Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Xét thấy dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá quan trọng trong chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

- Lý do về mặt lý luận

Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế

hệ học sinh trở thành những người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu của thời đại

Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như trong phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng

Là một giáo viên cấp trung học cơ sở, tôi luôn ý thức được trách nhiệm của bản thân cũng như tầm quan trọng của môn học mình đảm nhiệm Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy đây là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp học sinh trở thành con người mới chủ nghĩa xã hội Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho học sinh học tốt các môn học khác Vì vậy, dưới góc độ là một giáo viên dạy Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững đối với từng dạng toán là rất cần thiết

- Lý do về mặt thực tiễn

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 8, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải những sai lầm khi thực hiện bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với những học sinh trung bình, học sinh yếu, từ đó các

em cũng gặp không ít khó khăn trong việc giải những bài toán ứng dụng có liên quan Ngược lại, đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập Xét thấy dạng toán Phân tích

đa thức thành nhân tử có vị trí khá quan trọng trong chương trình Đại số 8, việc

nắm vững dạng toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán

khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp các phương pháp Do đó, khi gặp những bài tập phức tạp thì các phương

pháp này chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán, chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi, học tập đối với những học

sinh khá giỏi Chính vì lí do đó, nên tôi chọn để tài: " Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá quan trọng trong chương

trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong

việc giải các bài toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa chỉ giới thiệu một

số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp các phương pháp Do đó, khi gặp những bài

tập phức tạp thì các phương pháp này chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán, chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi, học tập đối với những học sinh khá giỏi

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 8 trường THCS …… - Lục Ngạn - Bắc Giang

4 Giả thuyết khoa học

Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiªn cøu c¬ së lý luËn vÒ ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

6 Phạm vi nghiên cứu

Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình SGK, SBT Toán 8 hiện hành và một số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp) ở sách tham khảo cùng một số bài tập ứng dụng có liên quan

7 Phương pháp nghiên cứu

- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn: nghiªn cøu s¸ch b¸o, t¹p chÝ, c¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu cã liªn quan

- Ph¬ng ph¸p ®iÒu tra quan s¸t

- Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm

8 Cấu trúc của đề tài

Chương I Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

Chương II Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Chương III Đề xuất một số biện pháp thực hiện

a Phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường:

a.1 Phương pháp đặt nhân tử chung a.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức a.3 Phương pháp nhóm hạng tử

b Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác

b.1 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử b.2 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

b.3 Phương pháp đặt ẩn phụ b.4 Phương pháp dùng hệ số bất định

Chương I Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chĩng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, sau đĩ nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương pháp nâng cao để phân tích, đĩ là:

1) Phương pháp đặt nhân tử chung

2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

4) Phối hợp các phương pháp cơ bản

5) Phương pháp tìm mghiệm của đa thức

6) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

7) Phương pháp tách hạng tử

8) Phương pháp đặt biến phụ

9) Phương pháp hệ số bất định

Chương II Thực trạng vấn đề nghiên cứu

Qua nhiều năm giảng dạy bộ mơn Tốn 8, tơi nhận thấy rất nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải những sai lầm khi thực hiện bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với những học sinh trung bình, học sinh yếu, từ đĩ các

em cũng gặp khơng ít khĩ khăn trong việc giải những bài tốn ứng dụng cĩ liên quan Ngược lại, đối với học sinh khá, giỏi thì bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập Xét thấy dạng tốn

Phân tích đa thức thành nhân tử cĩ vị trí khá quan trọng trong chương trình Đại

số 8, việc nắm vững dạng tốn này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải

các bài tốn khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x,

Chương III Đề xuất một số biện pháp thực hiện

Trong phạm vi những kinh nghiệm này, tơi tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:

a Phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thơng thường:

Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương pháp phân tích, do đĩ học sinh gặp khơng ít khĩ khăn để nắm vững được phương pháp Chính vì vậy cần cĩ một cách khái quát cho từng phương pháp phân tích và những điểm lưu ý dễ gặp sai sĩt trong quá trình phân tích

a.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử,

ta đi xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đĩ:

A + B = C.A 1 + C.A 2 = C.(A 1 + A 2 ) Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x)

b/ 10x – 5y = 5(2x – y)

c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y)

d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3)

= (x – 3)(2x + 5)

Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử chung của hai hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng Tuy nhiên ở ví dụ b, một số học sinh khẳng định là không có nhân tử chung nào (vì

x  y) do chỉ chú trọng quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh gặp khá khó khăn khi không hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa thức (x – 1) Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm khi chọn nhân tử chung là x – 3 Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân

tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu ý những trường hợp thường mắc sai sót này

Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A = -(-A)

a.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

2 2

2 2

A B A AB B

A B A AB B

A B A B A B

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

A B A A B AB B

A B A A B AB B

A B A B A AB B

A B A B A AB B

(Với A, B là hai biểu thức khác 0)

Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề bài cho sẽ có dạng ở vế phải các hằng đẳng thức: bình phương một tổng, một hiệu; lập phương một tổng, một hiệu hoặc cho vế trái của các hằng đẳng thức còn lại Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi theo hai hướng:

*Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức.

