ÔN THI HS GIỎI LÝ 12 CHUYÊN ĐỀ NHIỆT HỌC

Khi tăng nhiệt độ không khí trong xy lanh thêm ΔT thì các pit tông dịch chuyển như thế nào?. Hướng dẫn giải: Ban đầu pi tông cân bằng, áp suất bên trong xy lanh là p; áp suất của khí qu

CHUYÊN ĐỀ NHIỆT HỌC

I LÝ THUYẾT

Khi áp dụng Nguyên lí I và II cho khí lí tưởng chúng ta vận dụng công thức tính công, nội năng, nhiệt lượng chú ý đến qui ước dấu

Biểu thức tính công của một số đẳng quá trình như sau:

- Quá trình đẳng nhiệt: A12 =p1V1 lnV

12 =p1V1 ln p12 =nRT1 lnV

1

- Quá trình đẳng tích: A12 =0

- Quá trình đẳng áp: A12 =p(V2 −V1 )=nR(T 2 −T1 )

- Quá trình đoạn nhiệt: A12 = nR (T2 −T1 ), trong đó γ là tỉ số giữa nhiệt dung đẳng

áp với γ −1

nhiệt dung đẳng tích

- Quá trình đa biến nói chung (Quá trình Polytropic): A12 = nR (T2 −T1 )với γ là chỉ

số đa γ −1

biến

Biểu thức tính nhiệt lượng của một số đẳng quá trình như sau:

- Quá trình đẳng nhiệt: Q12 =A12 =p1V1 lnV

12 =p1V1 ln p12 =nRT1 lnV

1

- Quá trình đẳng tích:Q12 =ΔU12 =nC V (T2 −T1 ), trong đó CV là nhiệt dung riêng đẳng

tích Đối với khí đơn nguyên tử C V = R, khí lưỡng nguyên tử C V = R

- Quá trình đẳng áp: Q12 =nC p (T2 −T1 )trong đó Cp là nhiệt dung riêng đẳng áp Liên hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng áp với nhiệt dung riêngđẳng thức theo hệ thức Mayer

C p =C v +R

- Quá trình đoạn nhiệt: Q12=0

- Quá trình đa biến nói chung (Quá trình Polytropic): Q12 =nC(T2 −T1 )với C là nhiệt dung của quá trình đa biến

II BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1

Một xy lanh đặt thẳng đứng có tiết diện thay đổi như hình vẽ

giữa hai pit tông giam n mol không khí Khối lượng và diện tích các

pit tông lần lượt là m1, m2, S1, S2 Các pit tông được nối với nhau

bằng một thanh nhẹ có chiều dài l và cách đều chỗ nối của hai đầu xy lanh Khi tăng nhiệt độ không khí trong xy lanh thêm ΔT thì các pit tông dịch chuyển như thế nào? Đoạn dịch chuyển bằng bao nhiêu? Cho biết áp suất khí quyển bên ngoài là p0

Hướng dẫn giải:

Ban đầu pi tông cân bằng, áp suất bên trong xy lanh là p; áp

suất của khí quyển là p0 Điều kiện cân bằng của hai pit tông là:

(m1 +m2)g +p0(S1 −S2)=p(S1 −S2) (1) Ban đầu, theo phương trình trạng thái, ta có liên hệ:

Quá trình tăng nhiệt độ lên T +ΔT thể tích xy lanh thay đổi nhưng điều kiện cân bằng vẫn là (1) Do đó áp suất khí trong xy lanh sau khi tăng nhiệt độ vẫn là p Do nhiệt

độ tăng, theo phương trình trạng thái V tăng, như vậy pit ppng phải dịch chuyển đi lên Gọi x là độ dịch chuyển của các pit tông ta có phương trình:

p(V +x(S1 −S2))=nR(T +ΔT) (4)

Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta thu được kết quả:

(m1 +m2)g +p0(S1 −S2)

Bài 2

m 1 ;

S 1

m

2

;

