Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: lý thuyết điểm bất động.Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người tacòn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất đ

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy luôn hướng dẫnnhiệt tình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, côgiáo trong nhà trường và các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành ToánGiải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoànthành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thị Hương

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Đỗ Thị Hương

Mở đầu 5

1.1 Định lý điểm bất động Brouwer 8

1.2 Định lý điểm bất động Schauder 13

1.3 Định lý điểm bất động Leray-Schauder 14

1.3.1 Dạng đặc biệt 14

1.3.2 Dạng tổng quát 15

Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI 18 2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 18

2.1.1 Phát biểu bài toán 18

2.1.2 Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange 19

2.1.3 Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu 21

2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 21

2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm H¨older đối với nghiệm bài toán Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó 21 2.2.2 Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder 25 2.2.3 Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát 30

Tài liệu tham khảo 42

Rn không gian Euclid n-chiều

Rn+ nửa không gian Rn = {x ∈ Rn|xn > 0}

∂S tập của các điểm trên biên của tập S

C0k(Ω) tập các hàm trong Ck(Ω) có giá compact trong Ω

BR(x0) hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn

C(∗, , ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong

dấu ngoặc đơn

và được tập hợp lại dưới một cái tên chung: lý thuyết điểm bất động.Trong lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người tacòn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháptìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng.

Mặt khác, trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, các định lýđiểm bất động thường được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tạinghiệm của các bài toán, như bài toán biên, bài toán Cauchy hoặc bàitoán biên-giá trị ban đầu Các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm củacác phương trình hoặc các bài toán sẽ được dùng để kiểm tra các giảthiết của các định lý điểm bất động Một đánh giá tiên nghiệm là mộtđánh giá đối với nghiệm u(x) thông qua các hệ số, vế phải của phương

trình và các dữ kiện của bài toán, trên cơ sở giả thiết nghiệm tồn tại.Việc nghiên cứu các định lý điểm bất động và ứng dụng của nó làmột vấn đề có ý nghĩa quan trọng Trong luận văn này tôi đã chọn đềtài: “Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trìnhelliptic á tuyến tính cấp hai”.

Nội dung cơ bản của luận văn được dựa trên chương 11 của tài liệu[5]

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của định lý điểm bất động, sau đónêu ra ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu tính giải được của bài toánbiên Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làmsáng tỏ nội dung của các định lý điểm bất động và ứng dụng cho phươngtrình elliptic á tuyến tính cấp hai

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các kết quả về các định lý điểm bất động, một số ứng dụng của nócho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai Cụ thể luận văn gồm 2chương:

Chương 1: Một số định lý điểm bất động

Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình liptic á tuyến tính cấp hai

el-5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm,

Phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu một số định lý điểm bấtđộng và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày hệ thống các vấn đề nghiên cứu

Chi tiết hoá các chứng minh trong tài liệu

Bổ đề 1.1 Cho f là một hàm véc tơ cột khả vi vô hạn của n+1 biến(x0, , xn) với những giá trị thuộc Rn Kí hiệu Di là đạo hàm riêng củađịnh thức n cột fx0, , fxi−1, fxi+1, , fxn Khi đó:

ở đó σ (i, j) = 1 nếu j < i, σ (i, j) = 0 nếu i = j, σ (i, j) = −1 nếu j > i.Khi đó

Từ đây, ba biểu thức bằng nhau trong các đẳng thức trên phải bằng

0, ta suy ra công thức (1.1) được chứng minh

Định lý 1.1 (Brouwer) Nếu φ là một ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn

vị đóng B = {x ∈ X, |x| ≤ 1} trong Rn vào chính nó thì có một điểmbất động, tức là ∃y ∈ B : φ (y) = y

Chứng minh Ta xét ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều Rn, theođịnh lý xấp xỉ Weierstrass cho các hàm liên tục của n biến nói rằng,với mỗi ánh xạ φ liên tục của B vào chính nó là giới hạn đều của mộtdãy (φk) của các ánh xạ khả vi vô hạn lần của B vào chính nó Giả sửđịnh lý này được chứng minh với các ánh xạ khả vi vô hạn lần thì vớimỗi số nguyên k có một điểm yk ∈ B thoả mãn φk(yk) = yk Từ B làcompact, với mỗi dãy con (yki) hội tụ tới một điểm y trong B Khi đólim

i→∞φk i(x) = φ(x) đều trên B thì

φ (y) = lim

i→∞φk i(yk i) = lim

i→∞yk i = y

Định lý này cũng đúng trong trường hợp φ là hàm khả vi vô hạn lần Giả

sử φ là ánh xạ khả vi vô hạn lần của B vào chính nó và φ (x) 6= x, x ∈ BĐặt a = a (x) là nghiệm rộng hơn của phương trình bậc hai

