ đ nhị lý đượ xem là thành t uc ự s mớ

nh tấ c aủ tôpô đ iạ số và làm nền móng cho các hướng nghiên cứu

ti pế theo c aủ nhiều nhà toán h cọ , d nẫ đến các kết quả c b n ơ ả khác

Đ nhị lý đi mể b tấ động Schauder chính là m tộ mở r ngộ c aủ nguyên lý

đi mể b tấ động Brouwer cho không gian vô h nạ chiều (áp d ngụ chokhông gian Banach) Các kết quả kinh đi nể này đã đượ mở r ngc ộ racác l pớ ánh xạ trong các không gian khác nhau, đã đượ ứng d ngc ụ

r ngộ rãi trong nhiều lĩnh vực và đượ t pc ậ h pợ l iạ dưới m tộ cái tênchung: lý thuyết đi mể b tấ đ ng.ộ Trong lý thuyết này, ngoài các đ nhị

lý t nồ t iạ đi mể b tấ đ ng,ộ ngườ ta còn quan tâm đến c ui ấ trúc c aủ

t pậ h pợ đi mể b tấ đ ng,ộ các phương pháp tìm đi mể b tấ động và cácứng d ngụ c aủ chúng

M tặ khác, trong lý thuyết phương trình đ oạ hàm riêng, các đ nhị

lý đi mể b tấ động thường đượ ứng d ngc ụ trong vi cệ chứng minh sự

t nồ t iạ nghi mệ c aủ các bài toán, như bài toán biên, bài toán Cauchy

ho cặ bài toán biên-giá trị ban đ u.ầ Các đánh giá tiên nghi mệ đ iố vớinghi mệ c aủ các phương trình ho cặ các bài toán sẽ đượ dùng đểc

ki mể tra các giả thi tế c aủ các đ nhị lý đi mể b tấ đ ng.ộ M tộ đánh giátiên nghi mệ là m tộ đánh giá đ iố với nghi mệ u(x) thông qua các hệ

s ,ố vế ph iả c aủ phương

trình và các dữ ki nệ c aủ bài toán, trên cơ sở giả thi tế nghi mệ t nồ t i.ạ

Vi cệ nghiên c uứ các đ nhị lý đi mể b tấ đ ngộ và ngứ d ngụ c aủ

nó là m tộ v nấ đề có ý nghĩa quan tr ng.ọ Trong lu nậ văn này tôi đã

ch nọ đề tài: “Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phươngtrình elliptic á tuyến tính cấp hai”

N iộ dung cơ b nả c aủ lu nậ văn đượ dựa trên chương 11 c ac ủ tài

li uệ

[5]

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các ki nế thức cơ b nả c aủ đ nhị lý đi mể b tấ đ ng,ộ sau

đó nêu ra ứng d ngụ c aủ nó vào vi cệ nghiên cứu tính gi iả đượ c ac ủ bàitoán biên Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính c pấ hai

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Vi cệ nghiên cứu hoàn thi nệ lu nậ văn với nhiệm vụ hệ th ngốlàm sáng tỏ n iộ dung c aủ các đ nhị lý đi mể b tấ động và ứng d ngụ chophương trình elliptic á tuyến tính c pấ hai

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình đ oạ hàm riêng để nghiên cứu m tộ số đ nhị lý đi mể

b tấ động và ứng d ngụ vào phương trình elliptic á tuyến tính c pấ hai

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày hệ th ngố các vấn đề nghiên cứu

Chi ti tế hoá các chứng minh trong tài li u.ệ

Chương 1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT

ĐỘNG

Đ nhị lý đi mể b tấ động Brouwer là m tộ đ nhị lý quan tr ngọ

về đi mể b tấ đ ng.ộ Nó kh ngẳ đ nhị m tộ ánh xạ t ừ t p ậ l i ồ đóng, bị

ch nặ trong không gian hữu h nạ chiều vào chính nó thì có m tộ đi mể

b tấ đ ng.ộ Đ nhị lý đi mể b tấ động dưới đây đượ xét trong không gianc

Rn Để chứng minh ta c nầ có bổ đề:

