Một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lí

Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về chéo hóa ma trận được áp dụng trong vật lý như thế nào và cũng là bước đầu giúp cho việc giải các bài toán vật lý một cách đơn gi

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Huy Thảo, người

đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết và Ban chủ nhiệm khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất Song do buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân chưa thấy được Em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn đọc để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Phạm Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Được sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận này Em xin cam đoan đây là công trình của riêng

em, không trùng lặp với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây Nếu sai

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Phạm Thị Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 3

1.1 Lý thuyết ma trận 3

1.1.1 Ma Trận 3

1.1.2 Định nghĩa 3

1.1.3 Cộng hai ma trận 4

1.1.4 Tích của hai ma trận 4

1.1.5 Ma trận khả nghịch 4

1.1.6 Ma trận chuyển 4

1.1.7 Ma trận đồng dạng 5

1.1.8 Ma trận chuyển vị 5

1.1.9 Ma trận chéo 5

1.1.10 Ma trận đơn vị 6

1.1.11 Ma trận tam giác 6

1.1.12 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7

1.1.13 Ma trận Hermitian 7

1.1.14 Ma trận trực giao 8

1.2 Phương pháp chéo hóa ma trận 8

1.2.1 Vấn đề chéo hóa ma trận 9

1.2.1.1 Đặt bài toán 9

1.2.1.2 Cách giải 9

1.2.1.3 Ma trận chéo hóa được 10

1.2.1.4 Giải bài toán chéo hóa ma trận 10

1.2.1.5 Quy trình chéo hóa một ma trận 12

1.2.1.6 Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau 13

1.2.1.7 Thuật toán chéo hóa ma trận 14

1.2.2 Vấn đề chéo hóa trực giao 14

1.2.2.1 Cơ sở trực chuẩn 15

1.2.2.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt 15

1.2.2.3 Phương pháp chéo hóa trực giao 16

1.2.2.4 Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng 17

1.2.2.5 Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng 18

1.3 Chéo hóa ma trận khối 20

1.3.1 Khái niệm và các phép toán 20

1.3.2 Một số kết quả cơ bản 21

1.3.3 Ma trận nghịch đảo của ma trận khối 22

1.3.4 Các dạng chéo hóa của ma trận khối 22

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHÉO HÓA MA TRẬN 33

2.1 Một số bài toán về chéo hóa ma trận và ma trận đối xứng 33

2.1.1 Bài toán chéo hóa ma trận 33

2.1.2 Bài toán chéo hóa ma trận đối xứng 38

2.2 Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối 43

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chéo hóa ma trận là một trong những kĩ thuật cơ bản về việc giải quyết các bài toán vật lý Phương pháp này có thể được thực hiện bằng cách biến đổi trực tiếp hoặc sử dụng máy tính để giải Chéo hóa giúp cho việc bắt đầu giải các bài toán và giải thích các hiện tượng vật lý một cách dễ hiểu, đơn giản hơn

Phương pháp chéo hóa ma trận được khám phá vào năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy Chéo hóa ma trận là một vấn đề lý thú và quan trọng của vật lý, được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực chuyên ngành khác nhau của vật lý cũng như toán học hiện đại Trong toán học thì không đi tìm hiểu sâu về ma trận đối xứng và

ma trận khối như trong vật lý Hai phương pháp chéo hóa này đều được ứng dụng nhiều để giải các bài toán vật lý trong các môn cơ học, điện học, cơ lượng tử… Thông qua chéo hóa ma trận mà việc giải quyết các bài toán trở nên đơn giản hơn Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết của bản thân về chéo hóa ma trận được áp dụng trong vật lý như thế nào và cũng là bước đầu giúp cho việc giải các

bài toán vật lý một cách đơn giản hơn, em lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về chéo

hóa ma trận trong vật lý” làm đề tài tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù cho bộ môn Tìm hiểu những kiến thức về chéo hóa ma trận

Mục tiêu chính của đề tài mà em chọn là một số bài toán về chéo hóa ma trận

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: ma trận

Phạm vi nghiên cứu: chéo hóa ma trận và tập trung chủ yếu đưa ra một số bài toán về chéo hóa ma trận trong vật lý

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở lí thuyết liên quan đến vấn đề chéo hóa

ma trận

Nghiên cứu phương pháp chéo hóa và một số bài toán chéo hóa ma trận trong

vật lý

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc, tra cứu tài liệu

Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của

khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lý thyết về ma trận và chéo hóa ma trận

1.1 Lý thuyết ma trận

1.2 Phương pháp chéo hóa ma trận

1.3 Chéo hóa ma trận khối

Chương 2 Một số bài toán chéo hóa ma trận

2.1 Một số bài toán về chéo hóa ma trận vuông và ma trận đối xứng

2.2 Một số bài toán về chéo hóa ma trận khối

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN VÀ CHÉO HÓA

MA TRẬN 1.1 Lý thuyết ma trận

Nếu gọi –A = [aij]m x n thì còn có A + (-A) = (-A) + A = 0

Nếu có thêm ma trận C với C = [cij]m x n thì (A + B) + C = A + (B + C)

1.1.4 Tích của hai ma trận

Cho ma trận A = (aij) và B = (bij) Ta gọi là tích của ma trận A với ma trận B một ma trận C = (cij) mà phần tử được xác định bởi: cik = ∑ , i = 1,…,m; k = 1,…,p và kí hiệu là C = A.B

1.1.5 Ma trận khả nghịch

Định nghĩa:

Ta gọi ma trận vuông A là ma trận khả nghịch (hay là ma trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông B Mat( n x n, K) sao cho A.B = B.A = En

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu B= A-1

Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2017

⃗⃗⃗= ∑ ⃗⃗⃗, j= 1, , n là ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sở (

Gọi ( + ( + lần lượt là các tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗ lần lượt đối với cơ

sở (e) và cơ sở ( thì ta có công thức đổi tọa độ từ cơ sở (e) sang cơ sở ( viết dưới dạng ma trận là:

Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0 nghĩa là aij = 0,

(

,

Ví dụ: Ma trận A= (

+

Nếu mọi phần tử của A nằm bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi

là ma trận tam giác dưới

(

+

1.1.12 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch

Định nghĩa: Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức

là A = AT, là ma trận đối xứng Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó,

i.e., A = −AT, thì A được gọi là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric matrix)

Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm ma trận

vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận

Ma trận Hermitian có thể hiểu như phần mở rộng phức tạp của các ma trận đối xứng

Nếu liên hợp ma trận chuyển vị của ma trận A được kí hiệu AH thì thuộc tính của ma trận Hermitian có thể được viết A = AH

b Tính chất

- Các phần tử trên đường chéo chính phải là số thực vì được tạo bởi liên hợp

phức tạp của nó

- Nếu một ma trận là ma trận hermitian nếu và chỉ nếu nó là một ma trận đối

xứng, tức là, nếu nó là đối xứng đối với đường chéo chính Một ma trận thực và ma trận đối xứng chỉ đơn giản là trường hợp của ma trận Hermitian

- Ma trận bậc n không tạo thành một không gian vectơ trên trường số phức

Tuy nhiên, ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian vectơ trên tập số thực R Trong không gian vectơ 2n2 chiều phức tạp của ma trận dạng n x n trên R,

ma trận Hermitian phức tạp tạo thành một không gian con kích thước n2 Nếu Ejk là

ma trận bậc n bởi n ma trận với một trong j, k vị trí và số 0 ở nơi khác, một cơ sở có thể được mô tả như sau: Ejj với

Ejk + Ekj với

Và ma trận: i( Ejk – Ekj) với

- Tổng của ma trận vuông và ma trận chuyển vị (C + CH là Hermitian

- Định thức của ma trận Hermitian

Det(A) = det (AT) => det(AH) = det(A)*

Nếu A= AH => det(A)= det(A)*

1.1.14 Ma trận trực giao

Định nghĩa:Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho

các cột và các hàng là những vectơ đơn vị trực giao(nghĩa là vectơ trực chuẩn)

Hay nói tương đương, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó: AT = A-1, mà

ATA = AAT = I với I là ma trận đơn vị

Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa A-1 = AT),

unita (A−1 = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*) Định thức của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng +1 hoặc −1 Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng +1

Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao đặc biệt thuần túy chính là phép quay, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng -1 thuần túy là phép phản xạ hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay Sự tương tự đối với ma trận phức của ma trận trực giao là ma trận unita

1.2 Phương pháp chéo hóa ma trận

Chéo hóa ma trận A cho trước là việc ta đi tìm một ma trận khả nghịch P (nếu có) để P-1AP là một ma trận chéo Làm thế nào để tìm ra ma trận P và ma trận P có tính chất gì đặc biệt phụ thuộc vào kiểu của ma trận A mà nó làm chéo hóa

Nếu A là ma trận bất kì, A không đối xứng thì P là ma trận có các vectơ cột là các vectơ riêng của A

Nếu A là ma trận đối xứng thì P là một ma trận trực giao, với các vectơ cột là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của A

Sau đây ta sẽ đi nghiên cứu hai dạng bài toán chéo hóa ma trận cơ bản sau:

1.2.1 Vấn đề chéo hóa ma trận

1.2.1.1 Đặt bài toán

Bài toán 1a Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, T: V V là một toán tử tuyến tính trong V Ta đã biết rằng ma trận của T phụ thuộc cơ sở chọn trong V Ta mong muốn có một cơ sở sao cho ma trận của T có dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn Hỏi có hay không một cơ sở trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo?

Bài toán 2a Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều có tích vô hướng,

T : V V là một toán tử tuyến tính trong V Hỏi có hay không một cơ sở trực giao trong V sao cho ma trận của T đối với cơ sở đó là ma trận chéo?

1.2.1.2 Cách giải

Giả sử A là ma trận của T đối với một cơ sở xác định nào đó trong V Ta xét một phép đổi cơ sở Theo định lí của ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép đổi cơ sở thì ma trận mới của T sẽ là P-1 AP trong đó P là ma trận đổi cơ sở

Vậy bài toán 1a tương đương với bài toán: Hỏi có tồn tại một phép đổi cơ sở

để cho ma trận mới của T đối với cơ sở mới là ma trận chéo?

Nếu V là một không gian có tích vô hướng và những cơ sở là trực chuẩn thì P

sẽ là trực giao

Vậy ta đã đưa hai bài toán 1a và 2a về những bài toán dạng ma trận:

Bài toán 1b (dạng ma trận) Cho một ma trận vuông A Hỏi có tồn tại hay không một ma trận P khả đảo sao cho P-1 AP là ma trận chéo?

Bài toán 2b (dạng ma trận) Cho một ma trận vuông A Hỏi có tồn tại hay không một ma trận trực giao P sao cho P-1 AP là ma trận chéo? (ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu AtA = I)

r 1 dòng

1.2.1.3 Ma trận chéo hóa được

a Định nghĩa: Cho ma trận vuông A Nếu tồn tại một ma trận khả đảo P sao

chéo hóa ma trận A

Nhƣ vậy A chéo hóa đƣợc nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo

Ta phải trả lời đƣợc hai câu hỏi:

1) Ma trận có điều kiện gì thì chéo hóa đƣợc

2) Ma trận P làm chéo hóa ma trận ấy xác định nhƣ thế nào?

b Định lý:

Ma trận A (R) chéo hóa đƣợc khi và chỉ khi hai tính chất sau đƣợc thỏa mãn:

1) Đa thức đặc trƣng ( ) = ( ( … (

2) Với mỗi trị riêng (1 không gian riêng V( ) có dim V( )= r1 (

= số bội của λ1 trong (λ))

Hơn nữa, khi đó gọi ℬi là cơ sở của V ) (1 ) và đặt A là ma trận có đƣợc bằng cách dựng lần lƣợt các vectơ trong ℬ1, ℬ2, …, ℬk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và

P-1 A.P=

(

)

c Hệ quả:

Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa đƣợc

1.2.1.4 Giải bài toán chéo hóa ma trận

Định lí 1: Giả sử A là ma trận vuông cấp n Điều kiện cần và đủ để A chéo

hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Khi đó P là ma trận chuyển từ

r 2 dòng

r k dòng

cơ sở chính tắc { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} của K n sang cơ sở gồm n vectơ riêng { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗} của

các trị riêng tương ứng λ1, λ2,…, λn và giả sử

Vậy phương trình AP = PD ở trên viết thành : P-1 AP = D

Vậy khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo hóa được Từ chứng minh của định lí trên ta đi đến:

1.2.1.5 Quy trình chéo hóa một ma trận

Bước 1: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A:

p1, p2, , pn

Bước 2: Lập ma trận p có p1, p2, , pn là các cột

liên tiếp, trong đó λi là trị riêng ứng pi, i = 1,2,3, …, n

Nên các trị riêng của A là λ=1 và λ=5 (bội của 2) Đồng thời các vectơ trị riêng [ ] và [ ] tạo nên cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=5,

còn [ ] là cơ sở cho không gian riêng ứng trị riêng λ=1 Dễ kiểm tra để thấy { } độc lập tuyến tính, do đó

[

]

Làm chéo hóa A:

[

] [

] [

] [ ]

{ Những nghiệm của hệ này là x1 = t, x2 = t Do đó không gian riêng gồm các vectơ

* + * +

Vì không gian này là một chiều, nên A không có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó không chéo hóa được

1.2.1.6 Chéo hóa ma trận có n trị riêng khác nhau

Định lí 2: Nếu ma trận A cấp n có n trị riêng khác nhau thì A chéo hóa được

Chứng minh: Dựa vào định lí 1, ta chỉ cần chứng minh rằng ma trận A có n

vectơ riêng độc lập tuyến tính Giả sử các trị riêng và vectơ riêng tương ứng của A

là λi và ui, i = 1, 2, 3, …, n Đặt S = { } và gọi r là hạng của S Ta đánh

số lại các vectơ riêng và trị riêng nếu cần để có r vectơ riêng đầu độc lập tuyến tính Nếu r < n thì { } là phụ thuộc tuyến tính:

Nhân hai vế với A và chú ý rằng Aui = λiui ta có

Ta suy ra:

Vì u1, u2, …, ur độc lập tuyến tính và vì λr+1 – λ1 λr+1 – λ2 , λr+1 – λr nên c1 = 0, c2 = 0, …, cr = 0 Vậy ur+1 = , điều đó trái giả thiết ur+1 là vectơ riêng Do đó r không thể nhỏ hơn n, nghĩa là có r = n Nói cách khác ma trận A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

1.2.1.7 Thuật toán chéo hóa ma trận

Cho A (R) Thuật toán khảo sát tính chéo hóa được của A và xác định

ma trận P là chéo hóa A cũng như dạng chéo của A ( trường hợp A chéo hóa được) gồm các bước như sau:

Bước 2: Tìm các trị riêng λ1 cùng các bội số r1 tương ứng (1

Bước 3: Với mỗi (1 tìm cơ sở ℬ1 và số chiều dim V( ) của các không gian riêng V( ):

 Nếu tồn tại (1 sao cho dim V( )< r1 thì A không chéo hóa được và thuật toán kết thúc

 Trường hợp ngược lại, ta có dim V( )= r1 với mọi (1 và A chéo hóa được và chuyển sang bước 4

Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong ℬ1,

ℬ2, …, ℬk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P-1 AP có dạng chéo

1.2.2 Vấn đề chéo hóa trực giao

 Khái niệm chéo hóa trực giao

Định nghĩa 1: Cho ma trận vuông A Nếu tồn tại ma trận trực giao P sao cho

làm chéo hóa trực giao ma trận A

Ta phải trả lời hai câu hỏi:

1) Những ma trận thế nào thì chéo hóa trực giao được?

