SKKN sáng kiến kinh ngiệm hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về số phức

Số phức là một phần quantrọng trong chương trình toán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán họccho học sinh, được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và Đại học-Cao đẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Người thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2015

MỤC LỤC

Trang

người; Toán học còn là môn học công cụ để cho các em học tốt các môn họckhác.

Trang bị những kiến thức, phương pháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trítuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán nóichung và chương trình lớp 12 phần Số phức nói riêng Số phức là một phần quantrọng trong chương trình toán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán họccho học sinh, được áp dụng nhiều trong các kì thi Tốt nghiệp THPT và Đại học-Cao đẳng (nay là kì thi THPT quốc gia) nhưng thời lượng nội dung này rất ít vànội dung này mới được đưa vào chương trình phổ thông từ năm 2008 do đó họcsinh còn lúng túng khi trong việc phân dạng và lựa chọn phương pháp phù hợp

để giải các bài toán về số phức

Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinhyếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, Đại học-Cao đẳng, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bài toán về Số phức từ đơn giảnđến phức tạp và có phương pháp giải phù hợp để giúp cho mọi đối tượng họcsinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán Từ đó, tôi đã lựa chọn nghiên

cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về Số phức"

với mong muốn giúp học sinh của mình thấy dễ dàng hơn khi học phần Số phức

và có thêm tài liệu trong quá trình ôn thi kì thi THPT quốc gia Với kinhnghiệm, năng lực và thời gian nghiên cứu có hạn, tôi mong được sự góp ý củađồng nghiệp và hội đồng khoa học để đề tài hoàn thiện hơn

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

1 Thực trạng

Trên thực tế đã có rất nhiều năm trong các kì thi vào đại học cao đẳng, các

kì thi tốt nghiệp THPT đều có các bài toán về số phức trong bài thi Tuy nhiênsau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường THPTTriệu Sơn 2, tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành, phương pháp

tư duy, của một số học sinh về các bài toán về số phức còn yếu, do một sốnguyên nhân sau:

- Học sinh nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tập một cáchtích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nền tảng kiếnthức cũ

- Thời lượng dành cho nội dung số phức còn ít và lại xếp vào cuối chương trìnhGiải tích 12

- Số phức là một mảng kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông nêntài liệu tham khảo còn ít

2 Hiệu quả vấn đề

Các dạng toán này đã được tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh ở trườngTHPT Triệu Sơn 2 Tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh và khi các em gặpcác bài toán dạng này thì các em giải rất nhanh và thường đạt kết quả tốt.

III ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu

- Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về số phức và một

số bài tập có liên quan

- Đối tượng được áp dụng để thực hiện là học sinh lớp 12 của trường THPTTriệu Sơn 2 ở các lớp tôi phụ trách

2 Thời gian nghiên cứu: Nghiên cứu trong các năm học 2009-20010,

2010-2011, 2012-2013, 2014-2015

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu là sách giáo khoa và một số sách

tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ để có được hệ thống các kiến thức hoàn chỉnh

về số phức sau đó sắp xếp những kiến thức cần dùng theo một trình tự và logicmôn học Phân chia các bài toán thành các dạng để học sinh dễ vận dụng và nắmbắt phương pháp

- Nghiên cứu thực tế: Sau khi có được nghiên cứu lí thuyết có thể sử dụng sáng

kiến kinh nghiệm vào các giờ dạy tự chọn nâng cao và các buổi bồi dưỡng ôn thiđại học Thông qua đó đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu của học sinh kết quảcho thấy phương pháp này rất hiệu quả cho các em giải các bài toán phần này

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa số phức: Một số phức là một biểu thức dạng a + bi trong đó a và

b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 1 Kí hiệu: z = a + bi.

i: đơn vị ảo

a: phần thực

b: phần ảo

Chú ý:

- Số phức có phần ảo bằng 0 được gọi là số thực

- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

- Tập hợp các số phức được kí hiệu là 

2 Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z a bi  a b  , ,  z' a b i' '

a b   gọi là bằng nhau nếu: ', '  a a b b ',  ' Khi đó ta viết z z '

7 Phép trừ số phức: Hiệu của hai số phức z a bi  và z' a b i' '( , , ', 'a b a b   là tổng của z với -z', tức là ) z z ' a a' ( b b i ')

8 Phép nhân số phức: Tích của hai số phức z a bi  và z' a b i' '( , , ', 'a b a b   là số phức ) z z 'aa bb' ' ( ab a b i' ' )

9 Tổng và tích của hai số phức liên hợp: Cho số phức z a bi  ( ,a b )

Ta có

2

2

11 Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w

được gọi là một căn bậc hai của w.