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2

b/ x2 – 5 = (x + 5)(x - 5)

c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2

= (x – y – x – y)2

= (-2y)2 = 4y2

Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức Thế như, nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, học sinh sẽ gặp

khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (5) chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5)2), ở ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn khi viết 27x3 = (3x)3 Riêng đối với ví dụ d, học sinh sẽ khó nhận dạng được hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh chưa hình dung nhận diện được

*Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc

xuất hiện hằng đẳng thức mới

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)

= 4(a + b) [x(a – b) + 2]

= 4(a + b) (ax – bx + 2)

b/ x2 - 2xy + y2 – z2 = (x2 - 2xy + y2) – z2

= (x – y)2 – z2

= (x – y – z)(x – y + z)

Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp cũng góp phần thuận lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử

a.3 Phương pháp nhóm hạng tử

Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng nhất là tạo ra được nhân tử chung Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết Tuy nhiên, đối với phương pháp này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ “ – ”

Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:

“Cho đa thức

A + B + C + D (A,B,C,D là các biểu thức) Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung nào thì hãy thử với (A + B) và (C + D) hoặc các phép giao hoán khác Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”.

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)

= x(x + y) – 3(x + y)

= (x + y)(x – 3)

b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz)

=2y(x + 3) + z(3 + x)

=(x + 3)(2y + z)

c/ x2 – x – y2 – y =( x2 – y2 ) – (x + y)

= (x + y) (x – y) – (x +y)

=(x + y) (x – y – 1)

Các ví dụ trên mặc dù ở mức độ không khó lắm, chỉ cần nhóm hợp lí và áp dụng được phương pháp đặc nhân tử chung và hằng đẳng thức thì dễ dàng thực hiện được Tuy nhiên ở ví dụ câu a và c nếu không để ý về dấu thì học sinh sẽ mắc sai lầm khi nhóm hạng tử đằng trước dấu ngoặc là dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu những hạng tử trong ngoặc Đây là một sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải

Ngoài ra có một số bài toán phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử

mà chúng ta không thể áp dụng trình tự những phương pháp đã biết, đòi hỏi tư duy linh hoạt của học sinh để biến đổi đa thức một vài bước, sau đó mới áp dụng các phương pháp đã biết để phân tích Chẳng hạn bài tập ở ví dụ sau đây :

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) Đối với đa thức dạng này phương pháp chung là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng tử thứ ba Do đó, ta có thể khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b:

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

= b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)

= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b)

= c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b)

= c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b)

= (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b)

= (a + b)(cb – ca + c2 – ab)

= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)]

= (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]

= (a + b)(b + c)(c – a)

Với cách làm đó, ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung là c – a hoặc riêng đối với bài tập này, ta có thể hướng dẫn như sau:

Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có:

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

= bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b)

= bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b)

= [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)]

= (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab)

= c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a)

= (a + b)(b + c)(c – a)

Đây là dạng bài tập khá thú vị nhưng cũng không ít phức tạp ta chỉ nên giới thiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao sự hiểu biết và kích thích tính tích cực của các em

Nhìn chung, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào thì cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai

phương pháp này (đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức).

Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì chỉ thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với những học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em dễ nhàm chán Mặt khác, có những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà những phương pháp trên chúng ta chưa thể áp dụng để phân tích được ngay Vì lí do đó nên chúng ta có thể giới thiệu thêm cho các em một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp các em có điều kiện tìm hiểu tốt dạng toán này

b Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác

b.1 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết

Ví dụ 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 + 4x + 3 b/ x2 – 7x + 12 Đối với ví dụ a, ta có thể làm theo một số cách sau:

*Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3

= (x2 + x) + (3x + 3)

= x(x + 1) + 3(x + 1)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2

Ta có x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3

= (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)

= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1)

= 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)

= (x + 1)(4x – 3x + 3)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 3: Tách hạng tử 3 = 4 – 1

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1

= (x2 – 1) + (4x + 4)

= (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x – 1 + 4)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 4: Tách hạng tử 3 = 4 – 1 để tạo hằng đẳng thức

