Một số định lý cơ bản về chuỗi fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Trần Thị Hương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tíc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Hương

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER

VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Hương

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA CHUỖI FOURIER

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Anh Tú

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được sự giúp đỡ, quan tâm của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên.Em xin chân thành cảm ơn thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm vừa qua đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Anh Tú người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghệp.

Do hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót.

Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài của em hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên Trần Thị Hương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng kết quả nghiên trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Khóa luận tốt nghiệp là công trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Anh Tú Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo).

Hà Nội, tháng 5 năm 2016 Sinh viên

Trần Thị Hương

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

1.1 Không gian topo 4

1.2 Không gian đo 4

1.3 Một số không gian hàm 5

1.3.1 Không gian Lp 6

1.3.2 Không gian lp 6

1.3.3 Không gian Cα 7

1.4 Một số khái niệm hôi tụ 8

1.4.1 Hội tụ hầu khắp nơi 8

1.4.2 Hội tụ theo độ đo 8

1.4.3 Hội tụ trong không gian Lp 8

1.5 Tích chập 10

2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER 11 2.1 Tổng Dirichlet 11

2.2 Hội tụ từng điểm 152.3 Tổng Fejer 212.4 Dãy xấp xỉ đơn vị 23

3.1 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính một số chuỗi 273.2 Ứng dụng chuỗi Fourier để giải các bài toán vật lý 303.2.1 Phương trình truyền nhiệt 303.2.2 Phương trình sóng 313.3 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong chứng minh định lý

Weyl 323.4 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong bài toán đẳng chu 35

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong toán học giải tích chiếm một vị trí quan trọng Các kếtquả của giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của toánhọc mà còn áp dụng trong nhiều ngành khoa học khác nữa như:vật lý, hóa học, thiên văn học

Trong giải tích các kết quả của chuỗi Fourier không chỉ có ýnghĩa về mặt lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng Trong thực

tế có nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì Các hàm

số có tính chất như vậy trong toán học được gọi là các hàm sốtuần hoàn Một trong những hàm số tuần hoàn đơn giản nhất làcác hàm lượng giác sin 2nπx và cos 2nπx Trong công trình mangtính cách mạng năm 1822, Fourier đưa ra một ý tưởng táo bạo làbất cứ một hàm tuần hoàn chu kỳ 1 nào cũng biểu diễn được dướidạng tổng của các hàm lượng giác sin 2nπx và cos 2nπx, n ∈ N.Mặc dù sau này hàm số không có tính chất trên đã được xâydựng, công trình của Fourier là nền tảng cho giải tích Fourier.Đến nay, giải tích Fourier đã trở thành một công cụ không thểthiếu của nhiều ngành toán học

Để bước đầu tìm hiểu về lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụngcủa nó, em chọn đề tài Một số định lý cơ bản về chuỗi Fourier vàứng dụng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier.

- Ứng dụng của chuỗi Fourier

3 Phạm vi nghiên cứu

- Một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier và ứng dụng

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

4 Đối tượng nghiên cứu

- Một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier

- Ứng dụng của chuỗi Fourier

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận tài liệu tham khảo

- Phân tích tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Những đóng góp của khóa luậnKhóa luận trình bày một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier vàứng dụng của nó trong toán học cũng như trong giải các bài toánvật lý

7 Cấu trúc khóa luậnLuận văn gồm ba chương Chương 1 trình bày khái niệm cơ bảncủa giải tích phục vụ cho việc phát biểu các kết quả các chươngsau Chương 2 đề cập một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier.Chương 3 đưa ra một số ứng dụng minh họa cho các định lý trongChương 2

Em chân thành cảm ơn TS Nguyễn Anh Tú đã tận tình hướngdẫn trong việc tìm tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Em chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợicho em trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2016Tác giả khóa luận

