Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa,chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điềukiện
Trang 1Sáng kiến kinh nghiệm
I Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Trong chơng trình Toán lớp 11 có rất nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình chứa tham
số Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa,chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điềukiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v
Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng trình chứa tham
số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phảinhững sai lầm Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: “Những bài toán có tham số
luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì th ờng có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này” Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh phơng
trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng
đối phức tạp đối với học sinh
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy
kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển
đ-ợc t duy và cũng không đáp ứng đđ-ợc nhu cầu giải quyết vấn đề
Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứatham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập mônToán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khókhăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học
Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham sốchứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học Thông qua những bài toán đó,học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khảnăng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứunhững sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận
dạng và thể hiện; v.v ).
Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phơngtrình và bất phơng trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số
thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS) Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều
hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số Đối với học sinh khá, giỏi thì cácbài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa
Thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông đòi hỏi phải có những công trình nghiên cứunhằm đa ra những thủ pháp dạy học, những hớng dẫn s phạm để giúp ngời giáo viên giảng dạy tốtnhững kiến thức trong chơng trình, nhất là những kiến thức tơng đối phức tạp nhng giàu tính ứngdụng và khá điển hình
Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhng cho đến nay vẫn cha có
công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phơng trình,
bất phơng trình chứa tham số
Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là:
“rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình , bất phơng trình
mũ –logaritcó chứa tham số–
2 Mục đích nghiên cứu
Trang 2Sáng kiến kinh nghiệm
Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ nănggiải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học
Đại số và Giải tích ở lớp 11 bậc THPT
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phơng pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm s phạm
5 Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn
luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất
ph-ơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở lớp 11 trờng phổ thông
II Nội dung
Trang 3Sáng kiến kinh nghiệm
“rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
phơng trình , bất phơng trình
mũ logarit có chứa tham số ”–
1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán
Con ngời không thể suy nghĩ khi cha hiểu đầy đủ, chính xác vấn đề đặt ra Do vậy, khigặp bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số, học sinh không thể tiến hành hoạt
động tìm tòi lời giải một khi họ cha hiểu đúng về tham số Rất nhiều học sinh “e ngại” khi tiếpxúc với bài toán có chứa tham số, trong số đó không ít học sinh không hiểu đợc bản chất, vai tròcủa tham số trong bài toán
Để giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về tham số, trong quá trình giảng dạythông qua hoạt động giáo viên cần làm sáng tỏ các vấn đề sau:
1.1 Tham số là gì?
a) Học sinh đã đợc làm quen với thuật ngữ “ẩn số” ở bậc THCS, còn thuật ngữ “tham số” ở
đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy “bỡ ngỡ, khó hiểu” khi tiếpxúc với thuật ngữ này SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra lời giới thiệu về tham số: “Những phơng
trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác Các chữ này đợc xem là những số đã biết gọi là tham số” Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy “băn khoăn”
khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại đợc xem nh số đã biết Tại sao chữ mà lại xem nh số đãbiết? Số đã biết là những số nào?
Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ “tham số” giáo viên cần đa ra hoạt động cụthể, nhằm hình thành khái niệm Chẳng hạn, có thể đa ra một trong những hoạt động sau:
Hoạt động 1a: Một ngời đi xe đạp với vận tốc 10km/h, tính quãng đờng đi đợc trong khoảng
x = 10.a
Với x là ẩn và a là một số đã biết, tuy nhiên giá trị cụ thể của a là không xác định, bởi a = 1,
a = 2, …, a có thể là một số cụ thể nào đó Số a trong phơng trình trên đợc gọi là tham số
Hoạt động 1b: Giáo viên đa ra cho học sinh các phơng trình:
log2( x2 – x) + 1 = 0
log 2(x2 – 2x) + 1 = 0
log 2(x2 – 4x )+ 1 = 0
Yêu cầu học sinh khái quát hóa dạng phơng trình trên bằng câu hỏi:
H: Các phơng trình trên có điểm nào chung? (đều là phơng trình logarit cùng cơ số 2)
H: Hệ số nào của các phơng trình trên là giống nhau?
H: Đa ra phơng trình tổng quát của phơng trình trên?
Học sinh đa ra phơng trình: loga(f(x)) + 1 = 0, ở các phơng trình trên a nhận giá trị: 2, 1.2,4,…
H: Cho vài ví dụ về phơng trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào?
Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu phơng trình:loga(f(x)) + 1 = 0
Trang 4Sáng kiến kinh nghiệm
Ta nói đây là phơng trình ẩn x với tham số a
H: Nêu kết luận về tham số?
b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m,…,
nh-ng tuyệt đối khônh-ng đợc giốnh-ng với ký hiệu ẩn của phơnh-ng trình, bất phơnh-ng trình Khi học sinh mớitiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ vàphân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phơng trình
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình:
2
2(x x)
m
log + (x m 1) 1 + − < với mọi giá trị của m: 0 < m ≤ 4.
Đây là bài toán khá rắc rối và nó phần nào đi ngợc với t duy giải toán thông thờng Bởi bàitoán yêu cầu tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn với mọi giá trị tham số: 0 < m ≤ 4, thông th-ờng bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi giá trị x Khitiếp xúc bài toán này, sẽ rất nhiều học sinh cảm thấy khó xác định bài toán và thấy lúng túng
Nh vậy, trớc hết giáo viên cần phải giúp học sinh vợt qua rào cản này
H: Đâu là ẩn số?
ẩn số là x bởi ta cần tìm giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình
H: Nghiệm của bất phơng trình cần thỏa mãn điều kiện gì?
Lớn hơn 1 và bất phơng trình khi đó đúng với mọi giá trị m: 0 < m ≤ 4
H: Đâu là tham số trong bài toán? Chỉ ra miền xác định của tham số trong bài toán?
H: Bài toán yêu cầu xác định điều gì?
Tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn hơn 1 và đúng với mọi giá trịm: 0 < m ≤ 4
H: Nêu miền xác định của ẩn số và tham số?
Miền xác định ẩn số là (1; +∞), miền xác định tham số là nửa đoạn (0;4]
Chính nhờ vào đặc điểm miền xác định tham số và ẩn số ta dễ dàng:
+
⇔ mx + m2 – m < 2(x2 + x) (2)Bài toán yêu cầu tìm x để bất phơng trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m ≤ 4.Nên ta xem xét bất phơng trình (2) là bất phơng trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số
Nh vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên vềcơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số
Trang 5Sáng kiến kinh nghiệm
“Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: - 2x3 + (m + 1)x2 + 2(1 – m)x + m2 – 1 = 0 (m là thamsố)”
Nếu giải quyết Bài toán này theo ẩn x là điều rất khó khăn bởi phơng trình trên là phơngtrình bậc 3 mà việc nhẩm nghiệm là khó có thể thực hiện đợc (nếu không muốn nói là không thể).Nhng nếu biết thay đổi vai trò giữa ẩn và tham số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, nếu xét phơngtrình với ẩn m thì nó sẽ là phơng trình bậc hai:
Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng
và đầy đủ về tham số Thứ nhất, khi dạy bài toán về phơng trình có chứa tham số có thể yêu cầuhọc sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể củatham số và với giá trị đó phơng trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện đợc điều nàygiáo viên cần chỉ rõ đây là những trờng hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể córất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó
Hoạt động 2: “Cho bất phơng trình:
log3x.log2x + 2m > log2xm + log3x2
Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình chứa khoảng (1, +∞)”
Giáo viên yêu cầu học sinh cho một vài giá trị cụ thể của tham số, khi đó phơng trình sẽ nhthế nào?
Yêu cầu học sinh giải với một trong những giá trị cụ thể của tham số, chẳng hạn: Hãy giảivới bất phơng trình với m = 1!