2) Ma trận P thực hiện quá trình chéo hóa trực giao đó là ma trận nào?

b) Cho một cơ sở gồm n vectơ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} của không gian Euclid n chiều được gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1

〈 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗〉 {

1.2.2.2 Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt

Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ n vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ không chứa vectơ ⃗⃗, trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ này biểu diễn tuyến tính qua hệ đã cho

Giả sử có một cơ sở bất kì { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} của không gian Euclid n chiều E Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao ( { ⃗ ⃗ ⃗ } như sau:

Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong không gian vectơ

Euclid P4: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ta nhận đƣợc cơ sở trực giao { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗} của hệ { ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗} trong P4

Chuẩn hóa hệ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗} nhƣ sau:

1.2.2.3 Phương pháp chéo hóa trực giao

Định lí 1: Giải sử A là ma trận vuông cấp n Điều kiện cần và đủ để A chéo

hóa trực giao được là A có n vectơ riêng trực chuẩn

Chứng minh: Giả sử ma trận A làm chéo hóa trực giao đƣợc và tồn tại ma trận

trực giao P sao cho P-1AP = D là ma trận chéo mà n vectơ cột của P là các vectơ riêng của A.Vì P là ma trận trực giao nên theo định nghĩa các vectơ cột của P là hệ trực chuẩn, do đó A có n vectơ riêng trực chuẩn [p1, p2, …,pn]

Kí hiệu P = [p1, p2, …,pn] là ma trận vuông gồm các vectơ cột c1, … , cn

Ma trận P-1AP là ma trận chéo Ta đã chỉ ra đƣợc ma trận P nhận các vectơ riêng đó làm các cột sẽ chéo hóa ma trận A Vì những vectơ riêng này là trực chuẩn nên P là trực giao Vậy P chéo hóa trực giao A

1.2.2.4 Chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng

Định lí 2: Xét ma trận vuông A cấp n Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo

hóa trực giao được là A đối xứng

Chứng minh: Chứng minh định lí 1 chứng tỏ rằng một ma trận cấp n chéo hóa

trực giao đƣợc sẽ chéo hóa trực giao đƣợc bởi một ma trận P cấp n mà các cột đƣợc tạo nên bởi họ trực chuẩn các vectơ riêng của A Gọi D là ma trận

Vậy At = A, nghĩa là A là ma trận đối xứng

 Thêm một số tính chất của trị riêng của ma trận đối xứng

Vì ma trận đối xứng A chéo hóa trực giao đƣợc nên tồn tại ma trận trực giao P

để P-1

AP = D

Trong đó D là ma trận chéo các trị riêng A Vậy A và D có các trị riêng trùng nhau với cùng một số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng mỗi trị riêng Do đó có kết quả:

Định lí 3: Nếu ma trận vuông A đối xứng thì các vectơ riêng thuộc những

Chứng minh: Giả sử λ và µ là hai trị riêng khác nhau của A, đồng thời v thuộc

không gian riêng ứng λ và w thuộc không gian riêng ứng µ Ta có

= <v, Aw> = <v, µw> = µ<v, w>

Do đó: (λ - µ) <v, w> = 0

Nhưng theo giả thiết λ # µ nên đẳng thức này buộc <w, v> = 0, nghĩa là v và w trực giao theo tích vô hướng Euclid

Định lí 4: Nếu ma trận A đối xứng thì bội số hình học của mỗi trị riêng bằng

số bội đại số của nó, nghĩa là: nếu trị riêng λ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng của A thì ứng với λ có đủ m vectơ riêng độc lập tuyến tính, nói cách khác: không gian riêng ứng λ có số chiều đúng bằng m

1.2.2.5 Quy trình chéo hóa trực giao các ma trận đối xứng

Bước 1 Sử dụng các phương pháp tìm vectơ riêng - giá trị riêng để tìm ra các

giá trị riêng của A

Bước 2.Tìm một cơ sở trực chuẩn cho mỗi không gian riêng ứng với mỗi giá

trị riêng

a) Nếu bội mk = 1 thì lấy một vectơ bất kì tương ứng với λk rồi chuẩn hóa nó b) Nếu bội mk >1 thì ta có thể tìm cơ sở trực giao của không gian riêng tương ứng với λk bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Tìm một cơ sở của không gian riêng tương ứng với λk sau đó áp dụng quá trình chuẩn hóa Schmidt để được một cơ sở trực chuẩn

Cách 2: Từ công thức nghiệm của hệ (A – λk.En) X = 0 ta lấy một vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ nào đó chuẩn bằng 1, sau đó tìm một vectơ nghiệm ⃗⃗⃗⃗⃗ thỏa mãn:

{〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉

〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗〉

Tiếp tục quá trình như vậy sao cho vectơ nghiệm sau trực giao với vectơ nghiệm trước đó và có chuẩn bằng 1 Cuối cùng ta được cơ sở trực chuẩn của không gian riêng ứng với giá trị riêng λk ( Và ghép lại chúng ta được cơ

sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng

Bước 3 - Lập ma trận P mà các cột là các vectơ cơ sở xây dựng ở bước 2

- Lập ma trận chéo D có các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của A, còn các phần tử khác bằng 0 Ma trận P này sẽ làm chéo hóa trực giao

ma trận A

Ví dụ: Hãy tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận

[

Chuẩn hóa nó ta được: v3

[

]Cuối cùng lấy làm các cột cho P ta được

1.3 Chéo hóa ma trận khối

1.3.1 Khái niệm và các phép toán

 Định nghĩa Ma trận A được viết dưới dạng

 Phép toán trên ma trận khối

a Phép cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số: Nếu A, B là 2 ma trận

khối được phân chia các khối như nhau thì ta có thể cộng và nhân bình thường

b Phép nhân ma trận khối với ma trận khối:

Trong đó Aik, Bkj là các ma trận con nhân được với nhau (số cột của ma trận

Aik bằng với số dòng của ma trận Bkj), khi đó ma trận tích AB tồn tại, khối ma trận nằm ở “dòng” i, “cột j” của AB là: Ai1B1j + Ai2B2j + + AinBnj

, = ( )

,

Ví dụ 2: Một ma trận khối A = (Aij) được gọi là ma trận khối dạng tam giác nếu tất cả các khối trên đường chéo chính (nghĩa là các khối A11, A22, … đều là các

ma trận vuông và tất cả các khối về một phía của đường chéo chính đều bằng 0 Chứng minh rằng nếu A và B là hai ma trận khối với các phần tử trên đường chéo chính tương ứng cùng cấp và với các khối bằng 0 nằm về cùng phía của đường chéo chính (đều là phía trên, phía dưới) thì tích AB của chúng cũng là ma trận khối dạng tam giác với các khối trên đường chéo chính cùng cấp và các khối bằng 0 nằm về một phía của đường chéo chính như các ma trận thành phần A, B

) = det (A) det (C)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với A, B là hai ma trận vuông cấp n và

det(A Đặt M = ( ) Chứng minh rằng det (M)

) = 2n det (A – B) det (A+B) (đpcm)

b Biến đổi sơ cấp trên ma trận khối

Ngoài việc ta có thể biến đổi sơ cấp bình thường trên các khối dòng của ma trận, ta còn có thể biến đổi theo kiểu khác

Thông thường phép biến đổi được thực hiện chỉ với ma trận khối gồm 4 khối (

2 khối dòng, 2 khối cột)

1.3.3 Ma trận nghịch đảo của ma trận khối

Xét các ma trận Arr, Bss, Crs là các ma trận sao cho A, B khả nghịch, khi đó: + ( ) = ( )

Ma trận khối tam giác trên nếu C = 0

Ma trận khối tam giác dưới nếu B = 0

Ma trận chéo khối nếu B = 0 và C = 0

Trong tất cả các trường hợp, vectơ riêng của M bằng vectơ riêng của A hợp với vectơ riêng của D

PM( = PA( ) PD(λ)

+ Trường hợp đơn giản nhất: M = (

)

λI – M = ( )

Giải phương trình đặc trưng bằng cách tính det (λI – M) = 0

PM( = det (λI – M)= det (λI – A) det (λI – D) = PA( ) PD(λ)

Nếu A ⃗⃗ = λ ⃗⃗ thì M( ⃗⃗) = (

) ( ⃗⃗) = ( ⃗) = ( ⃗) Nếu D ⃗⃗ ⃗⃗ thì M( ⃗⃗* = ( ) ( ⃗⃗* = ( ⃗⃗* = ( ⃗⃗*

P = ( ⃗⃗

⃗⃗* ma trận P sẽ làm chéo hóa ma trận M

+ Ví dụ 1: Chéo hóa ma trận khối sau:

= ( )

+