Bổ đề 1.1 Cho f là một hàm véc tơ cột khả vi vô hạn của n+1

biến (x0, , x n ) với những giá trị thuộc Rn Kí hiệu D i là đạo hàm riêng của định thức n cột f x0 , , f x i−1 , f x i+1 , , f x n Khi đó:

C ji, do phép l yấ vi phân các c tộ c aủ đ nhị thức đượ hoán vị cho nhaucnên ta có:

σ (i, j) ,

i=0 ∂x i

n

=

Từ đây, ba bi uể thức b ngằ nhau trong các đ ngẳ thức trên ph iả b ngằ

0, ta suy ra công thức (1.1) đượ chứng minh.c

Định lý 1.1 (Brouwer) Nếu φ là một ánh xạ liên tục từ hình cầu

đơn vị đóng B = {x ∈ X, |x| ≤ 1} trong R n vào chính nó thì có một điểm

bất động, tức là ∃y ∈ B : φ (y) = y.

Chứng minh Ta xét ánh x trongạ không gian hữu h n ạ chiều Rn, theođịnh lý x pấ xỉ Weierstrass cho các hàm liên tục của n bi n ế nóirằng, với m iỗ ánh xạ φ liên t cụ c aủ B vào chính nó là gi iớ h nạ đều

c aủ m tộ dãy (φ k) c aủ các ánh xạ khả vi vô h nạ l nầ c aủ B vào chính

nó Giả sử đ nhị lý này đượ chứng minh với các ánh xạ khả vi vôc

h nạ l nầ thì với m iỗ số nguyên k có m tộ đi mể y k ∈ B thoả mãn φ k

n

i

(y k ) = y k Từ B là compact, với m i ỗ dãy con (y k i ) h iộ tụ t iớ m tộ

đi mể y trong B Khi đó lim φ k i (x) = φ(x) đều trên B thì

i→∞

φ (y) = lim φ k i (y k i ) = lim y k i = y.

i→∞ i→∞

Đ nhị lý này cũng đúng trong trườ h png ợ φ là hàm khả vi vô h nạ l n.ầ

Giả sử φ là ánh xạ khả vi vô h nạ l nầ c aủ B vào chính nó và φ (x) ƒ=

x, x ∈ B Đ t ặ a = a (x) là nghi mệ r ngộ h nơ c aủ phương trình b cậ hai

0, x ∈ B kéo theo từ công th c ứ (1.2) có a (x) = 0 v i ớ |x| = 1 là

hàm khả vi vô h nạ l nầ c aủ x ∈ B Ngoài ra theo công th c ứ (1.2) có a (x) = 0 v iớ |x| = 1 Bây giờ v iớ m iỗ t ∈ R đ t ặ f (t; x) = x + ta (x) (x − φ (x)),

hàm phụ thu cộ thoả mãn |f (1, x)| = 1 kéo theo đ nhị th cứ Jacobian

D0(1, x) đ ngồ nhất b ngằ 0, h nơ n aữ I (1) = 0 Đi uề này mâuthu nẫ , yêu c uầ

cũng chỉ ra r ngằ I (t) = 0, I là h ngằ s ,ố I(1) = 0 ƒ= I(0) Đi uề này mâu

thu nẫ , ch ngứ tỏ x ∈ B sao cho φ(x) = x.

Mệnh đề 1.1 Cho B = B¯(0, r) ⊂ R n là hình cầu đóng với bán kính r

Khi đó f˜ có một đi mể bất

động xˆ

trong C, bởi vì f (xˆ) = xˆ ∈ C

Thậtvậy, theo Định lý 1.1 thì ∃

xˆ ∈ B (0, r) sao cho f˜(xˆ) = xˆdo Song

f˜(Rn) ⊂ coC = C, nên xˆ ∈ C và f˜(xˆ) = f (xˆ) = xˆ

1.2 Định lý điểm bất động Schauder

Đ nhị lý đi mể b tấ động Schauder đượ mở r ngc ộ từ đ nhị lý

đi mể b tấ động Brouwer từ không gian hữu h nạ chiều lên không gian Banach

Định lý 1.2 Cho S là một tập lồi compact trong không gian Banach B

và cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chính nó Khi đó T có một điểm bất động, nghĩa là Tx = x với x ∈ S.