12 Phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai Az2 Bz C 0, trong

đó A, B, C là những số phức và A ≠ 0 Xét biệt thức  B2  4AC

* Nếu  0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 , 2

cuối OM được gọi là một acgumen của z.

14 Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa: Dạng z = r(cos + i sin), trong đó r >0 được gọi là dạng lượng

giác của số phức z 0 Còn dạng z a bi  a b  được gọi là dạng đại số, 

của số phức z.

15 Công thức Moa-vrơ: [ (cosr isin )] n r n(cosn isinn)

Khi r = 1, ta có: (cosisin ) n cosnisinn

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Giải phương trình trên tập số phức

1.1 Phương trình bậc nhất, bậc hai và phương trình quy về bậc hai

Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Giải phương trình sau trên tập

(1)

3(1 ) (1 )

1 22

Đáp số: Vậy tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng toạ độ Oxy thỏa mãn

yêu cầu bài toán là 1 7;

4 3 (2 )

3 (t/m)2

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   0

Khi đó theo định lí Vi-et ta có 1 2

Chú ý: Bài này học sinh thường giải thiếu nghiệm m 3 8i vì xem m là số thực.

Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

Giải: Dễ thấy z = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho nên chia cả

hai vế của phương trình cho z2 ta được

2 2

Bài 8: Giải phương trình sau trên tập số phức z4  z3 6z2  4z16 0

z

 

Đáp số: 1 1 15 ; 2 1 15 ; 3 1 3 ; 4 1 3

z   i z   i z   i z   i

Bài 9: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:z2  z z  3 z2 10

Giải: Gọi nghiệm thực của phương trình (1) là a, ta có

Do đó (2) z 2 i z,  3 2 i

Đáp số: phương trình (1) có 3 nghiệm z 2,z 2 i z,  3 2 i

1.2 Tìm số phức z bằng cách giả sử z = a + bi

Bài toán: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình (1).

Ta thường thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử z a bi  (a, b )

z z z

Hướng dẫn: Giả sử z a bi  (a, b )

Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2010) Tìm số phức z thỏa mãn:

Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1 3 ) 2

1

iz i z

z i

2 Môđun của số phức z: z  a2 b2, z z , z z z2

z OM  a b , với M là điểm biểu diễn z và O là gốc tọa độ.

Bài 1: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn

Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho số phức z thoả mãn

Bài 10:(Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức2

của phương trình z2 2z10 0. Tính giá trị của biểu thức Az12  z2 2

0

3

33

a b

a

b a b

b b

3 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả

mãn điều kiện cho trước.

Cách giải: Giả sử z x yi  , x y,  

Từ điều kiện của bài toán, tìm mối quan hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp các

số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán.

3.1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng

Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn điều kiện sau z i  z 2

Giải: Giả sử z x yi  , x y,  

Theo bài ra z i  z 2  x yi i   x yi 2  x(y1)i  x 2 yi

Bài 2: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn từng điều kiện 1

2

z i z

Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là

phần đường thẳng có phương trình y  3x với x 0

3.2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường tròn

Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2010) Trên mặt phẳng phức, hãy tìm

tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn z i (1i z)

Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Trong mặt phẳng toạ độ phức,

tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z (3 4 ) i 2

Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là

đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R=2

Bài 3: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn từng điều kiện sau

a) z 1 3i 5 b) (2 z i z)(  ) là số ảo

Đáp số: a) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán

là đường tròn tâm I(1; -3) bán kính R = 5.

b) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đườngtròn tâm 1;1

3.3 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một hình tròn

Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn từng điều kiện sau

3.4 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường cônic

Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn điều kiện z z 2i 2

Bài 2: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thoả mãn điều kiện z 3  z3 10

phức z, -3, 3 Dễ thấy: F M 1

biểu diễn số phức z ( 3) z 3, F M2 biểu diễn sốphức z  3.Với F F nằm trên trục thực Ox.1, 2

Khi đó điều kiện z 3  z3 10  MF2 MF1 10 và F F 1 2 6

Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) có trục lớn bằng 10 và trục bé bằng 8, phương trình của elip (E) là

4.1 Tập hợp A là một đường thẳng

Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường chỉ yêu cầu tìm số phức có

môđun nhỏ nhất do đó ta cần tìm điểm M ( )A sao cho đoạn OM ngắn nhất.