Để tránh việc học sinh nhận thức sai khi họ thờng lấy ví dụ giá trị tham số trong tập hợp số
tự nhiên thì giáo viên nên chỉ ra các ví dụ cụ thể: m = 2; m = - 2;…; nhắc nhở học sinh tham
số m lấy giá trị trong tập hợp số thực Ă nên nó có vô số giá trị
Để học sinh hiểu hơn về tham số khi tiến hành giải các bài tập giải và biện luận sau khi đa
ra kết luận bài toán, giáo viên nêu ra những giá trị cụ thể của tham số và yêu cầu học sinh nêu kếtluận về phơng trình ngay lập tức (dựa vào kết quả biện luận)
1.2 Giúp học sinh ý thức đợc tác động của tham số đến bài toán
Có thể với giá trị này của tham số phơng trình, bất phơng trình vô nghiệm, với giá trịkia có vô số nghiệm và cũng có những giá trị cho1 nghiệm, 2 nghiệm,…, n nghiệm Nh vậy tham
số thay đổi có thể kéo theo rất nhiều khả năng về nghiệm của phơng trình, bên cạnh đó cũng cầncho học sinh thấy rằng có những bài toán dù tham số có thay đổi thì vẫn cho một kết quả vềnghiệm của phơng trình, bất phơng trình
Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy khi tham số thay đổi thì phơng trình, bất phơng trình luôn cónghiệm (vô nghiệm) cũng là bình thờng, tuy nhiên cần lu ý học sinh phơng trình luôn có nghiệmkhông có nghĩa là nghiệm nh nhau với mọi giá trị tham số Bên cạnh đó thì có nhiều bài toán, khitham số thay đổi thì nó có có thể vô nghiệm, có nghiệm và có vô số nghiệm Chẳng hạn, nh Ví dụsau:
Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình:
1 x2
Tiến hành giải bài toán ta thu đợc kết luận:
+) Với m = 0 thì phơng trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn: x = 0
+) Với m < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Trang 6Sáng kiến kinh nghiệm
+) Với m > 0 phơng trình có 2 nghiệm x = ± log (m 1)2 +
Để giúp học sinh hiểu hơn về sự tác động của tham số đối với bài toán, thì thông qua Ví dụ
2, giáo viên có thể đa ra câu hỏi:
H: Tìm m để phơng trình có nghiệm?
H: Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm
H: Chỉ ra giá trị tham số để phơng trình vô nghiệm?
Sau đó, giáo viên cần phân tích để học sinh thấy rõ đợc sự tác động của tham số đối với
ph-ơng trình Rõ ràng với m = 0 thì phph-ơng trình có 1 nghiệm x = 0, nhng với m < 0 thì phph-ơng trìnhlại vô nghiệm và với m >0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ 2, nghiệm của phơng trình khi m > 0 là: x =± log (m 1)2 +
có Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, pháthiện ra mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩnban đầu sang ẩn phụ Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán là khâu quantrọng trong trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết
định rất lớn đến sự đúng hay sai của lời giải Đây cũng là kỹ năng mà học sinh còn yếu và th ờnghay gặp phải những sai lầm ở biện pháp này chúng tôi xin đa ra một số cách thức nhằm giúp họcsinh rèn luyện kĩ năng phát hiện các sự tơng ứng và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán
2.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
a) Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì?
Với những học sinh hơi yếu thì ngay cả việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ làlàm gì? Cũng đã là khó khăn, nên nếu khi họ đã không hiểu hoạt động này thì mọi thứ rao giảngcủa giáo viên đều trở nên vô ích Nh vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chỉ rõ cho họcsinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm t = ϕ (x) (biểu thức đặt
ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà bài toán đã cho Hay nói nôm na tìm điều kiện ẩn phụ tức
là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn sốphụ, giáo viên có thể đa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: “Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x2; t = x
; …”
b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
Khi giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt
điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban
đầu do đó điều kiện chỉ là bớc đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi Học sinh thấy việc
đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn:
Trang 7Sáng kiến kinh nghiệm
Ví dụ 10: Giải và biện luận phơng trình:
u2 – 8u + m = 0
Nếu m >16 , phơng trình vô nghiệmNếu m = 16 , phơng trình có nghiệm u = 4
Từ đây do phải trở về tìm ẩn đã cho là x nên buộc phải giải phơng trình:
2
x =± log + (4 + 16 − m )
Nh vậy, nếu không đặt điều kiện cho ẩn phụ u thì bài toán giải không đúng, còn nếu đặt
điều kiện cho ẩn phụ là u ≥ 0 thì vẫn dẫn tới loại đợc trờng hợp nghiệm của u không thoả mãn.Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chính xác thì cũng chỉ giúp phơng trình cố đầy đủ nghiệm Chínhnhững bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh “thờ ơ” với bớc đặt điều kiện của ẩnphụ, họ có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hởng đếnlời giải bài toán và lối suy nghĩ nh vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phơng trình,bất phơng trình có chứa tham số Bởi đối với dạng toán là phơng trình, bất phơng trình có chứatham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hởng đến lời giải chính là điều kiện của ẩn phụ, điều kiệncủa ẩn phụ chính là cơ sở cho những lập luận, trong bài toán mới – bài toán đối với ẩn phụ Khi
đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban
đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thìsau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ đợc chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luậntrên phơng trình mới (phơng trình đối với ẩn phụ) Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận raviệc đặt điều kiện của ẩn phụ có ảnh hởng rất lớn đến lời giải bài toán Để góp phần giúp học sinh
Trang 8Sáng kiến kinh nghiệm
ý thức đợc tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thì thông qua Ví dụ 10, giáo viên cóthể đa ra hoạt động sau:
Hoạt động 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số)
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm:
⇔ ∆ = ' 16 m 0 − ≥ ⇔ ≤ m 16
Lời giải 2: u =(3 + 5)x2, điều kiện: u ≥ 1
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn u ≥ 1
Để tìm tham số m sao cho phơng trình (2) có
nghiệm thỏa mãn u ≥ 1, ta dùng phơng pháp đồ thị:
Đồ thị (C1): y = u2 – 8u
Đồ thị (C2): y = - m
Khi đó nghiệm của phơng trình (2) chính là
giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2)
Phơng trình (2) sẽ có nghiệm thỏa mãn
u ≥1khi và chỉ khi đồ thị (C2) cắt đồ thị (C1) ở điểm
nằm về phía phải của đờng thẳng x = 1.Dựa vào đồ
thị ta nhận thấy với m ≥ - 16 thì (2) luôn có nghiệm
H: Nhận xét về kết quả của 3 lời giải?