S 2

p

p 0

p 0

Một căn ph ng có thể tích 30m3 có nhiệt độ tăng từ 170C đến 270C Tính độ biến thiên khối lượng không khí trong ph ng Cho biết áp suất khí quyển là 1,0atm và khối lượng mol của không khí là 29g/mol

Hướng dẫn giải:

Đây là bài toán có khối lượng khí thay đổi, vì vậy chúng ta áp dụng phương trình C-M cho hệ

Trong quá trình lượng khí thay đổi, thể tích ph ng không đổi và áp suất khi trong

ph ng cân bằng với áp suất khí quyển Do đó:

p0V= m1 RT1 (1)

M

p0V= m2 RT2 (2)

M

Giải hệ gồm hai phương trình và thay số vào ta có:

Bài 3

Một bình kín đựng khí loãng được chia làm hai phần bằng một vách

ngăn mỏng có lỗ thủng Kích thước lỗ thủng rất nhỏ so với quãng

đường tự do trung bình của chất khí Tìm tỉ số áp suất của khí trong

hai phần nếu chúng được giữ ở các nhiệt độ T1 và T2 khác nhau Hướng dẫn

giải

Ở trạng thái cân bằng, số phân tử khí từ ngăn (1) đi sang ngăn (2) phải bằng số phân tử khí đi theo chiều ngược lại Vì lỗ rất nhỏ so với quãng đường tự do trung bình của khí (khí rất loãng nên quãng đường tự do trung bình khá lớn) nên khi các phân tử khí

đi qua lỗ chúng không tương tác, va chạm với nhau

Do tính chất đối xứng nên số phân từ đi theo một hướng nào đó bằng 1/6 tổng số phân tử (vì có tất cả 6 hướng như vậy) Mặt khác số phân tử đi qua lỗ nhỏ tỉ lệ thuận với mật độ phân tử khí và tỉ lệ thuận với tiết diện lỗ Mặt khác nếu xét trong cùng một đơn vị

T 2

T 1

thời gian thì nếu nhiệt độ càng cao, tốc độ chuyển động nhiệt của các phân tử càng lớn thì số phân tử đi qua lỗ càng tăng Từ các lập luận trên ta có:

1n1v1S = 1n2v2S ⇔n1v1 =n2v2 (1)

Mặt khác, theo phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử chất khí:

n1 = p1 ; n2 = p2 (2) kT1 kT

2

Từ (1)(2)(3) ta thu được:

p1

= T1 (4) p2

T2

p1 = p2 ⇒ p1 =V2m1T1p2

V1m2T2

Bài 4

Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử được giam trong một xy lanh dài nằm ngang có dạng hình trụ Xy lanh ngăn cách bên ngoài bằng

hai pit tông hai đầu Mỗi pit tông có khối lượng m và có thể trượt không ma sát dọc theo pit tông Ban đầu truyền cho các xy lanh vận tốc ban đầu v và 3v theo cùng chiều Nhiệt

độ ban đầu của khí trong xy lanh là T0 Coi xy lanh rất dài Tìm nhiệt độ cực đại của khí trong xy lanh Biết rằng xy lanh cách nhiệt với bên ngoài

Hướng dẫn giải:

Khi pit tông (1) dịch chuyển vận tốc 3v, pit tông

(2) dịch chuyển vận tốc v làm khí trong xy lanh bị

(1) (2) nén lại, quá trình này làm tăng áp suất khí bên trong Do đó làm xuất hiện lực F1 có tác dụng giảm vận tốc pit tông (1) và lực F2 làm tăng vận tốc pit tông (2) Kết thúc quá trình nén này cả hai pit tông có cùng vận tốc Sau đó các lực này làm cho khí trong xy lanh bị giãn ra, nhiệt độ

v 3v

v 3v

1

sẽ giảm Vì vậy nhiệt độ cực đại của khí trong xy lanh có được khi kết thúc quá trình nén khí, lúc đó cả hai pit tông có cùng vận tốc v/ nào đó

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hai thời điểm ban đầu và lúc hai pit tông có cùng vận tốc:

Theo đinh lí động năng, công do khối khí thực hiện:

A =ΔW đ = 12mv/2 − 1[m(3v)2 +mv2 ]=−mv2(2)

Độ biến thiên nội năng của khí trong xy lanh:

Áp dụng Nguyên lí I nhiệt động lực học:

Mà xy lanh cách nhiệt nên: Q = 0 (5) Từ

(1), (2),(3),(4), (5) ta thu được:

T =T0 + 2 mv2 (6)

3R

Bài 5

Một khối khí lí tưởng đơn nguyên tử chuyển từ

trạng thái (1) sang trạng thái (2) theo hai cách: (1)

→(3) →(2) và (1) →(4) →(2) được biểu diễn ở đồ thị

p-V dưới đây Hãy tìm tỉ số nhiệt lượng cần truyền

cho khối khí trong hai quá trình đó

Hướng dẫn giải:

Xét quá trình (1) →(3) →(2):

Quá trình (1) →(3): đẳng tích:

Q13 =C V(T3 −T1)= nR(T3 −T1)= 3(2p0V0 −p0V0)= 3 p0V0 (1)

1

4 2V 0

V 0

O

P 0

2p 0

p

V

Ở đây chúng ta đã sử dụng phương trình Clappayron – Mendeleev: pV =nRT cho các trạng thái

Quá trình (3) →(2): đẳng áp:

Q32 =C p(T2 −T3)= nR(T2 −T3)= (2p02V0 −p02V0)=5p0V0 (2)

Nhiệt lượng trao đổi trong cả quá trình (1) →(3) →(2):

2

Xét quá trình (1) →(4) →(2):

Quá trình (1) →(4): đẳng áp:

Q14 =C V(T4 −T1)= nR(T4 −T1)= 5(p02V0 −p0V0)= 5 p0V0 (4)

Quá trình (4) →(2): đẳng tích:

Q42 =C p(T4 −T2)= nR(T2 −T4)= 3(p02V0 −2p02V0)=3p0V0 (5)

2

Nhiệt lượng trao đổi trong cả quá trình (1) →(4) →(2):

2

Từ (3) và (6), tỉ số nhiệt lượng truyền cho khối khí theo cách: (1)→(3) →(2) và (1)→(4)→(2) là:

13

Q132 2 p0V0 =13 (7)

=

Q142 11 p0V 11

2

Bài 6

Một động cơ nhiệt có tác nhân là khí lí tưởng đơn p

nguyên tử có thể hoạt động theo hai chu trình được biểu

3p 0

1

4

diễn như đồ thị cho bởi hình vẽ bên Hãy tìm hiệu suất của động cơ theo hai chu trình trên Chu trình nào có P0

Hướng dẫn giải:

Công của hai chu trình bằng nhau và bằng diện tích hình tam giác giới hạn hai chu trình:

A1231 =A1341 = 1(3p0 −p0)(3V0 −V0)= 2p0V0 = 2.nRT1 (1)

2

Xét chu trình (1) →(2) →(3)→(1) :

Quá trình (1) →(2): nhận nhiệt đẳng tích tăng áp suất

2

Ở đây chúng ta đã sử dụng phương trình Clappayron – Mendeleev: pV =nRT cho các trạng thái

Quá trình (2) →(3): nhận nhiệt đẳng áp tăng thể tích

Q23 =C p(T3 −T2)= nR(T3 −T2)= 5(3p03V0 −3p0V0)=15p0V0

Quá trình (3) →(1): tỏa nhiệt giảm thể tích và nội năng Vậy

nhiệt lượng nhận tổng cộng trong chu trình này là:

Q1231 =Q12 +Q23 =18nRT1 (4)

Hiệu suất của chu trình này là:

H1231 = A = 1 (5)

Q1231 9

Xét chu trình (1) →(3)→((4) →(1):

Quá trình (1) →(3): nhận nhiệt tăng áp suất và thể tích Dựa vào hình vẽ ta tính công bằng diện tích hình thang giới hạn 1-3-3V0-V0 và tính biến thiên nội năng, kết quả:

Q13 =A13 +ΔU13 = (3p0 +p 0 )(3V0 −V 0 )+ 3nR(T3 −T1)

2 2

Quá trình (3) →(4): tỏa nhiệt đẳng tích, giảm áp

P0 suất

Quá trình (4) →(1): tỏa nhiệt đẳng áp, giảm thể tích

0 T0 2T0 Vậy nhiệt lượng nhận tổng cộng trong chu trình này

là:

Q1341 =Q13 =16nRT1 (7)

Hiệu suất của chu trình này là:

1341 A 1

Q1341 8

Bài 7 Một bình có thể tích V chứa một mol khí lí tưởng và có một cái van bảo

hiểm là một xilanh (có kích thước rất nhỏ so với bình) trong đó có một pít tông diện tích

S, giữ bằng l xo có độ cứng k Khi nhiệt độ của khí là T1 thì píttông ở cách lỗ thoát khí một đoạn là L Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T2 thì khí thoát ra ngoài Tính T2?

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu P1 và P2 là các áp suất ứng với nhiệt độ T1và T2; Δl là độ co ban đầu của l xo,

áp dụng điều kiện cân bằng của piston ta luôn có:

k Δl = p1S; k.( Δl +L) = p2S => k.L = (p2 −p1)S; (1) ;

L

T

3

4

Vì thể tích của xilanh không đáng kể so với thể tích V của bình nên có thể coi

thể tích của khối khí không đổi và bằng V ;………

áp dụng phương trình trạng thái ta luôn có:

1 =R; => ; P1.V=RT1

P2V =R => ; P2.V=RT2 => P2 −P1

T2

⎧⎪P2 −P1 = R(T2 −T1 )

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình ⎨ V

Như vậy khí thoát ra ngoài khi nhiệt độ của khí lên đến: T2 =T1 + kLV

RS

Bài 8 Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1 được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1 Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

a, Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4

b, Hãy nói rõ chu trình này gồm các đẳng quá trình nào Vẽ lại chu trình này trên giản

đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình)

c, Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình Hướng

dẫn giải:

a)Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng tích, vậy thể tích

ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4 Sử dụng phương trình C-M ở

trạng thái 1 ta có:

PV1 1 =mµRT1, suy ra: V1 =mµ RTP11

Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta được: V1 = 1 8,31.3004 2.105 = 3,12.10−3 3m

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau: 1 –

2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt; 3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau

Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V2

= 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3 Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:

A12 = p V1 2( −V1) = 2.10 (6,24.105−3 −3,12.10 )−3 = 6,24.102J

A23 = p V2 2 ln V3 = 2.10 6,24.10 5−3 ln2 = 8,65.10 2J

V2

A34 = p V3 4( −V3) =10 (3,12.105 −3 −12,48.10 )−3

=−9,36.102J A41 =0 vì đây là quá trình đẳng áp

Bài 9 Có 0,4g khí Hiđrô ở nhiệt độ , áp suất Pa, được biến đổi trạng thái qua 2

giai đoạn: nén đẳng nhiệt đến áp suất tăng gấp đôi, sau đó cho dãn nở đẳng áp trở về thể tích ban đầu

a Xác định các thông số (P, V, T) chưa biết của từng trạng thái

b Vẽ đồ thị mô tả quá trình biến đổi của khối khí trên trong hệ OPV Hướng

dẫn giải:

- Tóm tắt

- Vậy ta sẽ tìm

+ Tìm : đề cho m, P1, T1, ta sử dụng phương trình Cla-pê-rôn – Men-đê-lê-ép

, với R=8,31J/K.mol

a)

V(l)

0 3,12

3

4

12,4

1

,

2

3

4

12,4

,24 6

300 600

150

+ Tìm : Từ TT1 sang TT2 biến đổi đẳng nhiệt, ta sử dụng định luật Bôi -lơ – Ma-ri-ốt