Chứng minh Cho k là m tộ số nguyên dươ (k ∈ N ng ∗) Do S làcompact, t nồ t iạ m tộ t pậ h pợ h uữ h nạ đi mể x1, x2, , x N ∈ S, ở

và do T là liên t c,ụ ta kết lu nậ r ngằ Tx = x.

Hệ quả 1.2 Cho S là một tập lồi đóng trong không gian Banach B và

cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chính nó sao cho ảnh T S

là tiền compact Khi đó T có một điểm bất động.

1.3.1 Dạng đặc biệt

Định lý 1.3 Cho T là một ánh xạ compact của một không gian Banach

B vào chính nó và giả sử tồn tại một hằng số M sao cho

Hệ quả 1.3 Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu T là một ánh xạ compact

của một không gian Banach vào chính nó, trong đó điều kiện (1.7)

T x

||T x||

có thể không cần được thoả mãn thì với σ ∈ (0, 1] nào đó, ánh xạ σT

có một điểm bất động Hơn nữa, nếu đánh giá (1.7) được thoả mãn thì σT có một điểm bất động ∀σ ∈ [0, 1]

Chứng minh Cho T là ánh xạ compact

a) Giả sử (1.7) không đượ thoả mãn thì ∃σ ∈ (0, 1] và ∃x ∈ B sao choc

σT x = x.

Th tậ v yậ , giả sử ∀σ ∈ (0, 1] và ∀x ∈ B thì

Khi đó (1.7) đượ tho c ả mãn Theo đ nhị lý 1.3 thì ∃x ∈ B sao cho

Tx = x Do đó mâu thu nẫ v iớ (1.9) do nó đượ thoả mãn v ic ớ σ = 1.

b) Giả sử (1.7) đượ thoả mãn.c

Ta chứng minh: ∀σ ∈ [0, 1] và ∃x ∈ B sao cho

Định lý 1.4 Cho B là một không gian Banach và cho T là một ánh xạ

compact của B × [0, 1] vào B sao cho T (x, 0) = 0 với ∀x ∈ B Giả

sử

tồn tại một hằng số M thoả mãn

với ∀(x, σ) ∈ B × [0, 1] sao cho x = T (x, σ) Khi đó ánh xạ T1 của B vào chính nó xác định bởi T1x = T (x, 1) có một điểm bất động.

Nhận xét 1.1 Định lý 1.4 chứa Định lý 1.3 như là trường hợp đặc biệt,

trong đó vai trò của T (x, σ) là σT x.

Bổ đề 1.2 Giả sử B = B1(0) là hình cầu đơn vị trong B và cho T

Ánh xạ T ∗ rõ ràng là liên tục, T

∗B¯ là ti nề compact Do tính pact c aủ T và T ∗∂B = 0, h nơ nữa b iở Bổ đề 1.2 ánh xạ T ∗ có m tộ

ở đó k = 1, 2, Do tính compact c a ủ T ta có thể giả thi t ế dãy {(x k ,

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER

VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á

Phương trình (2.1) đượ g ic ọ là phương trình elliptic á tuyến tính

c pấ hai

Bài toán đi tìm hàm u(x) th aỏ mãn phươ trình (2.1) trong Ωng

v iớ đi uề ki nệ biên u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω là bài toán Dirichlet cho

phươ trình elliptic á tuy nng ế tính c pấ hai

2.1.2 Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange

Xét bài toán bi nế phân sau:

Cho Ω là mi nề bị ch nặ trong Rn và F là hàm xác đ nhị trong

Bây giờ ta xét bài toán bi nế phân sau:

P: Tìm u ∈ E sao cho I (u) ≤ I (v) v i ớ ∀v ∈ E Giả sử u là

nghi mệ c aủ P và cho η thu cộ không gian

E0 = .η ∈ C 0,1 .Ω¯ | η = 0 trên ∂Ω, thì hàm v = u + tη ph iả thu cộ E v iớ t ∈ R Khi đó I (u) ≤ I (u +

Qu = divD p F (x, u, Du) − D z F (x, u, Du) = 0. (2.5)

Phương trình (2.5) là phương trình á tuyến tính c pấ hai.

Ngoài ra, n uế F ∈ C2 (Ω × R × Rn) và u ∈ C2 (Ω) ∩ C 0,1 .Ω¯ ., thì

u là

nghi mệ c aủ bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω H nơ

n aữ , tính gi iả đượ c ac ủ bài toán P chính là tính gi iả đượ c ac ủ bàitoán Dirichlet v iớ phươ trình (2.5).ng

Ta nói phiếm hàm I là chính quy nếu hàm F là l iồ ng tặ đ iốvới các bi nế p Rõ ràng nếu F ∈ C2(Ω × R × Rn), thì chính quy

c aủ I là tươ đương với tính elliptic c ang ủ toán tử Euler-Lagrange Q Bây giờ giả sử u ∈ C 0,1(Ω) thoả mãn (2.5) và u = ϕ trên ∂Ω Thì ta

Định lý 2.1 Cho I là chính quy với F là lồi đối với z và p Khi đó

bài toán biến phân P có nhiều nhất một nghiệm Ngoài ra, tính

2

t

giải được của P là tương đương với tính giải được của bài toán

Dirichlet với

phương trình Euler-Lagrange, Qu = 0, u = ϕ trên ∂Ω, trong không gian

B iở vì ξ là tuỳ ý nên Qu = 0 theo từng đi m ể trong Ω.

phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm Ho¨lder đối với nghiệm bài

toán Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó

2.2.1.1. Trường hợp hai biến độc lập (n = 2)

N uế u ∈ C2 (Ω) thoả mãn phương trình elliptic

với ∀x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, 2, trong đó λ (x, z, p) đượ xác c

đ nhị b iở (2.2) Trong [5] đã đưa ra các đánh giá sau

Định lý 2.2 Cho u ∈ C2 (Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω ⊂ R2, ở đó

Q là elliptic trong Ω và các hệ số a ij , b ∈ C0 .Ω × R × R2. Khi đó với mỗi

2.2.1.2. Trường hợp tổng quát (n ≥ 2)

Giả sử Q là toán tử elliptic c aủ d ngạ

Qu = divA(x, u, Du) + B(x, u, Du) (2.6)

elliptic ng tặ trong Ω và các hệ số a −ij ,

f i là bị ch nặ , ch nọ λ K , Λ K , µ K

thoả

mãn 0 < λ K ≤ λ (x, z, p) ,

k

ΛK ≥ ..D pj A i (x, z, p) .,

µ K ≥ ..δ j A i (x, z, p). + |B(x, z, p)| ,

với ∀x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, , n, ta có các đánh giá ([5])

Định lý 2.4 Cho u ∈ C2 (Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q

là elliptic trong Ω và có dạng phân kỳ của (2.6) với A ∈ C1 (Ω × R

ở

đó C = C(n, K, Λ K /λ K , µ K /λ K , Ω, φ),

K = |u|1;Ω , φ = |ϕ|2;Ω , β = β (n, Λ K /λ K , Ω) >

0.

Định lý 2.6 Cho u ∈ C2 (Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q

2.2.2 Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder

2.2.2.1. Các điều kiện đủ cho tính giải được của bài toánDirichlet

Để áp d ngụ Đ nhị lý 1.3 vào bài toán Dirichlet cho phương

trình elliptic á tuyến tính ta cố đ nhị số β ∈ (0, 1) và xét không gian

Q là toán tử cho b iở công thức:

Qu = a ij (x, u, Du) D ij u + b(x, u, Du) (2.7)Giả sử Q là elliptic trong

được xác định bởi u = T υ có nghi m ệ duy nhất trong C 2,αβ .Ω¯

của bài toán Dirichlet tuy nế tính:

a ij (x, υ, Dυ) D ij u + b (x, υ, Dυ) = 0 (2.8)

trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω.

Tính gi iả đượ c ac ủ bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ

trên

∂Ω trong không gian C 2,α .Ω¯ là tương đương với tính giải được

của phương trình u = T u trong không gian Banach B = C 1,β .Ω¯ ,đồng thời phươ trình u = σT u trong B tng ươ đng ươ v ing ớ bài toánDirichlet

× R × Rn ), 0 < α < 1

Giả

sử ∂Ω ∈ C 2,α và ϕ ∈ C 2,α .Ω¯ . Khi đó, nếu với β > 0 nào đó tồn tại một