Hướng dẫn vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp 8 trường THCS công liêm

Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó l

MỤC LỤC

1 1 Lí do chọn đề tài 3

5 1 Cơ sở lí luận 4

7 3 Các sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp thực hiện 5

9 3.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

khác

6

12 1 Kết luận 19

13 2 Kiến nghị 19

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mỗi người chúng ta ngay từ khi còn chưa bước chân vào trường Mầm Non

đã được làm quen với Toán qua các hoạt động nhận biết Bởi Toán học là một môn khoa học Tự nhiên gắn liền với thực tiễn cuộc sống, được coi là môn học công cụ, nó vô cùng quan trọng, đóng vai trò then chốt trong lĩnh vực khoa học

Tự nhiên Học sinh học tốt môn Toán không chỉ giúp các em tính toán giỏi, tư duy nhanh, phát triển khả năng tìm tòi sáng tạo, suy luận, lập luận lô gic mà là nền tảng, là cơ sở vững chắc cho các em học tập tốt các môn học khác, đặc biệt

là các môn khoa học Tự nhiên Vì vậy trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính chăm chỉ, cần cù, cẩn thận, chính xác, phân tích tìm và phát hiện vấn đề, … Bên cạnh đó dạy cho học sinh nắm vững chắc được các phương pháp, cách tính, các quy luật tính đối với từng dạng toán là một điều hết sức cần thiết với bất cứ đối tượng học sinh nào Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc học sinh vận dụng các phương pháp đã học trong lý thuyết vào giải các bài toán thực

tế còn nhiều khó khăn, lúng túng Nhiều em trước những yêu cầu của bài toán đặt ra không biết sử dụng phương pháp nào, kiến thức nào đã học để vận dụng vào giải quyết bài toán một cách triệt để; làm ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả học tập và chất lượng giáo dục bộ môn cũng như chất lượng giáo dục chung Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong

việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các dạng toán khác như: tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, rút gọn, tìm x (giải phương trình), chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, … Vì thế tôi đưa ra một số

kinh nghiệm “Hướng dẫn vận dụng các phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử để làm một số dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp 8 Trường THCS Công Liêm” Việc làm này không những giúp

các em học sinh trung bình, yếu cũng biết giải các bài toán tạo niềm vui, hứng thú cho các em vươn lên trong học tập mà còn giúp các em học sinh khá, giỏi tìm ra lời giải hay cho bài toán nhanh nhất và triệt để

2 Mục đích nghiên cứu

- Chỉ ra các cách hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập

- Giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán

- Giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải các dạng bài tập như:

+ Tính nhanh

+ Tính giá trị của biểu thức

+ Rút gọn

+ Tìm x (giải phương trình)

+ Chứng minh chia hết

+ Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

+ Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức cho trước, …

- Đổi mới phương pháp dạy học

- Nâng cao chất lượng dạy học

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng bài tập

- Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 8 trường THCS Công Liêm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận

Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một

vị trí quan trọng trong chương trình phổ thông cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi với các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm GTLN, GTNN của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức, tính nhanh, tính giá trị của biểu thức… Do đó việc lựa chọn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để sử dụng trong từng bài toán cụ thể một cách linh hoạt, nhanh chóng, chính xác là một việc rất cần thiết đối với mọi đối tượng học sinh Vì thế tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm giúp các em học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và biết vận dụng linh hoạt vào giải quyết thành thạo các dạng toán trên

2 Thực trạng của vấn đề

Qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán 8 trong những năm trước và năm học 2015-2016 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 8A, bồi dưỡng HSG Toán 8 của trường THCS Công Liêm Tôi thấy rằng mảng kiến thức phân tích