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2.x + 22 – 1

= (x + 2)2 – 1

= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1)

= (x + 1)(x + 3)

Tương tự như câu a, câu b chúng ta cũng có một số cách làm sau:

*Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12

= (x2 – 4x) – (3x – 12)

= x(x – 4) – 3(x – 4)

= (x – 4)(x – 3)

*Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – 9

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – 9

= (x2 – 9) – (7x – 21)

= (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3)

= (x – 3)(x + 3 – 7)

= (x – 3)(x – 4)

Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16

= (x2 – 16) – (7x – 28)

= (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4)

= (x – 4)(x + 4 – 7)

= (x – 4)(x – 3)

Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x và 12 = 9 + 3

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + 9 – x + 3

= (x2 – 6x + 9) – (x – 3)

= (x – 3)2 – (x – 3)

= (x – 3)(x – 3 – 1)

= (x – 4)(x – 3)

Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x và 12 = 16 – 4

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – 4

= (x2 – 8x + 16) + (x – 4)

= (x – 4)2 + (x – 4)

= (x – 4)(x – 4 + 1)

= (x – 4)(x – 3)

Với hai câu của ví dụ vừa nêu, khi phân tích các đa thức này thành nhân tử có nhiều lời giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh có thể lựa chọn cách nào phù hợp với trình độ năng lực của mình nhất

Thông qua các bài tập dạng này, giáo viên cần tổng kết cho học sinh thấy được nhiều cách tách hạng tử nhưng trong đó có hai cách tách thông dụng nhất đó là:

+Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau:

(mx + n)(px + q) = mpx 2 + (mq + np)x + nq Như vậy đa thức ax 2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b 1 + b 2 sao cho b 1 b 2 = ac.

+Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử (c = c 1 + c 2 ) như trong ví dụ vừa nêu

Tuy nhiên có nhiều đa thức khi phân tích ta không áp dụng được hai cách vừa nêu, vì thế phương pháp tách tách hạng tử được mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử trong đa thức Để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x3 – 2x – 4 = x3 – 2x – 8 + 4

= (x3 – 8) – (2x – 4)

= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2)

= (x – 2)(x2 + 2x + 4 – 2)

= (x – 2)(x2+ 2x + 2)

b/ x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10

= (x3 + x2) + (7x2 + 7x) + (10x + 10)

= x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 7x + 10)

= (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10)

= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]

= (x + 1)(x + 2)(x + 5)

b.2 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng tử Đối với những đa thức dạng này

ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết

Ví dụ 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 ( ta đã thêm, bớt hạng tử 4x2)

= (x4 + 4x2 + 4) – 4x2

= [(x2)2 + 2.x.2 + 22] – (2x)2

= (x2 + 2)2 – (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x)

= (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)

Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử được mở rộng tự nhiên khi cần thêm, bớt nhiều hạng tử, để minh họa chúng ta xem ví dụ sau đây :

Ví dụ 9 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1

= (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 – x + 1)

Ta đã thêm, bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức đã cho

b/ x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3– x3+ x2– x2 + x + 1

= (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1

= x3(x2 + x + 1) – x2(x2+ x + 1) + (x2+ x + 1)

= (x2+ x + 1)(x3– x2 + 1)

Ta đã thêm, bớt các hạng tử x4, x3, x2 vào đa thức đã cho

Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng:

x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + 1

Các đa thức này đều có dạng: xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2

b.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp này thường áp dụng đối với những đa thức có dạng A(x).B(x) +

C Trong đó A(x), B(x) có thể biểu diễn được qua nhau Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

Đặt x2 + x + 1 = y  x2 + x + 2 = y + 1

Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12

= y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 3 + 1) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 ta được :

(y – 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 5)

= (x2 – 1 + x – 1)(x2 + x + 5)

= [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)

= (x – 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)

Ở ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x Cuối cùng ta lại tiếp tục phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử

b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2

Với đa thức đã cho nếu chúng ta để nguyên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm :

4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2

= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2

Đặt : x2 + xy + xz = m

Ta có : 4m(m + yz) + y2z2

= 4m2 + 4myz + y2z2

= (2m + yz)2

Thay m = x2 + xy + xz ta được :

(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

b.4 Phương pháp dùng hệ số bất định

Cơ sở của phương pháp này là : Hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

Ví dụ 11 : Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức : một đa thức bậc

nhất, một đa thức bậc hai

x3 – 19x – 30

Ta có kết quả phân tích có dạng :

x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c)

= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac

Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn:

a + b = 0

c + ab = -19

ac = -30

Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15;

30}