bài giảng cơ học lượng tử

Hiện tượng giao thoa CHCĐ không thể dùng để mô tả đúng đắn động thái của các hạt tử rất nhỏ, như điện tử và hạt nhân trong nguyên tử và phân tử.. Nguyên Lý Bất Định Heisenberg Werner He

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ SỞ

1.1 Quá trình phát triển

Vào cuối thế kỷ 17, Isaac Newton được xem như là

người xây dựng nên Cơ Học Cổ Điển (CHCĐ),

gồm các quy luật về chuyển động của các vật thể





 tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian

theo hướng đã định

Động lượng (xung lượng) - Động năng

(Linear momentum – Kinetic energy)

dy

dV e

dz

dV e

dy

dV e

F       

khi biểu diễn dưới dạng động lượng:

) ( V m 2

p E

E E

2 pot kin tot

p H





biểu thức Hamilton có tầm quan trọng đặc biệt

trong sự chuyển từ vật lý cổ điển sang cơ học lượng tử

CHCĐ thất bại khi được dùng cho sự truyền

những lượng năng lượng rất nhỏ

 4 Hiện tượng giao thoa

CHCĐ không thể dùng để mô tả đúng đắn động thái của các hạt

tử rất nhỏ, như điện tử và hạt nhân trong nguyên tử và phân tử

Động thái của các hạt tử hạt tử này được mô tả bằng một tập

hợp các quy luật được gọi là Cơ Học Lượng Tử (CHLT)

Albert Einstein (1879-1955)

Hiệu ứng quang điện.

Năm 1905, đã giải quyết 3 vấn đề tồn tại trong vật lý: hiệu ứng quang điện, chuyển động Brown và

lý thuyết tương đối.

Niels Bohr (1885-1962)

Mô hình Bohr về nguyên tử.

Năm 1913, Bohr đã áp dụng (trước tiên) lý thuyết lượng tử vào cấu trúc nguyên tử Giải thích được quang phổ phát xạ của hydro nguyên tử Viện Bohr trở thành trung tâm dẫn đầu về vật lý lượng tử với các nhà vật lý lý thuyết trẻ đến từ khắp nơi trên thế giới.

Werner Heisenberg (1901-1976)

Cơ học lượng tử.

Năm 1925, đã phát triển một lãnh vực được gọi là

cơ học ma trận (matrix mechanics) Kết quả của các công trình của Heisenberg là nguyên lý bất định (1927, uncertainty principle): “không thể xác định vị trí và động lượng đồng thời”.

Louis de Broglie (1892-1987)

Bản chất sóng của điện tử.

Năm 1924, Louis de Broglie đề xuất rằng ánh sáng không phải là thực thể duy nhất thể hiện lưỡng tính sóng-hạt “sóng vật chất” (matter waves),

λ = h / mv

1932 Carl Anderson đã tìm ra positrons Dirac cũng tiên đoán rằng mỗi hạt phải có một phản hạt (antiparticle, như antiproton, antineutron, ).

Linus Pauling (1901 - 1994)

Nối hóa học.

Giải thích việc tạo liên kết hóa học.

Xác lập thang độ âm điện Pauling của các nguyên tố hóa học.

Sự tạp chủng hóa vân đạo Sự cộng hưởng.

Giải Nobel

Hoá học 1954

Hoà bình 1962

1.2 Bản chất sóng của các vi hạt.

• Động thái của các điện tử và các thành phần

vi mô khác của nguyên tử khác biệt so với

động thái thường thấy trong thế giới vĩ mô.

• Một vật thể vi mô có thể có động thái vừa

như hạt tử vừa như sóng Do động thái này,

có một số điều cần lưu ý về độ chính xác của

việc đo đạc và mô tả các tính chất của một

hạt vi mô.

Giả Thuyết De Broglie

Louis de Broglie đặt vấn đề: nếu bức xạ điện từ (vốn

là sóng) có thể có tính chất giống một hạt tử thì các

điện tử và các hạt vi mô khác có thể biểu lộ tính chất

giống như sóng?

Năm 1925, trong luận văn Ph.D của mình, de Broglie

đã dự đoán rằng một hạt tử có khối lượng m và vận

tốc v sẽ biểu lộ một độ dài sóng λ, tính theo hệ thức:

Ngay sau đó, C.J Davisson và L.H Germer chứng

minh bằng thực nghiệm rằng điện tử có thể bị nhiễu

xạ, như ánh sáng.

Nhiễu xạ là một tính chất của các sóng, như vậy các

thí nghiệm của Davisson-Germer cho thấy rằng các

điện tử có các đặc tính của sóng.

Hiện tượng vật chất vừa biểu lộ tính chất như sóng

vừa biểu lộ tính chất như hạt được gọi là bản chất nhị

nguyên của vật chất.

Thí dụ: Tính độ dài sóng tương ứng với một điện tử di chuyển

với vận tốc 1.000×107m.s-1 và có khối lượng 9.109×10-28g

Giải: Dùng phương trình de Broglie để giải bài toán này.

Trước tiên phải đổi đơn vị của hằng số Planck.

Tương tự: tính độ dài sóng của một quả cầu có khối

lượng 100 g di chuyển với vận tốc 35 m.s-1.

Lời giải: 1.9×10-34m

(quá nhỏ để có thể nhận biết hay đo đạc)

1.3 Nguyên Lý Bất Định Heisenberg

Werner Heisenberg xem xét giới hạn chính xác có thể đo lường các đặc

tính của điện tử hay hạt vi mô khác Ông xác định có một giới hạn

về độ chính xác khi đo vừa vị trí và động lượng.

• Khi đo động lượng của hạt tử càng chính xác thì việc xác định vị trí

của hạt tử càng kém chính xác, và ngược lại.

• Nếu xác định vị trí và động lượng cùng lúc, các giá trị của một trong

hai đại lượng hay của cả hai đại lượng là không chính xác.

Điều này được phát biểu trong nguyên lý bất định Heisenberg:

Phương trình trên cho thấy có một giới hạn về độ chính xác khi xác

định vị trí của một vật thể và động lượng của vật ấy.

Thí dụ, nếu cải thiện phép xác định vị trí của điện tử sao cho độ bất

Do tích số x  (mv) phải lớn hơn hay bằng h/2π mà trị số h/2π thì quá

nhỏ, nên độ bất định về vị trí hay về động lượng của một vật thể vĩ mô

như quả banh là quá nhỏ để có thể nhận thấy Tuy nhiên, khối lượng của

của một vật thể vi mô, như điện tử, là nhỏ đủ để độ bất định là tương đối

lớn và có ý nghĩa.

h/2π = 1.05×10-34kg.m2.s-1

1.4 Phương trình Schrödinger

Hàm sóng

Louis de Broglie (1892-1987) đề ra ý tưởng là

điện tử, trước đó được xem là hạt tử, cũng có

tính chất sóng.

Theo hướng suy nghĩ ấy, Erwin Schrödinger

(1887-1961, nhà vật lý Áo) đã khảo sát cấu

trúc nguyên tử bằng cách nhấn mạnh đến các

đặc tính sóng của điện tử

Giới thiệu 

Cơ học ma trận (1925) Cơ học sóng (1926)

Lý thuyết mô tả hành vi của các đối tượng trong thế giới vi mô

(đối tượng lượng tử)

Werner Heisenberg Erwin Schrödinger

• dựa trên phép tính ma trận

 tính các giá trị xác suất

• chứa các đ/lượng quan sát hay đo

quan điểm thực chứng: phản

ánh thế giới vi mô mang hình thức

luận thuần túy toán học

• dựa trên sự tương đương của CHLT với pt sóng trong LT dao động

• gắn bó với mô hình ngtử của Bohr

quan điểm thực tế: phản ánh thực tại khách quan thế giới vi mô

Cả 2 đều tương đương về mặt toán học (Dirac) Đều mô tả sự thay đổi

theo thời gian của các trạng thái lượng tử trong một hệ vật lý.

Thực tế: Cơ học sóng đc sử dụng nhiều hơn  pt Schrödinger

nếu giải được phương trình này

thì có thể biết được mọi thông tin về hệ thống

Cơ học lượng tử Hamilton cổ điển

 động lượng

Biểu thức Hamilton cổ điển

) z , y , x ( V ) p p p ( m 2

1

H  2x  2y 2z 

) ( V p m 2

1 ) ( V p p m 2

Hamilton cơ lượng tử

Toán tử Hamilton cơ lượng tử được xây dựng từ biến đổi sau:

H cổ điển ( p p p ) V ( x , y , z )

m 2

2

y y

y i y i y

[ m 2

2 2

2 2

2 2

) z , y , x ( V ] z y

x

[ m 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

z y

x

[ m

2 2

2 2

2 2



chứa mọi thông tin về động học của hạt chuyển động trong trường thế năng V(x,y,z)

PT Schrödinger - Tiên đề 1 CLT

Thay vì nói hạt có vị trí và động lượng xác định

thì mô tả hạt bằng một hàm sóng,

là hàm theo tọa độ của hạt và thời gian

Tính chất sóng của điện tử trong nguyên tử được biểu thị qua

hàm sóng (nghiệm của pt sóng Schrödinger )

ˆ

H    E

m V r t

ih r t t

2 2 2

V: trường thế trong đó hạt tử đang chuyển động.

Ψ (r,t): hàm sóng, phụ thuộc vào tọa độ (r) của hạt tử và thời

gian (t), tích của Ψ và liên hiệp phức Ψ* biểu thị sự phân bố

xác suất của hạt tử.

Phương trình Schrödinger ứng với một tập hợp các hạt tử, như phân tử,

cũng có dạng tương tự như trên với phụ thuộc vào toạ độ (r) của tất cả

các hạt tử vả thời gian (t).

Ý nghĩa vật lý của hàm sóng

Đối với một vật vĩ mô có khối lượng m, khi biết

được tọa độ và vận tốc (hay động lượng) ở một thời

điểm cho trước thì trạng thái của vật ấy sẽ được mô

tả một cách đầy đủ, nghĩa là có thể xác định chính

xác đồng thời tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng

cho trạng thái của hệ Từ những dữ kiện đó có thể

xác định được quỷ đạo chuyển động của vật cũng

như các phương trình mô tả chuyển động và do đó

tiên đoán được chính xác vị trí và các tính chất của

vật ở các thời điểm tiếp theo.

Vật lý cổ điển giúp xác định giá trị của các đại lượng

vật lý.

Đối với các vật vi mô, không thể xác định chính xác-đồng

thời tất cả các đại lượng vật lý (từ hệ thức bất định

Heisenberg).

Như vậy, sự mô tả trạng thái của vật vi mô chỉ được thực

hiện với một số đại lượng vật lý ít hơn (ít chi tiết hơn) so

với vật vĩ mô và được thực hiện qua sự mô tả thống kê.

CHLT giúp xác định xác suất của các đại lượng vật lý có

được

Phương trình Schrödinger

) r ( E

) r (







Giải thích của Max Born

(không phải Niels Bohr, mô hình Bohr về nguyên tử)

• Nếu hàm sóng của một hạt có giá trị ψ tại một điểm x, xác

suất P tìm thấy hạt ở giữa x và (x+dx):

 | 2|dx (nếulà hàm thực) hay

~ | *|dx (nếulà hàm phức,* là liên hiệp phức của)

2: mật độ xác suất tồn tại của vi hạt

• Nếu hàm sóng của một hạt có giá trịtại một điểm r, xác suất

tìm thấy hạt ở trong thể tích vô cùng nhỏ dV=dx.dy.dz ở tại r

Hàm sóng của một electron ở trạng thái năng lượng thấp nhất của

ngtử hydro tỷ lệ với e -r/ao , aolà hằng số, r là khoảng cách giữa

nhân-electron (hàm sóng tùy thuộc chỉ vào r, không tùy thuộc vào góc).

Tính xác suất tương đối tìm thấy electron trong vùng không gian 1.0

pm 3 ở tại a) nhân ; b) cách nhân một khoảng a0

dV e dV e pm

tỉ số giữa 2 xác suất: 1 : 0,14 = 7,1

Nhận xét:

Electron có thể tìm thấy ở tại nhân dễ dàng hơn (gấp 7,1 lần)

tìm thấy tại khoảng cách a0trong cùng thể tích vi cấp

Electron tích điện âm bị hút bởi nhân tích điện dương và vì vậy

có thể tìm thấy ở gần nhân

Với sự giải thích trên về ψ:

•Nếu a  x  b: xác suất tìm thấy hạt ( ) ( ) P (a x b)

này gọi là hàm chuẩn hóa

Hàm sóng ψ cần thỏa mãn các đk sau:

•Hữu hạn (FINITE)

•Đơn trị (SINGLE VALUED)

•Liên tục (CONTINUOUS)

a)không chấp nhận vì hàm không liên tục

b)không chấp nhận vì

hệ số góc của hàm không liên tục

c)không chấp nhận vì hàm không đơn trị

d)không chấp nhận vì hàm vô định trong vùng khảo sát

Hàm sóng của một hạt trong hệ thống 1 thứ nguyên (1D) có dạng

 = a-1/2e-x/a ở t = 0, a = 1.0000 nm (1nm = 10-9m) Vị trí của

hạt được đo ở t = 0

a) Tínhxác suất tìm thấy hạt ở giữa x =1,5000 nm &x = 1,5001nm.

b) Tính xác suất tìm thấy hạt ở giữa x =0 và x = 2 nm

a) Tínhxác suất tìm thấy hạt ở giữa x =1,5000 nm &x = 1,5001nm.

b) Tính xác suất tìm thấy hạt ở giữa x =0 và x = 2 nm

Gọi  là hàm riêng của Hamilton chưa chuẩn hóa

N là hằng số chuẩn hóa: N là hàm chuẩn hóa Xác định N

Hàm sóng của một electron ở trạng thái năng lượng thấp nhất của

ngtử hydro tỷ lệ với e -r/ao , aolà hằng số, r là khoảng cách giữa

nhân-electron (hàm sóng tùy thuộc chỉ vào r, không tùy thuộc vào góc).

Hãy chuẩn hóa hàm sóng này

Hàm sóng cho bởi một hạt trong khoảng –a < x < a tỉ lệ với

cos(x/2a) Hãy chuẩn hóa hàm sóng này

Hai hàm ψi và ψj được gọi là trực giao với nhau

nếu tích vô hướng của chúng bằng 0

 *ijd   0 thường ký hiệu là <ψi|ψj>=0

Hàm sóng-Mặt ba chiều

Để có một ý niệm vật lý rõ hơn về vân đạo nguyên tử, từ hàm sóng có thể xác định được những mặt ba chiều chứa các điểm

có hy vọng tìm thấy điện tử bằng nhau giới hạn vùng không gian quanh hạt nhân trong đó có hy vọng tìm được điện tử nhiều nhất (thí dụ xác suất tìm thấy điện

tử khoảng 90-99%): vì lý do tiện lợi thường gọi vùng không gian ấy là vân đạo nguyên tử

Vân Đạo Nguyên Tử

Ý Nghĩa Về Mặt Toán Học Và Vật Lý

Về mặt toán học, vân đạo nguyên tử là hàm sóng, có đặc tính liên tục, đơn trị, hữu hạn và tuỳ thuộc vào ba số nguyên n, l, m được gọi lần lượt là ba số lượng tử chính, phụ và từ Giá trị E tương ứng với từng vân đạo nguyên

tử được gọi là năng lượng của vân đạo nguyên tử, có đặc tính gián đoạn và tuỳ thuộc vào số lượng tử chính n.

Về mặt vật lý, vân đạo nguyên tử là các mặt ba chiều chứa các điểm có hy vọng tìm thấy điện tử bằng nhau giới hạn vùng không gian quanh hạt nhân trong đó có hy vọng tìm được điện tử nhiều nhất (thí dụ tổng xác suất tìm thấy điện tử khoảng 90-99%).

1.5 Toán tử Phương trình trị riêng,

Hàm riêng Trị riêng

1.5.1 Toán tử

Định nghĩa:

“Toán tử là một quy tắc biến đổi một hàm số thành một hàm số khác”

I N Levine, Quantum Chemistry Prentice Hall, Inc., NJ, 5thEd.,

2000 trang 35.

Ký hiệu Âf(x)=g(x): toán tử Â biến đổi hàm số f(x) thành hàm số g(x)

Dấu mũ (^) để chỉ một toán tử.

“Toán tử là một ký hiệu để chỉ một phép tính được thực hiện lên

hàm số đặt sau ký hiệu ấy để cho kết quả là một hàm số mới”

McQuarrie D A.; Quantum Chemistry University Science Books,

Thí dụ 1.

với một hàm số f(x), như f(x)=2x2+3x+4, quy tắc lấy đạo hàm bậc 1

theo x, d/dx, là một toán tử biến đổi f(x) thành hàm f’(x), là f’(x)=4x+3

Quy tắc lấy tích phân, căn bậc 2 cũng là các toán tử

Một con số cũng được xem như toán tử

(vì có thể làm một hàm biến đổi)

Một số toán tử thường dùng

Toán tử - Phương trình Schrödinger

[ m

2 2 2 2 2 2



) z , y , x ( V ] z y x

[ m

2

2 2 2 2 2 2

Toán tử "D" lấy đạo hàm của hàm số

trong hai thí dụ sau cùng, thứ tự trước sau khác nhau của các toán tử đã dẫn đến kết quả khác nhau

Một số quy tắc tính toán về toán tử

Tính giao hoán – Giao hoán tử

Tuy nhiên, không giống như đối với các số, các

toán tử không nhất thiết phải tuân theo quy tắc

giao hoán của phép nhân Các toán tử có thể

giao hoán với nhau hay là không Đây là một

điều cực kỳ quan trọng và đưa đến những hệ

quả rất quan trọng đối với các toán tử cơ học

lượng tử Để khảo sát tính chất giao hoán, một

thực thể mới đã được định nghĩa:

giao hoán tử của hai toán tử

Định nghĩa giao hoán tử

Một số thí dụ về giao hoán tử

Toán tử tuyến tính

(linear operators)

Toán tử tuyến tính: phải thỏa hai tính chất:

các toán tử được dùng trong cơ học lượng tử là các toán tử tuyến tính

Thí dụ về toán tử tuyến tính

& không tuyến tính

Một số đẳng thức của các toán tử tuyến tính

1.5.2 Phương trình trị riêng

Vấn đề: biết toán tử, tìm các hàm riêng của toán tử cùng các trị riêng

bằng cách giải phương trình trị riêng

Thí dụ

x x x

e3edx

de

dx

Toán tử: toán tử lấy đạo hàm theo x

3x2không phải là một hàm riêng của toán tử lấy đạo hàm.

Các bài toán CHLT liên quan mật thiết với các phương trình trị riêng

Đặc tính có thể quan sát được của hệ khảo sát (năng lượng, động

lượng, moment lưỡng cực, …) có toán tử tương ứng

Các hàm riêng là các hàm sóng của hệ thống và các trị riêng là giá trị

của đặc tính.

Phương trình Schrödinger là một phương trình trị riêng

Hamilton Ĥ là toán tử năng lượng của hệ thống

E là trị riêng của toán tử Ĥ ứng với hàm riêng ψ