(1.2)Khi |x − φ (x)| 6= 0 với x ∈ B thì biệt thức:

(x, x − φ (x))2 +1 − |x|2|x − φ (x)|2 > 0khi |x| 6= 1

Trường hợp còn lại, nếu |x| = 1 thì (x, x − φ (x)) 6= 0, với các giá trịkhác thì (x, φ (x)) = 1 và tích trong của hai véc tơ nhỏ hơn hoặc bằng

1 Độ dài của chúng bằng nhau khi và chỉ khi chúng bằng nhau Từ đóbiệt thức khác 0 với x ∈ B

Do hàm t1

2 là hàm khả vi vô hạn lần theo t với t > 0 và |x − φ (x)| 6=

0, x ∈ B kéo theo từ công thức (1.2) có a (x) = 0 với |x| = 1 là hàmkhả vi vô hạn lần của x ∈ B Ngoài ra theo công thức (1.2) có a (x) = 0với |x| = 1 Bây giờ với mỗi t ∈ R đặt f (t; x) = x + ta (x) (x − φ (x)),

thì f là hàm khả vi vô hạn lần của n + 1 biến t, x1, , xn ∈ B Từ

a (x) = 0 với |x| = 1 ta có ft(t, x) = 0 với |x| = 1 Trong trường hợp cònlại f (0, x) = x và từ định nghĩa của a ta có |f (1, x)| = 1 với ∀x ∈ B

Kí hiệu cột của định thức là véc tơ fx1(t, x) , , fx n(t, x) bởi

Mệnh đề 1.1 Cho B = ¯B(0, r) ⊂ Rn là hình cầu đóng với bán kính r

với f là một ánh xạ liên tục của tập lồi compact B vào chính nó Khi

đó tồn tại một điểm bất động ˜x của f với k˜xk = kf(˜x)k = r Ngoài ra

Khi đó ˜f có một điểm bất động ˆx trong C, bởi vì f (ˆx) = ˆx ∈ C Thậtvậy, theo Định lý 1.1 thì ∃ ˆx ∈ B (0, r) sao cho ˜f (ˆx) = ˆx Song do

˜

f (Rn) ⊂ coC = C, nên ˆx ∈ C và ˜f (ˆx) = f (ˆx) = ˆx

1.2 Định lý điểm bất động Schauder

Định lý điểm bất động Schauder được mở rộng từ định lý điểmbất động Brouwer từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach

Định lý 1.2 Cho S là một tập lồi compact trong không gian Banach B

và cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chính nó Khi đó T có mộtđiểm bất động, nghĩa là T x = x với x ∈ S

Chứng minh Cho k là một số nguyên dương (k ∈ N∗) Do S là compact,tồn tại một tập hợp hữu hạn điểm x1, x2, , xN ∈ S, ở đó N = N(k)sao cho hình cầu

Ánh xạ Jk.T khi bị hạn chế trên Sk là ánh xạ liên tục của Sk vào chính

nó, hơn nữa theo định lý điểm bất động Brouwer có một điểm bất động

x(k) Do S là compact, một dãy con của dãy x(k) hội tụ tới x ∈ S Với

áp dụng (1.6) cho T x(k) ta có:

x

(k) − T x(k)

δjAi(x, z, p) + |B(x, z, p)| ,với ∀x ∈ Ω, |z| + |p| ≤ K, i, j = 1, , n, ta có các đánh giá ([5])

Định lý 2.4 Cho u ∈ C2(Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q làelliptic trong Ω và có dạng phân kỳ của (2.6) với A ∈ C1(Ω × R × Rn),

Định lý 2.6 Cho u ∈ C2(Ω) thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q làelliptic trong Ω và các hệ số aij ∈ C1(Ω × R × Rn), b ∈ C0(Ω × R × Rn).Khi đó ∀Ω′ ⊂⊂ Ω ta có đánh giá:

[Du]β;Ω′ ≤ Cd−β,

ở đó

C = C(n, K, µK/λK, diamΩ),

K = |u|1;Ω, d = distΩ′, ∂Ω,và

β = β (n, K, µK/λK)

Định lý 2.7 Cho u ∈ C2 Ω
thoả mãn Qu = 0 trong Ω, ở đó Q là el-¯liptic trong ¯Ω và các hệ số aij ∈ C1 Ω × R × R¯ n
, b ∈ C0 Ω × R × R¯ n
.Khi đó nếu ∂Ω ∈ C2, ϕ ∈ C2 Ω
với u = ϕ trên ∂Ω ta có đánh giá:¯

Để áp dụng Định lý 1.3 vào bài toán Dirichlet cho phương trìnhelliptic á tuyến tính ta cố định số β ∈ (0, 1) và xét không gian Banach

B là không gian H¨older C1,β Ω¯

, ở đó Ω là miền bị chặn trong Rn Cho

Q là toán tử cho bởi công thức:

Qu = aij (x, u, Du) Diju + b(x, u, Du) (2.7)

Giả sử Q là elliptic trong ¯Ω khi đó các hệ số ma trận aij(x, z, p) làxác định dương với ∀(x, z, p) ∈ ¯Ω × R×Rn Ta cũng có thể giả thiết rằngvới mỗi α ∈ (0, 1) các hệ số aij, b ∈ Cα(Ω × R × Rn) với biên ∂Ω ∈ C2,α

và khi đó ϕ là một hàm trong C2,α Ω¯

với ∀υ ∈ C1,β Ω¯

, toán tử Tđược xác định bởi u = T υ có nghiệm duy nhất trong C2,αβ Ω¯

của bàitoán Dirichlet tuyến tính:

aij (x, υ, Dυ) Diju + b (x, υ, Dυ) = 0 (2.8)trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω

Tính giải được của bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên

∂Ω trong không gian C2,α Ω¯
là tương đương với tính giải được củaphương trình u = T u trong không gian Banach B = C1,β Ω¯

, đồng thờiphương trình u = σT u trong B tương đương với bài toán Dirichlet

Qσu = aij(x, u, Du) Diju + σb (x, u, Du) = 0trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω

Định lý sau đây là một áp dụng của Định lý 1.3

Định lý 2.8 Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn và giả sử Q làelliptic trong ¯Ω với các hệ số aij, b ∈ Cα Ω × R × R¯ n), 0 < α < 1 Giả

sử ∂Ω ∈ C2,α và ϕ ∈ C2,α Ω
Khi đó, nếu với β > 0 nào đó tồn tại một¯hằng số M không phụ thuộc u và σ sao cho với mỗi C2,α Ω)-nghiệm của¯bài toán Dirichlet Qσu = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1 thoảmãn

đưa các tập bị chặn trong C1,β Ω¯

vào các tập bị chặn trong C2,αβ Ω¯

là tiền compact trong C2 Ω¯
và C1,β Ω¯
Để chỉ ra tính liên tục của T

ta giả sử υm, m = 1, 2, hội tụ tới υ trong C1,β Ω¯

thì từ dãy {Tυm} làtiền compact trong C2 Ω¯

với mọi dãy con có một dãy con hội tụ Chodãy {T ¯vm} là một dãy con với giới hạn u ∈ C2 Ω¯

Khi đó từ:

aij(x, υ, Dυ) Diju + b (x, υ, Dυ)

= lim

m→∞aij (x, ¯υm, Dυ ¯ m) DijTυ ¯ m+ b (x, ¯υm, Dυ ¯ m) = 0

ta phải có u = T υ và hơn nữa dãy {T vm} hội tụ về u

2.2.2.2 Các bước đánh giá tiên nghiệm

Định lý 2.8 về tính giải được của bài toán Dirichlet Qu = 0 trong

Ω, u = ϕ trên ∂Ω đưa tới việc đánh giá trong không gian C1,β Ω¯
, với

β > 0 nào đó của nghiệm liên quan đến họ các bài toán Để kiểm tra giảthiết của (2.9), người ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: Đánh giá sup

p(x) và z = Π−p(x) có đặc trưng p saocho:

2. 1 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á< /h3>

aij(x,... n
.Khi ∂Ω ∈ C2< /small>, ϕ ∈ C2< /sup> Ω
với u = ϕ ∂Ω ta có đánh giá:¯

Để áp dụng Định lý 1.3 vào tốn Dirichlet cho phương trìnhelliptic tuyến tính ta cố định số β ∈ (0,... vàcho T ánh xạ liên tục S vào cho ảnh T S làtiền compact Khi T có điểm bất động.

1.3 Định lý điểm bất động Leray-Schauder

1.3.1 Dạng đặc biệt

Định lý 1.3 Cho T ánh xạ