H: Lời giải nào là đúng đắn và lập luận chính xác?
H: Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toán có chứa tham số?
2.2 Khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
Để giải phơng trình, bất phơng trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = ϕ (x), mốiquan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ đợc thể hiện thông qua hàm số ϕ Giáo viên cần giúp học sinhnhận ra mối tơng quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kỳ thì sẽ có bao nhiêu giátrị x tơng ứng? Với giá trị x bất kỳ thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuynhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngợc lại
Trớc hết, giáo viên cần hớng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giátrị x tơng ứng, điều này giống nh bài toán tìm điều kiện tham số t để phơng trình t = ϕ (x) cónghiệm Học sinh cần trả lời đợc câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phơng trình t = ϕ(x) tồntại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = ϕ (x) sẽ không tồn x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời
đợc một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì đợc đáp án cho câu hỏi còn lại Khi đặt ẩnphụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn nh phép đặt ẩn phụ:+) t = 21/x; t = (1/2)1/x;
Trang 9Sáng kiến kinh nghiệm
+) t = logax;
Tuy nhiên, cần lu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép
đặt ẩn phụ: t = 2x 2 + 1 Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t > 1, do đó vớinhững giá trị 1<t < 2 thì sẽ không tồn tại giá trị x tơng ứng Tuy nhiên, kết luận trên vẫn cha
đầy đủ, bởi nó cha xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tơng ứng Cần nhắc nhở họcsinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t = 2x 2 + 1 ≥
2 , nên với giá trị t ≥ 2thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng ở đây học sinh có thể đánh giá:
2x 2 + 1 ≥ 2 ⇒ 2x 2 + 1 ≥ 2 .
Nên t ≥ 2 , vậy với giá trị t ≥ 2 thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng Do vậy, ngoài việc xemxét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán:
2f (x) = t; log f(x)a = t;
Với những phép đặt ẩn phụ trên ta cha đợc khẳng định với t ≥ 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất
có thể dẫn đến sai lầm Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x).Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t =ϕ(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x Sự t ơng ứng giữa t và x
là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phơng trình có số nghiệmxác định Với phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), nếu ϕ là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tơngứng sẽ là 1 – 1
Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ:
t = 2x 1 2 + ⇔ x2 + 1 = log2t0 ⇔ x2 = log2t0 – 1
+) Với t0 = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tơng ứng là x = 0
+) Với t0 > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng là:
x = ± log t - 12 0
Vậy với mỗi t0 > 2 sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng
Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu.Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kỹ càng có thể dẫn đến sailầm không đáng có Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽgiúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi
Để xác định sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viênkhông chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằmgiúp học sinh phản ứng tốt trớc các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tơng quangiữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện
ẩn phụ, cũng nh mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu ở đây ta thấy, không phải mọi giá trịcủa ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoã mãn t ≥ 2
thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tơng ứng Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thìgiáo viên cha hoàn thành đợc nhiệm vụ khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu Đểgiúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổiyêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết Giáo viên có thể đa rahoạt động sau:
Trang 10Sáng kiến kinh nghiệm
Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh làchủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tơng quan giữa ẩn phụ và
ẩn ban đầu Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứatham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ
2.3 Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu.Học sinh vẫn thờng yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho họcsinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng
Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồngthời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác Giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằngphơng pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ làkhông thể tránh khỏi Để rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiếnhành phân tích, mổ xẻ vấn đề trớc khi đa ra lập luận chuyển đổi
H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2) thì điều kiện cần trớc hết làgì?
