Chứng minh tương tự EA là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh E của tam giác DOE.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012 – 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
( 3đ ) 1 A =
3 5 7 3 5 21 6 6 21 6 6
2A = 6 2 5 14 6 5 21 6 6 21 6 6
2A = 5 1 2 3 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2A = 5 1 3 5 3 2 3 3 2 3
2A = 4 6 2
A = 24
0.50 0.50
0.25 0.25
2 B = x5 – 10x3 – 15x2 + 2x + 1 với x 2 3
x
x2 7 4 3 1 4 ( 2 3 ) 1 4
4 15
) 4 1 ( 2 3
x
56 209
) 4 15 ( 1 4 ( 2 3 5
x
B = 209x - 56 – 10( 15x – 4 ) – 15(4x – 1 ) + 2x + 1
B = 209x - 56 – 150x + 40 – 60x + 15 + 2x + 1
B = x
B = 2 3
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
2
( 4đ )
1 Giải phương trình: ( x – 2 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) x + 6 ) = 12x2
* x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
( x – 2 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) (x + 6 ) = 12x2
( x- 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1) (x + 6 ) = 12x2
( x2 + x – 6 ) ( x2 + 5x – 6 ) = 12x2
Với x 0, ta được phương trình:
12 ) 5 6 ( ) 1 6
x
x x
x
Đặt t = x 6x ; ta được phương trình:
t2 + 6t – 7 = 0
Tìm được: t1 = 1; t2 = - 7
Tìm được x1 = -2; x2 = 3
2
73 7
3
2
73 7
4
x
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
2.
32 )
( ) (
20 ) (
) (
2 2
2 2
y x y x
y x y x
32 )
( ) (
40 ) 2 2
( ) (
2 2 2
y x y x
y x
y x
8 ) 2
( ) (
20 )
( ) (
2 2
2 2
y xy x
y x
y x y x
20 ) (
) (
8 )
(
2 2 3
y x y x y x
20 ) (
(
2 2
2
y x y x y x
0.50
Trang 2 x2 y2 10
0 10 4 4 2 2 2
x x x x y
0 3 2 2
2
x x x y
2
3 1
x y
x x
1 3 3
1
y x y
x
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
3
( 4đ )
1 x2 = 2y + 2013 Chứng minh A = 2y + 2013 là số chính phương
*Nếu y < 0 thì A không thể là số nguyên
*Một số chính phương khi chia cho 3 hoặc 4 có số dư là 0 hoặc 1
y = 0 được A = 2014 chia cho 4 dư 2
y = 1 được A = 2015 chia cho 3 dư 2
y = 2 được A = 2017 không là số chính phương
y 2 thì A không là số chính phương
* y > 2 thì A chia cho 8 dư 5
Mà số chính phương lẻ chia cho 8 chỉ có thể có số dư là 1
y > 2 thì A không là số chính phương
0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 2.Chứng minh với s Z thì s5 – s 5
Chứng minh được với t, x, y, z Z thì t5 – t 5; x5 – x 5; y5 – y
5; z5 – z 5
Suy ra được s5 + t5 + x5 + y5 + z5 – (s + t + x + y + z ) 5
Do s + t + x + y + z 5 Suy ra : s5 + t5 + x5 + y5 + z5 5
0.50
0.50 0.50 0.50
4
( 7đ )
1
a) Gọi SAMN, SABC, SMNCB lần lượt là diện tích tam giác AMN, tam giác
ABC, tứ giác MNCB
Chứng minh :AMN ABC được : 1.00
0.50
S 2 S
N
S O
M
S 1 A
Trang 31
ABC
AMN
S
S
, suy ra 81
MNCB
AMN S
S
Tính được diện tích tam giác AMN bằng 6cm2
b) Gọi SMOB, SNOC, SMON, SBOC lần lượt là diện tích tam giác MOB,
NOC, MON, BOC
Đặt: SMOB = SNOC = S; SMON = S1; SBOC = S2
Chứng minh được : S2 = 9S1 ( 1 )
S2 = S1.S2 ( 2 )
2S + S1 + S2 = 48 ( 3 )
(1); (2); (3) 2 S1.S2 S1S2 48;
6S1 + S1 + 9S1 = 48
Tính được S1 = 3cm2; S2 = 27cm2
Tìm diện tích tam giác BMO bằng 9cm2
0.50
0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25
2.a
Chứng minh các tam giác ADH,
AOC cân tại D và O
Chứng minh :
B C
A O H A
Dˆ ˆ 90 0 ˆ
Chứng minh ADH AOC
b Chứng minh ADO AHC
Chứng minh: B DˆOD AˆOD OˆAH AˆCH CˆA
B DˆO 90 0 B CˆA 90 0 B AˆC A BˆC
Chứng minh : A DˆEA BˆC ( DE//BC, đồng vị )
Suy ra : B DˆOA DˆE
Chứng minh : DA là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh D của tam
giác DOE
Chứng minh tương tự EA là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh E của
tam giác DOE
Suy ra điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DOE
0.50 0.25 0.25
0.50 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
5
( 2đ )
Với mọi a, b không âm
a b a b2 0
a ba2 2ab b2 0
a ba2 ab b2 ab(ab)
a3 b3 a2b ab2
b
a
3
Chứng minh tương tự : c b bc
c
b
2 2
3
a
c
2 2 3
Suy ra : b c a a ab b bc c ac
a
c c
b b
a
3 3 3
0.50
0.25 0.25 0.25 0.25
O
A
H
Trang 4Hay : ab bc ac
a
c c
b b
a
3 3 3
0.25
*Ghi chú : Học sinh có thể giải theo các cách khác giáo viên nghiên cứu cho điểm đủ.