+ Tìm : Từ TT2 sang TT3 biến đổi đẳng áp, ta áp dụng định luật Gay-luy-xắc

+ Vẽ đồ thị trong hệ OPV

- Xác định các điểm (với các giá trị đề cho và vừa tìm ra) trên

hệ OPV

- Nối điểm (1) và (2) bằng đường hyperbol

- Nối điểm (2) và (3) là đường thẳng vuông góc với OP

Bài 10 Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau bằng một ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp một van K Lúc đầu K đóng Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M, chứa một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T0 Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí Phần trên của pit-tông trong hai xi lanh là chân không Sau đó van K được mở để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2 Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn c n khoảng trống Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí; ma sát

giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ Hướng dẫn giải:

Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2

Kí hiệu: H0 – độ cao cột khí trong bình 1 khi K chưa mở;

, ,

K

H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng.

Áp dụng nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:

3νRT T( − 0 )=MgH mgH 0 −+νµg (H H0 − )

Trước khi K mở, ở xi lanh 1:

P0 = Mg ;V H S0 = 0  MgH0 = νRT0 gH0 =νRT0

Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2: gH =νRT m

Vậy: 32 νRT T( − 0 )= νRT T( 0 − )+ ν 2 µ ( νMRT0 − νmRT)T T= 0 1+ 52 ννMµµ= 0,98T0

1+

5M

Bài 11 Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần nhờ một pit-tông

mỏng dẫn nhiệt Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một l xo nhẹ Ở hai bên của pit-tông đều có ν mol khí lí tưởng đơn nguyên tử Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của l xo lúc chưa dãn là ℓ/2 Ở trạng thái ban đầu l xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt

độ của khí trong hai phần của xi lanh là T Sau đó, người ta đục một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh ΔT sau khi khí trong

xi lanh đã cân bằng Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, l xo và ma sát giữa

pit-tông và xi lanh Hướng dẫn giải:

Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của l so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây

ra bởi độ chênh lệch về áp suất ở hai bên của pit-tông

( νRT − x) (− νl RT + x) =−kx ⇒ k =νRTx ⎜⎜⎜ l 1+ x − 3l1− x ⎟⎟⎟

3l

Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của l xo bằng không Toàn bộ năng lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong l xo biến thành nội năng của khí, nên: kx2 =32vR TΔ

Vậy: ΔT = kx2 = x⎜⎜ l 1 − 3l1 ⎟⎟⎟T = 23 (x l +2 )(3lx−2lx−2 )x T

Bài 12 Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có

nhốt 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai

pittông cách nhiệt có khối lượng bằng nhau và bằng M có

thể chuyển động không ma sát trong xilanh Lúc đầu hai

pittông đứng yên, nhiệt độ của khí trong xilanh là To Truyền

cho hai pittông các vận tốc v1, v2 cùng chiều (v1=3vo, v2=vo) Tìm nhiệt độ cực đại mà khí

trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không Hướng dẫn giải:

- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo

phương ngang là lực đẩy F1 ngược chiều v1 nên V

pittông (1) chuyển động chậm dần đều F2

-v 2Đố nên pittông (2) chuyi với pittông (2): tểươn ng tđộng

(2)

- Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí

nhốt trong xi lanh chuyển động theo

- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc

của pittông (1) đối với pittông (2) là: v12 =v1 −v2 →

pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm dần rồi dừng lại lúc to,

sau đó t>to thì pittông (1) chuyển động xa dần với

pittông (2) và khí lại giãn nở

- Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc t<to: khí bị nén, G chuyển động về phía pittông (2)

- Lúc t>to: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2) Vậy ở nhiệt độ to thì

vG=0 → cả hai pittông cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v

- Định luật bảo toàn động lượng ta có:

M3vo+Mvo=(2M+m)v→ v=4Mvo/(2M+m)

- Động năng của hệ lúc đầu: Wđ1= 1M(v12 +v2 )=5Mvo

2

- Động năng của hệ lúc ở to là: Wđ2= 1(2M +m)v2

2

→ Độ biến thiên động năng: ΔW=Wđ2-Wđ1= Mv o2 (2M +5m)

2M +m

- Nội năng của khí: U = i nRT = 3nRT →ΔU = 3nR ΔT = 3nR(Tmax −T o)

V1

F1