Phương pháp dạy và học chuyên đề tỉ lệ thức-dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung kiến thức toán học được trang bịcho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinhphương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lý do chọn đề tài

- Về lý luận:

Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng vàphát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trìnhdạy học là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụngkiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bịcho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinhphương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòihỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận.Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vàogiải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đónâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận củahọc sinh

-Về thực tiễn:

Các bài toán “Về tỉ lệ thức- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau” có một vị trí quan trọngtrong chương trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng những tính chất của tỉ lệ thức,tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải quyết hàng loạt các bài toán ở lớp 7 cũng như trongchương trình toán 8

Các bài toán “Về tỉ lệ thức- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau” rất phong phú đa dạng,

nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu họcsinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy.Chính vì vậy bài toán nàythường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 7

Qua một số năm giảng dạy toán THCS được giao công tác bồi dưỡng học sinh lớp 7 tôi rất quan tâm vấn đề này chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài

“Phương pháp dạy và học chuyên đề tỉ lệ thức-dãy tỉ số bằng nhau”

2- Mục đích nghiên cứu:

- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau :+ Giúp giáo viên toán quan tâm hơn đến tỉ lệ thức- tính chất dãy tỉ số bằng nhau

+ Giúp giáo viên toán nói chung và GV dạy toán 7 nói riêng có thêm thông tin về tỉ lệthức- tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối

ưu khi áp dụng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong quá trình giảng dạy toán

+ Giúp học sinh có thêm tài liệu về mảng toán “tỉ lệ thức- tính chất dãy tỉ số bằngnhau’’ trong quá trình học toán và trành được một số sai lầm khi làm bài tập về tỉ lệ thức + Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo

3- Khách thể và đối tượng nghiên cứu.

a Khách thể: Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh trường THCS Trần Hưng Đạo về

“Phương pháp dạy và học chuyên đề tỉ lệ thức-dãy tỉ số bằng nhau trong môn toán 7 "

b, Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 7B,C,D Trường THCS Trần Hưng Đạo 4- Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu về “Phương pháp dạy và học chuyên đề tỉ lệ thức-dãy tỉ số bằng nhau trong môn toán 7 "trong trường THCS Trần Hưng Đạo

- Hệ thông hoá một số bài toán về tỉ lệ thức- dãy tỉ số bằng nhau cơ bản, nâng cao thường hay gặp trong chương trình toán 7

- Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

5- Phạm vi nghiên cứu.

- Phân tích cơ sở lý luận của tỉ lệ thức- dãy tỉ số bằng nhau

- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 7, sách nâng cao

- Các đề thi học kì, học sinh giỏi lớp 7

6- Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp tổng hợp và phân tích các bài toán về tỉ lệ thức- dãy tỉ số bằng nhau

- Phương pháp quan sát sư phạm Tôi đã tiến hành quan sát các tiết học, ứng dụng cácphương pháp dạy học Làm cơ sở thực tiễn xác định những điểm mạnh yếu của từngbài để đạt hiệu quả dạy và học hơn

- Phương pháp phỏng vấn, toạ đàm Tôi đã kết hợp phiếu hỏi và phỏng vấn trực tiếpcác đồng nghiệp và học sinh trong mỗi tiết học

7- Cấu trúc đề tài.

Phần 1: Đặt vấn đề.

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

5 Phạm vi nghiên cứu

6 Phương pháp nghiên cứu

7 Cấu trúc đề tài.

Phần 2: Nội dung

1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu

2 Một số dạng bài tập và phương pháp giải

3 Những sai lầm thường hay mắc phải

a) Định nghĩa:Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b a d c

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

* Tính chất 1: Nếu a c

b d thì ad = bc

* Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

a

b c

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a

d b

c a d b

c a d

c b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)3.Chú ý: Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b a



 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũngviết a:b:c = 2:3:5

Chương 2: Một số dạng bài tập và phương pháp giải.

Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ

BẰNG NHAU 1.Tìm một số hạng chưa biết

a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu a c a d b c a b c. ;b a d. ;c a d.

b d     d  c  b

* Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìmtrung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

Xét bài toán cơ bản (*):

Tìm các số x, y, z thoả mãn : x y z

ab c (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Từ đó suy ra x,y,z và đưa ra kết luận.