Trần Thị Hương

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1 Không gian topo là một cặp (X, τ ) trong đó X làmột tập hợp và τ là một họ những tập con của tập hợp X, thỏa mãncác điều kiện sau:

• ∅ ∈ τ , X ∈ τ

• Nếu A1, A2 ∈ τ thì A1 ∩ A2 ∈ τ

• Nếu {Ai}i∈I ⊂ τ thì S

i∈IAi ∈ τ Tập hợp X được gọi là không gian, các phần tử của X gọi là cácđiểm của không gian X Họ τ gọi là một topo trên X

Định nghĩa 1.2 Một họ M những tập con của tập X gọi là một đại

số những tập con của tập X nếu

• X ∈ M

• Nếu A ∈ M thì Ac = X\A ∈ M.

• Nếu A1, , An ∈ M thì Sn

i=1Ai ∈ M

Định nghĩa 1.3 M gọi là một σ-đại số các tập con của X nếu M

là một đại số những tập con của tập X và thỏa mãn:

Định nghĩa 1.5 Giả sử M là một σ-đại số những tập con của tậphợp X Hàm số µ: M → [0, ∞] là một độ đo trên M nếu

• µ(∅) = 0

• µ là σ-cộng tính tức là nếu A1, A2, là một họ đếm được nhữngtập hợp đôi một rời nhau thuộc M thì

Bộ ba (X, M, µ) trong đó M là một σ-đại số những tập con của

X, µ là một độ đo trên M, được gọi là một không gian đo

Định nghĩa 1.6 Cho không gian đo (X, M) tập A ∈ M và hàm

f : A → R gọi là đo được trên tập A đối với σ-đai số M nếu:

(∀a ∈ R) {a ∈ A : f (x) < a} ∈ M.

1.3.1 Không gian Lp

Định nghĩa 1.7 Cho một không gian đo (X, M, µ) và 1 ≤ p < ∞

Họ tất cả các hàm số đo được f sao cho

1.4 Một số khái niệm hôi tụ

1.4.1 Hội tụ hầu khắp nơi

Định nghĩa 1.11 Cho không gian đo (X, M, µ), A ∈ M Ta nóidãy hàm {fn} hội tụ hầu khắp nơi tới f trên A nếu ∃B ∈ M sao cho

B ⊂ A, µ(B) = 0 và tại mỗi điểm x ∈ A\B thì dãy {fn(x)} hội tụđến f (x)

1.4.2 Hội tụ theo độ đo

Định nghĩa 1.12 Giả sử (X, M, µ) là một không gian đo và f, f1, f2

là những hàm số đo được hữu hạn hầu khắp nơi Dãy {fn} gọi là hội

tụ theo độ đo đến hàm số f (x) nếu ∀ε > 0 ta đều có

lim

n→∞µ ({x ∈ A : |fn(x) − f (x)| ≥ ε}) = 0

Để biểu đạt sự hội theo đọ đo ta dùng kí hiệu fn → f µ

1.4.3 Hội tụ trong không gian Lp

Định nghĩa 1.13 Cho không gian đo (X, M, µ) và dãy {fn} ⊂

Lp(X, µ) Dãy fn hội tụ trong Lp đến hàm số f nếu

trong Lp[a, b] Một hàm đơn giản là hàm có dạng P

i

αiχAi(x) trong

đó Ai đo được và rời nhau Thật vậy, xét hàm bất kì f ∈ Lp[a, b] Ta

có f = f+− f− với f+, f− ≥ 0 Do đó tồn tại một dãy hàm đơn giảnkhông âm fn+ % f+ hay

đơn giản, ta suy ra C[a, b] trù mật trong Lp[a, b].

được gọi là tích chập của hàm f và g

Mệnh đề 1.3 Cho f, g ∈ L1(T) thì f (x − y)g(y) ∈ L1(T) trong y vớihầu hết x ∈ T và kf ∗ gk1 ≤ kf k1kgk1

T

f (x − y)g(y)dy

dx

≤Z

=Z

Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER

Chuỗi Fourier định nghĩa như trên chỉ là một chuỗi hình thức và

có thể hội tụ hoặc phân kỳ Một điều kiện cần (nhưng không đủ) đểmột chuỗi hội tụ là các số hạng của dãy tiến về không Điều này đượckhẳng định qua bổ đề cơ bản sau

Mệnh đề 2.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Nếu f ∈ L1(T) thì bf (n) → 0khi |n| → ∞

DN(x − y)f (y)dy = (DN ∗ f )(x)

Ở đây DN(x) = PNn=−N e2πinx được gọi là nhân Dirichlet Rõ ràng

là DN quyết định tính hội tụ của chuỗi Fourier Các tính chất cơ bảncủa DN được liệt kê trong hai mệnh đề tiếp theo

2 Ta có

|DN(x)| =

=

≤ CN−αδ−1,

và

[f (x + y − 2N +11 ) − f (x)][sin π(y−

1 2N +1)−sin πy]

sin πy sin π(y−2N +11 )

theo x.

Đến đây xuất hiện một câu hỏi tự nhiên là liệu Định lý 2.4 có cònđúng cho các hàm Cα từng khúc, hay nói cách khác là liệu sự hội tụtrong Đinh lý 2.3 có đều theo x? Tuy nhiên điều này không đúng,ngay kể cả cho các hàm hằng từng khúc (ví dụ như hàm sign(x)) Đây

là một hệ quả tất yếu của hiện tượng Gibbs mà ta không đi sâu vàochi tiết ở đây

Ta biết là tổng Cesaro của một dãy có tính chất hội tụ tốt hơn dãy

đó Điều đó dẫn đến việc nghiên cứu tổng Cesaro của dãy {Snf }∞N =1.Các tổng này được gọi là tổng Fejer, kí hiệu là

Ta sẽ thấy các tính chất hội tụ của σNf là tốt hơn DNf Trước tiên

ta liệt kê các tính chất quan trọng của KN, tương ứng với các tínhchất của DN ở mục trước

Mệnh đề 2.4 1 KN(x) = N1 (sin N πxsin πx )2

2 0 ≤ KN(x) ≤ N−1min(N2, x−2)

1(sin πx)2

1N

 sin(N πx)sin(πx)

2.4 Dãy xấp xỉ đơn vị

Định nghĩa 2.2 Một dãy {φN}∞N =1 ⊂ L1

(T) được gọi là một xấp xỉđơn vị nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

Định lý sau giải thích tên gọi xấp xỉ đơn vị

Định lý 2.5 Giả sử {φN}∞N =1 là một xấp xỉ đơn vị Khi đó

Suy ra với N đủ lớn, ta có kφN ∗ f − f k∞ < 2ε supN kφNk1 Vì

ε có thể bé tùy ý, ta có điều phải chứng minh

2 Giả sử f ∈ Lp(T) Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại g ∈ C(T) sao cho

Áp dụng định lý trên cho trường hợp đặc biệt của nhân Fejer, ta

có kết quả quan trọng sau

Định lý 2.6 1 Tập hợp các đa thức lượng giác là trù mật trong

f (n)b

f (n)b

... 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER< /h2>

Chuỗi Fourier định nghĩa chuỗi hình thức

có thể hội tụ phân kỳ Một điều kiện cần (nhưng không đủ) đ? ?một chuỗi hội tụ số hạng... data-page="22">

Fourier hội tụ.

Ta bắt đầu với kết quan trọng nguyên lý địa phương

Định lý 2.1 Giả sử f ∈ L1(T) Khi với δ ∈ (0, 12) x ∈ Tnào, tính hội tụ chuỗi Fourier. .. phải chứng minh

2 Giả sử f ∈ Lp(T) Khi với ε > tồn g ∈ C(T) cho

Áp dụng định lý cho trường hợp đặc biệt nhân Fejer, ta

có kết quan trọng sau

Định lý 2.6