đa thức thành nhân tử tương đối rộng và khó, nhưng lại có rất nhiều ứng dụng

và lợi ích khi vận dụng nó vào giải các dạng toán khác Dạy cho các em nắm vững và hiểu sâu sắc bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm được các phương pháp thông thường cũng như một số phương pháp khác để phân tích được đa thức thành nhân tử đối với nhiều em học sinh còn khó khăn Thực tế có không ít HS trước yêu cầu của bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử chưa biết phân tích như thế nào, dùng phương pháp nào để phân tích cho hợp

lí và giải quyết được yêu cầu của bài toán nhanh nhất, huống gì việc vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các dạng toán khác; ngay kể cả với HS khá, giỏi khi gặp các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử hay các bài toán liên quan các em cũng còn lúng túng trong việc vận dụng phương pháp nào để tìm ra cách giải phù hợp và nhanh nhất Điều

đó càng làm tôi trăn trở và luôn đặt ra câu hỏi làm thế nào để trước yêu cầu của mỗi bài toán HS biết xác định, biết cách vận dụng các kiến thức đã học, biết lựa chọn đúng phương pháp để giải quyết bài toán một cách tốt nhất Tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học sinh trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho

kết quả như sau:

Lớp Sĩ số

Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm '' Hướng dẫn

vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập nhằm gây hứng thú học tập cho học sinh lớp 8 Trường THCS Công Liêm" Với hy vọng sẽ đem lại niềm vui, hứng thú, sự đam mê trong học

tập cho các em, từ đó tạo động lực để các em vươn lên đạt được kết quả cao

3 Các sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp thực hiện

Để tạo tâm lí thoải mái tự tin trong quá trình học tập, không gây áp lực căng thẳng cho HS thì GV cần hệ thống lại kiến thức từ cơ bản rồi mở rộng nâng cao; chuẩn bị hệ thống bài tập từ cơ bản, đơn giản đến nâng cao, phức tạp

- Trước hết xây dựng cho học sinh hiểu và nắm vững chắc khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

- Tiếp theo cần củng cố cho học sinh nắm chắc các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử; biết nêu khái quát chung của từng phương pháp

3.1 Các phương pháp thông thường:

*) Phương pháp đặt nhân tử chung

Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử,

ta cần xác định được nhân tử chung trong A và B là C chẳng hạn, khi đó:

A + B = A C B C C A1  1   1 B1

Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

*) Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Đối với phương pháp này trước hết yêu cầu học sinh phải ôn và nắm chắc các hằng đẳng thức đã học; lưu ý học sinh viết các hằng đẳng thức dưới dạng sau:

A  AB B  A B

A  A B AB B  A B

   

A  B  A B A B 

A  B  A B A AB B

A B  A B A  AB B

Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi theo hai hướng:

+ Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức

+ Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức mới

*) Phương pháp nhóm các hạng tử

Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng nhất là tạo ra được nhân tử chung Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết Tuy nhiên đối với phương pháp này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú

ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ “-“

Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:

Cho đa thức A + B + C + D (A, B, C, D là các biểu thức), nếu A, B, C, D không có nhân tử chung nào thì hãy thử nhóm (A + B) và (C + D) hoặc các phép giao hoán khác Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức

*) Phương pháp phối hợp các phương pháp thông thường

3.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác:

*) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết

Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có 2 cách tách thông dụng nhất là:

+ Ta tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau: (mx + n) (px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq

Như vậy đa thức a x2 + bx + c hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b1 +

b2 sao cho b1.b2 = a.c

+ Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử c = c1 + c2

Tuy nhiên có nhiều đa thức khi phân tích ta không áp dụng được hai cách nêu trên, vì thế phương pháp tách hạng tử được mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều

hạng tử trong đa thức

*) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức, cũng không thể nhóm các hạng tử Đối với những đa thức dạng

này ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung

*) Phương pháp đổi biến

Nhờ phương pháp này ta có thể đưa đa thức rất phức tạp trở thành một đa thức rất đơn giản với biến khác, nhờ đó phân tích đa thức thành nhân tử được dễ dàng hơn rất nhiều

*) Phương pháp đồng nhất hệ số (hay phương pháp hệ số bất định)

Cơ sở phương pháp này là hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

*) Phương pháp xét giá trị riêng

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử còn lại

3.3 Vận dụng vào các dạng bài tập

Dạng 1: Tính nhanh

Ví dụ 1: Tính nhanh: 73 2  27 2

Khi làm nhiều HS đã tính 732 và 272 rồi trừ kết quả Cách làm đó vừa mất thời gian, có thể tính sai

GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức ta có:

73  27  73 27 73 27    46.100 4600 

Ví dụ 2: Tính nhanh: 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5

Nhiều HS đi tính các tích 37,5 6,5 ; 7,5 3,4 ; 6,6 7,5 và 3,5 37,5 rồi sau

đó trừ, cộng kết quả Làm như vậy rất mất thời gian vào việc tính toán, có thể còn tính sai

GV có thể gợi ý: Biểu thức có gì đặc biệt không? Có thể vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tính nhanh hơn được không? Sử dụng phương pháp nào?

HS sẽ trả lời được các câu hỏi, từ đó HS dễ dàng làm được như sau:

37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5

= (37,5 6,5 + 3,5 37,5) – (7,5 3,4 + 6,6 7,5) (nhóm các hạng tử)

= 37,5 (6,5 + 3,5) - 7,5 (3,4 + 6,6) (đặt nhân tử chung)

= 10 (37,5 - 7,5) (đặt nhân tử chung)

= 10 30 = 300

Ví dụ 3: Tính nhanh: 45 2  40 2  15 2  80.45

Đa số HS đi tính 45 ; 40 ;15 à 80.45 2 2 2v rồi cộng trừ kết quả

Ở đây GV cần hướng dẫn HS: viết 80.45 dưới dạng khác? Nếu HS chưa phát hiện ra, GV gợi ý thêm 80 có liên quan với 40 như thế nào? Có thể dùng hằng đẳng thức để tính nhanh biểu thức này được không? Từ đó HS dễ dàng biến đổi được:

45 40 15 80.45 45 2.40.45 40 15

45 40 15 85 15 85 15 70.100 7000

Ví dụ 4: Tính nhanh: 15 91,5+ 150 0,85

Tương tự các ví dụ trên HS cũng đi tính 15 91,5 và 150 0,85 rồi cộng kết quả làm như vậy mất thời gian tính toán

GV hướng dẫn HS nhận xét 91,5 thêm bao nhiêu để đủ 100, để có 8,5 cần nhân 0,85 với bao nhiêu? 15 và 150 liên quan như thế nào? Từ đó HS sẽ biến đổi được : 15 91,5+ 150 0,85 = 15 91,5+ 15 8,5

= 15 (91,5+ 8,5)

= 1500

Tóm lại: Với dạng toán tính nhanh, hạn chế của HS là đa số các em tính

trực tiếp các phép tính, làm mất thời gian có thể dẫn đến kết quả sai, không đảm bảo yêu cầu tính nhanh Để làm dạng toán này cần nhận xét tìm ra mối liên quan giữa các hạng tử trong biểu thức;từ đó lựa chọn linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thích hợp để đưa biểu thức đã cho về dạng tích của các nhân tử khi đó việc thực hiện phép tính chỉ còn là tính nhẩm với các số tròn chục tròn trăm cho ta kết quả của bài toán một cách nhanh nhất.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:

x (x - 1) – y (1 – x) tại x = 2001 và y = 1999

Nhiều HS đã thay ngay các giá trị của x và y vào biểu thức rồi thực hiện phép tính Hoặc có HS đi thu gọn biểu thức bằng cách nhân đơn thức với đa thức, cộng trừ các hạng tử đồng dạng rồi thay các giá trị của x và y vào biểu thức để thực hiện phép tính Làm như vậy gây mất thời gian, việc tính toán gặp khó khăn

GV hướng dẫn HS: Biểu thức có gì đặc biệt không? Có thể làm xuất hiện nhân tử chung ở các hạng tử được không? Làm bằng cách nào? Sử dụng phương pháp gì để đưa biểu thức đã cho về dạng thu gọn đơn giản? Từ đó HS có thể trình bày như sau:

x (x - 1) – y (1 – x) = x (x - 1) + y (x – 1) = (x – 1) (x + y)