Khai thác dạng bài tập cơ bản (*) ta có một số bài toán sau:

a) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2):

Bài toán 1: Tìm x,y,z biết x y z

*Nhận xét: Với dạng toán mà điều kiện thứ 2 ở dạng tích hoặc dạng lũy thừa như bài toán

2 và bài toán 3 thì có thể hướng dẫn học sinh theo một trong hai cách:

C1: Đặt giá trị riêng là k

C2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Nhưng trong quá trình giảng dạy để tránh tình trạng học sinh vận dụng sai tính chấthoặc kết luận giá trị x,y,z bị nhầm thì nên hướng dẫn học sinh theo cách đặt giá trị riêng

b) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) ta có một số bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm x,y,z biết

2 3 2 4 ta đưa về cùng mẫu với biến y ta được

HD: Từ giả thiết a x a y a y a z2  1 ; 4  3 ta áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta suy ra

;

a a a a và làm như bài toán 1

VD: Tìm x,y, z biết 3x=2y; 3y= 2z và x +y +z = 27

HD: Từ giả thiết 3x=2y; 3y= 2z ta suy ra x y y; z

2 3 2 4 và ta làm như ví dụ trong bài toán 1

Bài tập củng cố:

1) Tìm x, y, z biết:4x 3y ;7y 5z và 2x 3y z  6

2) Tìm 3 số x,y,z biết rằng 2x = 3y; 5y=7z và 3x – 7y +5z = 30

(Trích đề thi HSG toán 7-Yên thế 2007- 2008)

Bài toán 3: Tìm x,y,z biết b x b y b z1  2  3 và x +y + z =d

HD: Từ giả thiết b x b y b z1  2  3 ta rút ta tỉ số bằng nhau bằng cách chia tất cả các tích nàycho BCNN(b1; b2;b3)

*Nhận xét: Với bài toán dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách nhân thêm vào

các tỉ số để xuất hiện các hạng tử x,y,z ở các tử số là các số đối nhau Thông thường nhânthêm cả tử và mẫu với mẫu số của các tỷ số tương ứng

(Trích đề thi HSG Hiệp hòa - 2013-2014)

2) Tìm x,y,z biết 9y2x8z 4z3y6x 4x4z3y và 2x +3y – z = 2016

Bài toán 5: Tìm x,y,z biết 1 2 2 3 3

tìm k rồi suy ra x,y,z

*Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau tìm ra x = 6; y= 9; z = 12

c) Khai thác tiếp bài toán cơ bản (*) nhưng thay đổi cả hai điều kiện (1) và (2) ta có một số bài toán sau:

Bài 1: Tìm x,y,z biết:

a) 2x = 3y = 5z và =95 b) x y 32 ; 5

7

y

z  và 2x 3y5z 1

*Nhận xét: Với bài tập này khi đưa ra thì từ giả thiết thứ nhất học sinh rút ra được các tỉ số

bằng nhau Một số em lựa chọn áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng xét hai trường

hợp Nhưng với dạng bài tập này giáo viên nên định hướng cho học sinh sử dụng phươngpháp đặt giá trị riêng (k)

5 77

y

y z y

*Nhận xét: Bài toán này trong quá trình cho học sinh làm một số em đi áp dụng tính chất

dãy tỉ số bằng nhau cho cả 3 tỉ số sẽ không ra được, một số em rút ra làm 2 tỉ lệ thức vận dụng tính chất tỉ lệ thức tích chéo thì cùng làm ra xong lời giải quá dài

Ở đây giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát tử số của 2 tỉ số đầu nếu cộng vào sẽ ra tử số của tỉ số thứ 3 Như vậy ta có lời giải sư lược như sau:

Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

3

12

3

22

Bài 4: Tìm x,y,z biết: y z x 1x z y 2 y x z 3x y z1

 

(Trích đề thi HSG huyện Lạng Giang 2008-2009)

HD: Với bài tập này ta đặt ĐK là x,y,z, x+y+z khác 0 và sau đó áp dụng tính chất

(Trích đề thi HSG huyện Việt Yên 2011-2012)

DẠNG 2:CHỨNG MINH LIÊN QUAN ĐẾN DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1)Các phương pháp:

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của

đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.

Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của

đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

(Với điều kiện các tỉ số trên đều có nghĩa)

Bài 4: Cho 4 số khác 0 là a a a a1, , ,2 3 4 thoả mãn 2 3

a a

HD: (Dạng bài này cần biến đổi các hạng tử chứa x,y, z trong các tử số của các tỉ số là các

số đối nhau bằng cách nhân cả tử và mẫu của các tỉ số với mẫu số tương ứng)

z c

b a

y c

b a

c z

y x

b z

HD: quan sát thấy mẫu số của các tỉ số cần phải chứng minh là x+2y+z; 2x+y+z;

4x-4y+z nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho giả thiết

c b a

z c

b a

y c

2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

2)44(2

42

24

2

24

42

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

z y x a

z y x

9

449

29

c z

y x

b z

Bài 8: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số khác 0 thoả mãn:ab2ac bc3ba ca4cb

thì a3 5b 15c

(Trích đề thi HSG Việt yên 2013-2014)

Bài 9 : Chứng minh rằng nếu có các số a,b,c,d thỏa mãn đẳng thức

(Trích đề thi HSG Hiệp Hòa 2016-2017)

Dạng 3 : VỚI GIẢ THIẾT LÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU YÊU CẦU TÍNH GIÁ TRỊ

BIỂU THỨC Cách 1: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức a c a d b c

ak bk c A

xk yk z



không phụ thuộc vào giá trị của k

(Trích đề thi HSG Hiệp hòa 2014- 2015)

ca c b

bc b a

Tính giá trị của biểu thức: Q =x yz  y zx z xy

(Trích đề thi HSG Tân yên 2013- 2014 )

d c b a b

d c b a a

d c b

Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết

Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết

Bước 4:Đối chiếu điều kiện đưa ra kết luận.

2 Bài tập

Bài 1: Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ

với các số 2;4;5

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

542

c b a

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm

Bài 2:Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ

với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số câycủa lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được

Bài 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là

11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho

có bao nhiêu tấn thóc

Bài 5: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3 đất, trung bình mỗi họcsinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3.Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệvới 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh của mỗi khối.

Bài 6: Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000 đồng, 50 000 đồng, 100 000 đồng Trị giá mỗi loại

tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ?

(Trích đề thi HSG Lục Ngạn 2010-2011)

Bài 7: Ba lớp 7A, 7B, 7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng

được 3 cây, mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây.Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau

(Trích đề thi HSG Lục Ngạn 2014-2015)

Bài 8: Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của An và

Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 Tính số viên bi của mỗibạn

(Trích đề thi HSG Bắc Giang 2012-2013)

Bài 9: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định

chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiềuhơn dự định 4 gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua

(Trích đề thi HSG Việt Yên 2012-2013)

Bài 10: Ba đội công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm Đội thứ nhất làm xong một sản

phẩm trong 4 giờ, đội thứ hai làm xong một sản phẩm trong 5 giờ, đội thứ ba làm xong mộtsản phẩm trong 6 giờ Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người? Biết rằng tổng số người của đội thứhai và đội thứ ba nhiều hơn số người của đội thứ nhất là 14 người (Giả sử năng suất củamỗi người như nhau)

(Trích đề thi HSG Lục Nam 2013-2014)

Chương 3: NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường hay mắc phái một số sai lầm sau:

Sai lầm 1 : Học sinh nhận thấy trong chương trình có cộng trừ nên học sinh sai lầm khi áp

dụng tương tự dẫn đến có tính chất nhân các tử số của các tỉ lệ thức

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1

Sai lầm 2: Học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau đó rút gọn Khi rút gọn HS

thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng 1

2 ta phải làm như sau+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số a ; b ; c

b c c a a b   đều bằng -1+ Nếu a+b+c 0 khi đób c a c a b a b c 2a b c a b c   12

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

* Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưngkhác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng nhau thìcác số hạng trên bằng nhau

Bài tập 4 (trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài

Thử lại thấy thoả mãn Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm

Lời giải :Học sinh trên sai như sau

Từ (3) phải xét hai trường hợp

TH 1 : 2x+3y-1 0.Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên

TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có

Sai lầm 3 : Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn

Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B

h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31

phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29

Bài tập 6: Tìm các số x,y,z biết rằng :

1 Quá trình áp dụng của bản thân

Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu sắc hơn về

tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh

TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếpthu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thứ khi tự mình có thể làm

ra các bài toán về mảng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

2 Hiệu quả khi áp dụng đề tài:

Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra

và kết quả thu được ở học kì I trong năm học 2016 – 2017 như sau: