Thời gian 150 phút
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= − +x3 3x2−2
2.Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng y mx= −2cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt
Câu II (3,0 điểm )
1 Giải bất phương trình 2
3
log (x+1) <2
2 Tính tích phân 3
3 0
sinx cos
x
π
=∫
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=xe−xtrên đoạn [ ]0; 2
Câu III (1,0 điểm )
Cho hình chóp S ABC. có đáy ABClà tam giác đều, các cạnh bên đều bằng a, góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng 300 Tính thể tích khối chópS ABC. theo a
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm )
1.Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a (2,0 điểm ).
Trong không gian Oxyzcho điểm Ađược xác định bởi hệ thức OA uuur r r = + + i 2 3 j k rvà đường thẳng d
có phương trình tham số 1
2
x t
=
= +
= −
(t∈¡ )
1.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P đi quaA và vuông góc với đường thẳng d 2.Tính khoảng cách từ điểm Ađến đường thẳng d
Câu V.a (1,0 điểm )
Tìm mô đun của số phức 2 17
1 4
z
i
= + +
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu IV.b (2,0 điểm ).
Trong không gian Oxyzcho điểm Ađược xác định bởi hệ thức OAuuur r= +i 2r rj k+ và mặt phẳng ( )P có phương trình tổng quát x−2y+ + =3z 12 0
1.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua Avà vuông góc với mặt phẳng ( )P
2.Tính khoảng cách giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ( )P
Câu V.b (1,0 điểm )
Cho số phức 5 3 3
1 2 3
i z
i
+
=
− Tínhz12
Trang 2-Hết -ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
Câu I
Sự biến thiên:
2
y = − x + x
0 y'=0
2
x x
=
Giới hạn :xlim→+∞y= −∞, limx→−∞y= +∞ 0,25 Bảng biến thiên:
0,5
Hàm số đồng biến trên khoảng(0; 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0),(2;+∞) Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = y(2) = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = -2
0,25
Đồ thị Giao điểm của ( )C với các trục toạ độ (0;-2),(1;0)
Đồ thị ( )C nhận điểm I(1;0) làm tâm đối xứng
0,5
x y’
y
2 CT
CĐ +∞
-∞
2
Trang 3x x x m
2
0
x
=
⇔ − + =
Đường thẳng y mx= −2cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt
⇔Phương trình x2− + =3x m 0có 2nghiệm phân biệt, khác 0
0,25
2
9 4 0
m m
∆ = − >
⇔ − + ≠
0,25
9 0
4
m
Câu II
(3 điểm ) 1 (1,0 điểm )Bất phương trình đã cho tương đương với hệ bất phương trình
2
( 1) 0 ( 1) 3
x x
+ >
+ <
0,25
2
1
2 8 0
x
≠ −
⇔ + − <
1
x x
≠ −
⇔ − < <
4 x 1
⇔ − < < − hoặc − < <1 x 2 0,25 2.(1,0 điểm )
Đặt t c= osx⇒dt=-sinxdt⇒sinxdx=-dt 0,25
Do đó
3 3
1
I dt t dt t
−
=∫ =∫
1
1 2 2
1
2t
= −
0,25
3
2
3 (1,0 điểm ) '( ) x x x(1 )
[ ]
'( ) 0 1 0; 2
Trang 42 1
(0) 0, (2) 2 , (1)
f = f = e− f =e−
0,25 Suy ra maxf(x)=ex∈[ ]0;2 -1tại x= 1; min f(x)=0x∈[ ]0;2 tại x= 0 0,25
Câu III
(1điểm) Gọi Olà tâm của tam giác đều ABC,gọi Hlà trung điểm của BC
Vì SA SB SC a= = = nên SO (ABC)⊥
Do đó SAO· =300, sin 300
2
a
SO SA= = ,
3 2
a
AH = AO= =
Vì ABClà tam giác đều nên 3
2
a
BC=
0,5
Diện tích đáy 1 1 3 3 3 9 3 2
ABC
Do đó thể tích khối chóp S ABC là . 1 1 9 3 2 3 3 3
S ABC ABC
Câu IVa
(2,0 điểm) 1 (1,0 điểm)Vì ( )P ⊥d nên ( )P có một vectơ pháp tuyến nr=(1;1; 1)− 0,25
( )P đi qua A(1; 2;3)và có vectơ pháp tuyến nr=(1;1; 1)− nên có phương trình:
0
x y z
2 (1,0 điểm ) Gọi M = ∩d ( )P Suy ra ( ; ; )1 4 5
3 3 3
Do đó ( , ) 2 6
3
Câu Va
(1,0 điểm)
17(1 4 ) 17(1 4 )
(1 4 )(1 4 ) 1 4
Trang 5Vì d ⊥( )P nên dcó một vectơ chỉ phương a= −(1; 2;3)
0,5 Đường thẳngdđi qua A(1; 2;1) có phương trình chính tắc dạng:
x− = z− = z−
−
0,5
2 (1,0 điểm ) Đường thẳngOAđi qua A(1; 2;1)và có vectơ chỉ phương u OAr uuur= =(1; 2;1) Mặt phẳng( )P có vectơ pháp tuyến nr= −(1; 2;3)
0,25
Ta có
( )
u n
A P
⊥
∉
r r
(vì u nr r =0và 1 2.2 3.1 12 0− + + ≠ ) Suy ra OA P//( )
0,25
0,25
Do đó ( ,( )) ( ,( )) 6 14
7
Ta có (5 3 3 )(1 2 3 ) 213 13 32 1 3
(1 2 3 )(1 2 3 ) 1 (2 3)
0,25
2 i 2
= − +
2(cos sin )
Suy ra z12=2 (cos812 π +isin 8 ) 2π = 12=4096 0,5
