bài giảng cơ học lượng tử

Sự biến đổi theo thời gian của trạng thái lượng tử.. Tiên đề thứ nhì liên quan đến sự biến đổi theo thời gian của một trạng thái lượng tử, được biểu thị qua phương trình Schrödinger, là

Các tiên đề của cơ học lượng tử

2.1 Năm tiên đề của cơ học lượng tử.

2.1.1 Tiên đề 1 Trạng thái lượng tử

2.1.2 Tiên đề 2 Sự biến đổi theo thời gian của trạng thái lượng tử.

2.1.3 Tiên đề 3 Đại lượng vật lý thực nghiệm và toán tử.

2.1.4 Tiên đề 4 Giá trị của một đại lượng vật lý

2.1.5 Tiên đề 5 Giá trị trung bình của một đại lượng vật lý.

2.2 Hệ quả của các tiên đề.

2.2.1 Tính chất của các trạng thái dừng

2.2.2 Tính tương hợp của các đại lượng vật lý

2.2.3 Định lý biến phân

2.2.4 Nguyên tắc chung về phổ học

Chương 2

POSTULATES OF QUANTUM MECHANICS

Mục đích

Trình bày các tiên đề cơ học lượng tử

và các hệ quả có liên quan

Các tiên đề cơ học lượng tử

Các nguyên tắc chung của cơ học lượng tử

được phát biểu dưới dạng 5 tiên đề

Tiên đề thứ nhất định nghĩa khái niệm “ trạng thái lượng tử”.

Khái niệm này được dùng thay cho khái niệm cổ điển “trạng

thái” được định nghĩa qua các dữ liệu về vị trí và vận tốc của

các hạt tạo thành hệ.

Tiên đề thứ nhì liên quan đến sự biến đổi theo thời gian của

một trạng thái lượng tử, được biểu thị qua phương trình

Schrödinger, là phương trình có vai trò như phương trình

Newton trong cơ học cổ điển.

Tiên đề thứ ba là tiên đề về các tính chất vật lý có thể nhận

biết được và các toán tử.

Tiên đề thứ tư đề cập đến giá trị đo được của các tính chất vật

lý.

Tiên đề thứ năm là tiên đề về giá trị trung bình của một tính

chất vật lý.

Tiên đề 1: Trạng thái lượng tử

“Trạng thái của một hệ lượng tử có thể

được đặc trưng đầy đủ bằng một hàm ψ(q,t)

theo tọa độ và thời gian (q là tập hợp các

tọa độ độc lập q1, q2, …, qn của hệ và t là

thời gian), được gọi là hàm trạng thái hay

hàm sóng, có mô đun bình phương |ψ|2 cho

biết mật độ xác suất tìm thấy tức thời hệ có

các tọa độ q vào thời điểm t

Tổng mật độ xác suất tại thời điểm t trong

thể tích vô cùng nhỏ dV=dq1.dq2 dqn

Hệ quả

Hàm ψ(q,t) phải hữu hạn , liên tục, đơn trị

và có thể lấy tích phân được trong toàn

vùng biến thiên của các biến q

“Xác suất tìm thấy hệ trong toàn bộ không gian”,

là một sự kiện chắc chắn, phải là 1

1







cách biểu diễn của Dirac

Tiên đề 2: Sự biến đổi theo thời

gian của một trạng thái lượng tử

“Nếu hệ không bị nhiễu loạn, sự biến đổi

trạng thái của hệ được chi phối bởi phương

trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian”

Ĥ là toán tử hamilton của hệ

Cần lưu ý

Phương trình Schrödinger là phương trình

bậc 1 theo thời gian

Phương trình này mô tả sự phát triển theo

thời gian của trạng thái lượng tử: nếu vào

thời điểm t 0 biết được hàm trạng thái ψ thì

hàm trạng thái được xác định một cách rõ

ràng vào mọi thời điểm t>t 0 sau đó

Trạng thái dừng

Trong trường hợp thế năng V(q1, q2, …)

không phụ thuộc vào thời gian, tương ứng

với một hệ thống bảo toàn (tổng các lực tác

động triệt tiêu) trong cơ học cổ điển, có một

tập hợp các nghiệm riêng của phương trình

Schrödinger có dạng:

Trong phương trình Schrödinger

không phụ thuộc vào thời gian

và thoả:

nghĩa là

là một hàm riêng của toán tử hamilton Ĥ với trị riêng Ek

Các hàm riêng này mô tả các trạng thái đặc thù,

được gọi là trạng thái dừng

được gọi là phương trình Schrödinger

không phụ thuộc vào thời gian và mô tả các

trạng thái dừng và chỉ có nghĩa khi hệ thống

là hệ thống bảo toàn

Phương trình trị riêng

Trong một hệ thống bảo toàn, một trạng thái bất

kỳ, được mô tả bởi một nghiệm tổng quát ψgen

của phương trình Schrödinger phụ thuộc thời

gian, có thể được biểu diễn dưới dạng các ψk

của các trạng thái dừng, theo hệ thức

Các hệ số c k trong biểu thức trên không phụ thuộc vào thời gian

và được xác định một cách rõ ràng bởi trạng thái ban đầu

Phương trình Schrödinger

không phụ thuộc thời gian

được đề cập thường xuyên trong hoá lượng tử: trong

thực tế phải tìm hàm sóng mô tả các trạng thái dừng

và nhất là cần xác định trạng thái có năng lượng thấp

nhất, trạng thái cơ bản, của các hệ (nguyên tử và phân

tử).

Cần nhớ

Chỉ phương trình Schrödinger phụ thuộc thời

gian mới là phương trình cơ bản của cơ học

lượng tử: phương trình này giữ vai trò như

là một phương trình chuyển động

2.1.3 Tiên đề 3:

Đại lượng vật lý thực nghiệm và toán tử

Các tính chất có thể quan sát được

Thí dụ:

Chứng minh

2.1.4 Tiên đề 4:

Giá trị của một đại lượng vật lý

2.1.5 Tiên đề 5 : Giá trị trung bình của một đại lượng vật lý

Giải thích

2.2 HỆ QUẢ CỦA CÁC TIÊN ĐỀ

2.2.1 Tính chất của các trạng thái dừng

2.2.2 Tính tương hợp

của các đại lượng vật lý

Thí dụ