Phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử

Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Lời cam đoan 3

Mở đầu 4

1.Lý do chọn đề tài 4

2.Mục đích nghiên cứu 4

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4.Đối tượng nghiên cứu 4

5.Phương pháp nghiên cứu 4

Nội dung 5

Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng 5

1.1.Cơ sở lý thuyết 5

1.2.Bài tập 6

Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử 11

2.1.Cơ sở lý thuyết 11

2.2.Bài tập 11

Chương 3: Tìm xác suất 19

3.1.Cơ sở lý thuyết 19

3.2.Bài tập 20

Chương 4: Tính giá trị trung bình 26

4.1.Cơ sở lý thuyết 26

4.2.Bài tập 26

Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyển động 34

5.1.Cơ sở lý thuyết 34

5.1.1.Phương trình Schrodinger 34

5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản 35

5.2.Bài tập 36

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài được đầy đủ và hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Sinh viên thực hiện

Trương Thu Liên

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và

nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy

giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của

TS Trần Thái Hoa

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương pháp giải một

số dạng bài tập cơ học lượng tử” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề

tài khác

Sinh viên thực hiện:

Trương Thu Liên

Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết Vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại học đó là môn cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30 của thế kỷ XX Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập

cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực

Từ những đặc điểm nêu trên tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử” để làm luận văn tốt nghiệp của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài tập cơ học lượng tử cơ bản

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của cơ học lượng tử

4.Đối tượng nghiên cứu

Bài tập cơ học lượng tử

5.Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp toán học

Bài 1.2.Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mô tả

bằng hàm sóng:  r Aear Trong đó a là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất, A:

hệ số chuẩn hoá Hãy chuẩn hoá hàm sóng trên

Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử 2.1.Cơ sở lý thuyết

Phương trình Fx fx (*) không thoả mãn với  x X và  f T mà chỉ với f nào đó và một lớp x nào đó (*) gọi là phương trình cho giá trị riêng (hoặc trị riêng) và vectơ riêng của toán tử F

Với: f là giá trị riêng;

 (theo kết quả bài 1.1.c)

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

Bài 2.2.Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử sau:

A.e A.e   e  1 hay k  0; 1; 2;

Vậy hàm riêng và trị riêng của T có dạng:

Đặt: k 2mE2 y1,2  ik

Vậy nghiệm tổng quát của (3) là:

là hạt ở trong giếng thế Vậy ứng với n0 bị loại trừ

n 2

2mE

nk

nE2ma



 với n 1,2,3, 

Năng lượng của hạt trong giếng thế bị lượng tử hoá, nó có phổ giá đoạn, tỉ

lệ với bình phương số lượng tử n

Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

Bài 2.6.Tìm các trị riêng của toán tử 2

L tương ứng với hàm riêng:

Chương 3: Tìm xác suất 3.1.Cơ sở lý thuyết

Nếu hệ lượng tử nào có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi các hàm sóng  1, 2, ,n thì nó cũng có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi các tổ hợp tuyến tính bất kỳ:

Nếu  được chuẩn hoá n 2 n 2

  Vì vậy mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của

hạt nằm trong trạng thái này là:

x x x

a

x 0

Vậy xác suất để đo được giá trị p của xung lượng một hạt lượng tử ở xtrạng thái n x là w p x :

Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá trị p

xác định của xung lượng của một hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng  r xác định nào đó

 xác suất đo được giá trị p

của xung lượng ở trạng thái  r là:

2

3 p

Lời giải

thì trong toạ độ cầu ta có:



 

1 2

xác suất đo được giá trị p

của xung lượng:

 

3 5 2

Trong toạ độ cầu của không gian xung lượng p , p , p thì x y z

Chương 4: Tính giá trị trung bình 4.1.Cơ sở lý thuyết

Nếu hệ lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng     n n 1,2,  

các số đo f của đại lượng n F có xác suất đo là Cn 2 Theo lý thuyết xác suất, các số đo fn n 1,2,   sẽ có trị trung bình:

Bài 4.1 Tính giá trị trung bình của phép đo các đại lượng x, x tương ứng 2

với các toán tử nhân  2

x, x và các đại lượng p, p tương ứng với các toán tử: 2

Chứng tỏ hàm  x chưa được chuẩn hoá, do vậy khi tính trị trung bình của các đại lượng vật lý ta cần áp dụng công thức:

2n

xxx

Bài 4.2.Tính các giá trị trung bình: x, x , p , p , u, T, E của dao động tử điều 2 x 2x

hoà một chiều trong trạng thái: n x

2 x

Chương 5: Giải phương trình Schrodinger

cho một số chuyển động 5.1.Cơ sở lý thuyết

Còn nếu u r  u x  thì (2) được viết cho trường hợp một chiều:

5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản

(a)Hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn

16Q

Nếu 0x; xaNếu 0 x a

 

1 4

2 n n

Bài 5.1.Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một

trường thế ba chiều (Giả thiết các chiều độc lập nhau):

2 2

2z

1 n n

2

2 n n

2

3 n n

bộ n ,n ,n khác nhau Cố định 1 2 3 n ,n cho 1 n thay đổi từ 0 đến 2 nn1 khi đó 3

n sẽ thay đổi từ nn10 Các giá trị có thể có của n là 2

Mức không suy biến duy nhất ứng với n0

Bài 5.2.Tìm các mức năng lượng và hàm sóng của một hạt khối lượng m, điện

tích q dao động một chiều dưới tác dụng của điện trường cường độ  không đổi đặt dọc theo phương dao động 0x

2

qq

2 2 2

2 4

qx

Vậy nghiệm của (2):

Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp nên số bài tập đưa ra chưa nhiều và chưa đưa ra được tất cả các dạng bài tập đã trình bày trong các giáo trình

Đây là lần đầu tiên tôi bắt tay vào nghiên cứu môn vật lý lý thuyết cho nên trong quá trình viết cũng như quá trình in ấn không tránh khỏi những sai sót Kính mong các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khoá luận của mình một cách tốt nhất

Tài liệu tham khảo

1 Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội, 2005

2 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên), Bài tập vật lý lý thuyết,tập 2, Nxb Giáo dục

Hà Nội,1977

3 Phạm quý Tư, Cơ học lượng tử, Nxb giáo dục Hà Nội,1986