Thay x = 2001 và y = 1999 vào biểu thức ta được:

(2001 – 1) (2001 + 1999) = 2000 4000 = 8 000 000

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức: 2 1 1

2 16

x  x tại x = 49,75

Ở đây không thay trực tiếp giá trị của x vào mà trước hết phải thu gọn biểu thức Lưu ý

2

1 1

16 4

 

 

  và 1 2.1

2 4, sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dùng hằng đẳng thức viết biểu thức đã cho dưới dạng:

2

x  x x  x   x   x

    Đến đây thay x = 49,75 vào biểu thức ta được:  2 2

49,75 0, 25   50  2500

Ví dụ 7: Tính giá trị của biểu thức: A= x2  y2  2y 1 tại x = 93 và y = 6

Ở đây HS đễ nhận rằng biểu thức này đã thu gọn nên chỉ việc thay các giá trị của x và y vào thực hiện phép tính, đó cũng chính là hạn chế của HS Nếu quan sát kĩ ta dễ thấy  y2  2y 1  y2  2y 1  y 12 Từ đó HS biến đổi được

A x  y  y x  y  x y  x y 

Thay x= 93 và y = 6 vào biểu thức ta được:

A = (93–6-1)(93+6+1)= 8600

Ví dụ 8: Cho x và y là hai số khác nhau thỏa mãn 2 2

x yy x Tính giá trị

của biểu thức sau:

1

x y xy A

xy

 



 Khi gặp bài toán này HS rất lúng túng trong việc tìm ra lời giải GV gợi ý

2

x y xy

x xy y xy A

 

  

Cần phân tích giả thiết x2 yy2 x làm xuất hiện giá trị của (x + y) Ta có

   

x yy  x x  y  y x  x y x y   

Vì xy nên x y  0 suy ra x + y – 1 = 0 hay x + y = 1 Khi đó:

 2

1

x y xy

A

 

Ví dụ 9: Cho x2  2xy 2y2  2x6y 5 0 Tính

2

4

x y Q

xy





Khi gặp bài toán này nhiều HS bế tắc, không biết cách làm GV cần định hướng cho HS phân tích giả thiết của bài toán tìm ra x; y hoặc mối quan hệ giữa x; y nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử, rồi đánh giá

Ta có: x2  2xy2y2  2x6y 5 0

2 2 ( 1) ( 2 2 1) ( 2 4 4) 0

2 2 ( 1) ( 1)2 ( 2)2 0

x y 12  y 22 0

Thay x = -1 và y = -2 vào biểu thức Q ta được:    

   

2

 

Nhận xét: Với dạng toán tính giá trị của biểu thức HS hay mắc phải sai

lầm là một số em thì thay ngay các giá trị của biến vào biểu thức mà không thu gọn rồi thực hiện phép tính, một số em thấy biểu thức không có các hạng tử đồng dạng nên không thu gọn và thay giá trị vào thực hiện phép tính dẫn đến việc tính toán trở nên phức tạp, dễ dẫn đến kết quả sai Vì thế GV cần khắc sâu cho HS nên biến đổi biểu thức đã cho thành nhân tử bằng cách thích hợp sao cho khi thay các giá trị của biến vào việc thực hiện phép tính là tính nhẩm

Dạng 3: Rút gọn

Ví dụ 10: Cho a + b + c = 0 Rút gọn biểu thức: M a3 b3 c a 2 b2 abc

Với các phương pháp biến đổi thông thường để rút gọn biểu thức M không phải đơn giản Bài toán cho a + b + c = 0 nên ta phân tích M theo a + b + c = 0 bằng cách vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

M a b c a b abc a b a c b c abc

a a c b b c abc

   

a b b a abc

     (vì a + b + c = 0 nên a + c = -b; b + c = -a)

ab a b c

    0 (Vì a + b + c = 0)

Ví dụ 11: Rút gọn phân thức  

a b c

a b c

 

 

Để rút gọn phân thức thì tử và mẫu phải có nhân tử chung, vì thế ta cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

a b2 c2 a b c a b c  

a b c