Ta có các cách để tìm điểm M:

Cách 1: M là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng biểu thị tập A.

Cách 2: Từ phương trình đường thẳng biểu thị tập A rút y theo x (hoặc rút x

theo y) rồi thay vào công thức tính OM và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 vừa có được.

Bài 1: (Minh họa cho cách 1) Biết rằng số phức z thoả mãn

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z Mà z OM nên z nhỏ nhất  M là

hình chiếu của O lên đường thẳng  Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc

Bài 2: (Minh họa cho cách 2) Biết rằng số phức z thoả mãn 2 3 1

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z để u   là đường thẳng  : 3x y  1 0

Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z x yi  Do M   nên M x x ( ;3 1)

z   z  i

Bài 3: Cho số phức z thoả mãn 1 1

Chú ý: Trong trường hợp này bài toán thường yêu cầu tìm số phức có môđun

nhỏ nhất và số phức có môđun lớn nhất, do đó ta cần tìm điểm M N, ( )A sao cho đoạn OM ngắn nhất và đoạn ON dài nhất Ta có các cách để tìm các điểm

M, N:

Cách 1: M, N là giao của đường thẳng OI với đường tròn biểu thị tập A (I là

tâm đường tròn biểu thị tập A).

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki.

Cách 3: Lượng giác hóa.

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 1 (1)

Điểm M(x; y) biểu diễn số phức z có môđun nhỏ nhất ( hoặc môđun lớn

nhất) là một trong các giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn (C) sao cho

độ dài đoạn OM nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất).

Dễ thấy phương trình đường thẳng OI: y = 2x.

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

1

2 2

5 Dạng lượng giác của số phức

1 Tìm r  a2 b2 = OM (M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z).

2 Tìm ( là một acgumen của z);  là số thực sao cho cos a

r

r

  .

Và  là số đo của góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM.

Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức2

của phương trình z2  2 3iz 4 0 viết dạng lượng giác của z và 1 z 2

Bài 3: Cho số phức z 1 i 3. Hãy viết số phức z n dưới dạng lượng giác biết

rằng n  và thỏa mãn: 2 log3 2 2 6  2 log 5 3

Bài 5: Giải phương trình sau trên tập số phức z2  z 106 120 i (1)

Giải: Giả sử z r (cosisin ) (r > 0)

1312sin

1312sin

Bài 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z2   z 2 4 3i số phức nào có

một acgument bằng

3



Giải: Giả sử z a bi  (a, b ) Ta có z2   z 2 4 3i ab 3 (1)

sin

a a

Bài 7: Cho z z là các nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2  2z 4 0

Tính giá trị của biểu thức  1 2010  2 2010

1 Kết quả nghiên cứu

Tôi đã sử dụng những kiến thức trên vào giảng dạy cho các lớp 12C9 và12C6 năm học 2009-2010, 12A7 và 12A10 năm học 2010-2011, 12C4 năm học2012-2013, 12B1 năm học 2014-2015 (Trường THPT Triệu Sơn 2) Đa số các

em đã tiếp thu và vận dụng tốt trong việc giải các bài tập Các em đã cảm thấy tựtin vì đã nắm được vấn đề và chìa khoá để giải quyết vấn đề

2 Kiến nghị, đề xuất

Qua quá trình giảng dạy, tôi có đề nghị với các cấp quản lí tạo điều kiệncho giáo viên có các buổi hội thảo, sinh hoạt chuyên môn về đổi mới phươngpháp, trao đổi chuyên môn và kinh nghiệm, thảo luận về các vấn đề còn vướngmắc

Vì kinh nghiệm, năng lực có hạn và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nêntrong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chưa thể nêu hết các vấn đề, rất mong sựđóng góp của đồng nghiệp và hội đồng khoa học để đề tài được hoàn chỉnh và

áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả cao

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 20 tháng 05 năm 2015

CAM KẾT KHÔNG COPY

Lê Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục

2 Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục

3 Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất bản giáo dục

4 Bài tập Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất bản giáo dục