H: Bài toán yêu cầu tìm nghiệm x xác định ở đâu?
Nghiệm x thuộc khoảng (- π/2; π/2)
H: Với khoảng xác định (- π/2; π/2), thì ứng với một nghiệm t0 > 0 của phơng trình (2) sẽ có baonhiêu nghiệm x tơng ứng?
Với khoảng xác định (- π/2; π/2) thì với mỗi giá trị tgx sẽ cho 1 nghiệm x nên: t0 =+ tgx
(3 2 2) ⇔ tgx log = 3 2 2+ t0 sẽ có sự tơng ứng 1-1 giữa t0 và x Vậy với mỗi giá trị t0 >
0 sẽ có 1 giá trị x tơng ứng thuộc khoảng (- π/2; π/2)
Trang 11Sáng kiến kinh nghiệm
H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc (- π/2; π/2) thì phơng trình (2) phải nh thế nào?Phơng trình (2) phải có đúng 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t > 0
H: Phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán?
Phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2) khi và chỉ khi phơng trình (2)
có 2 nghiệm phân t1, t2 thỏa mãn: 0 < t1 < t2
Nh vậy để phát biểu đợc yêu cầu chuyển đổi bài toán thì một yêu cầu hết sức quan trọng là:học sinh phải ý thức đầy đủ đợc mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ ở Ví dụ 12, ta thấy sựtơng tơng ứng là 1- 1 nên sự chuyển đổi bài toán là khá dễ dàng, tất nhiên có nhiều bài toán có sựtơng ứng phức tạp thì đòi hỏi khả năng lập luận, suy luận lôgic nhiều hơn Cũng là Ví dụ 12 nếuthay yêu cầu bài toán thành: tìm m để phơng trình vô nghiệm, thì phơng pháp lập luận của họcsinh cần có sự thay đổi Phơng trình (1) vô nghiệm trớc hết là khi (2) không tồn tại t và nếu cótồn tại t thì các nghiệm t đó đều phải âm Lập luận chuyển đổi yêu cầu bài toán là rất quan trọng
nó quyết định đến sự đúng sai của lời giải và nói chung nhiều khi việc chuyển đổi yêu cầu là kháphức tạp bởi nó có nhiều khả năng Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ l-ỡng, cẩn thận trớc khi đa ra phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán
3 Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tơng đơng cho học sinh, giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi
3.1 Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản thờng dùng trong dạy học phơng trình, bất phơng trình
Hai phơng trình (cùng ẩn) đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm Trong thực
tế khi giải phơng trình, bất phơng trình ta gặp khái niệm hai phơng trình tơng đơng trên D, điềunày đồng nghĩa với việc nghiệm của phơng trình chỉ xét trên D mà thôi Chẳng hạn, hai phơngtrình: x2 = 4 và x = 2 là tơng đơng với nhau trên miền D = [0; +∞)
Để xác định xem 2 phơng trình có tơng đơng với nhau hay không ta cần dựa vào định nghĩa
để xem xét tập hợp nghiệm của chúng Cần lu ý học sinh rằng định lý 1 về phép biến đổi tơng
đ-ơng trong SGK Đại số 10, Nâng cao: “Cho phđ-ơng trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x)
là một hàm số xác định trên D( h(x) có thể là một hằng số) Khi đó trên D, phơng trình đã cho
t-ơng đt-ơng với mỗi pht-ơng trình sau:
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x ∈ D”.
Chỉ là điều kiện đủ để 2 phơng trình tơng đơng mà không phải là điều kiện cần Giáo viêncần chỉ rõ cho học sinh thấy, có thể h(x) có tập xác định khác D, nhng 2 phơng trình vẫn tơng đ-
− − là không tơng đơng với nhau Có thể nói rằng, nếu ta thay thế
điều kiện h(x) xác định trên D bởi h(x) xác định tại mọi nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) thìkhi đó Định lý 1 trong SGK Đại số 10, Nâng cao, sẽ biến thành mệnh đề tơng đơng Tuy nhiên,mệnh đề này không có ứng dụng trong thực tế, bởi chúng ta cha thể xác định đợc các giá trịnghiệm của phơng trình f(x) = g(x), để có thể kiểm tra h(x) có xác định với các giá trị nghiệm đóhay không
Ngoài phép biến đổi tơng đơng SGK Đại số 10, Nâng cao, còn đa ra khái niệm phơng trình
hệ quả và đa ra định lý về phép biến đổi bình phơng hai vế của phơng trình nh sau:“f1(x) = g1(x)
gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của
