Định lý hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: - Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.. - Trong 1 đường tròn hai cung
Trang 1
I.LÝ THUYẾT :
A.ĐẠI SỐ
* Phương trình bậc nhất hai ẩn: Có dạng ax+by=c, trong đó a 0 hay b 0 ≠ ≠
* Nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn :
+ = ⇔ = − + ⇔ = − + Nghiệm tổng quát là:
x R
a c
b b
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∈
= − +
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng: (I) ax by c
a x b y c ' ' '
⎧⎪
⎨
⎪⎩
+ = + = trong đó a a b b c c , ', , ', , ' 0 ≠
+ Hệ I có vô số nghiệm, nếu: a b c
a ' = b ' = c '
+ Hệ I vô nghiệm, nếu: a b c
a ' = b ' ≠ c '
+ Hệ I có nghiệm duy nhất, nếu: a b
a ' ≠ b '
* Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp thế và phương pháp cộng đại số
Cách thực hiện phương pháp cộng đại số trong trường hợp cá hệ số của hai ẩn không bằng nhau, không đối nhau:
+ Bước 1: Biến đổi hai phương trình trong hệ sao cho hệ số của ẩn x hoặc ẩn y bằng nhau hoặc đối nhau
+ Bước 2: Nếu hệ số của ẩn x hoặc y bằng nhau (hay đối nhau) thì ta trừ (hay cộng) theo từng vế của hai phương trình Ta có phương trình còn lại một ẩn
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được
Trang 2
+ Bước 4: Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào 1 trong 2 phương trình của hệ ta được giá trị của ẩn có lại
* Nắm các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
+ Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biểu diễn các đại lượng chưa biêt thông qua ẩn và đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
+ Bước 2: Giải hệ hai phương trình vừa lập đựơc
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình
* Hàm số và đồ thị hàm số: y = ax2
+ Tính chất:
Hàm số y = ax2 , trường hợp a > 0 Hàm số y = ax2 , trường hợp a < 0
- Nghịch biến khi x < 0
- Đồng biến khi x > 0
- Giá trị nhỏ nhất y = 0, tại x = 0
- Đồ thị nằm phía trên trục hoành
- O là điểm thấp nhất của đồ thị
- Nghịch biến khi x > 0
- Đồng biến khi x < 0
- Giá trị lớn nhất y = 0, tại x = 0
- Đồ thị nằm phía dưới trục hoành
- O là điểm cao nhất của đồ thị + Cách vẽ đồ thị hàn số y = ax2
- Lập bảng giá trị tương ứng của x và y
- Biểu diễn các điểm có toạ độ tương ứng của x và y trên mặt phẳng xOy
- Nối các điểm đó lại bởi các cung ta được đồ thị dạng Parabol
* Phương trình bậc hai một ẩn: Có dạng ax2+ bx c + = 0 , trong đó a 0 ≠
+ Công thức nghiệm của phương trình ax2 bx c
0 + + =
Phương trình ax2 bx c
0 + + =
Trang 3
Biệt thức: ∆= −b2 4ac
+ ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x b x b
− + Δ − − Δ
+ ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép:
x x b
a
−
= =
+ ∆ < 0 phương trình vô nghiệm
Biệt thức: ∆’=b'2−ac (b=2 'b)
+ ∆’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
x b x b
;
+ ∆’ = 0 phương trình có nghiệm kép:
x x b
a
'
−
= =
+ ∆’ < 0 phương trình vô nghiệm + Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm và có nghiệm
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 (hay ∆’> 0)
- Phương tình có nghiệm kép khi ∆ = 0 (hay ∆’= 0)
- Phương trình vô nghiệm khi ∆ < 0 (hay ∆’< 0)
- Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 (hay ∆’≥ 0)
+ Trường hợp đặc biệt nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình ax2+ bx c + = 0
- Nếu a b c 0 + + = thì phương trình có hai nghiệm x x c
a
1=1 ; 2 =
- Nếu a b c 0 − + = thì phương trình có hai nghiệm x x c
a
1= −1 ; 2= − + Định lí Vi-ét: Phương trình ax2+ bx c + = 0, nếu ∆ ≥ 0 (hay ∆’ ≥ 0)
thì
b
x x
a c
x x
a
1 2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
− + =
=
* Tìm hai số khi biết tổng và tích: Nếu u + v = và S u v= thì u, v là hai nghiệm của P
phương trình : x2 Sx P
0
− + = Điều kiện để có hai số u và v: S2 P
4 0
− ≥
Trang 4
B HÌNH HỌC
1 Khi nào thì
Nếu điểm M nằm trên cung AB và chia cung AB thành hai cung AM và cung MB
2 So sánh cung: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
3 Định lý hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại
- Trong 1 đường tròn hai cung bị chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau
4 Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây:
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung ( không phải là đường kính ) thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
5 Định lý góc ở tâm: Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn
6 Định lý góc nội tiếp, hệ quả góc nội tiếp: Trong một đường tròn:
+ Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
+ Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
7 Định lý góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
8 Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
9.Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số
đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn
Trang 5
10 Định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có
số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn
11 Định lý tứ giác nội tiếp:
+ ( Thuận ) : Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
+ ( Đảo) : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
12 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm Điểm đó gọi là tâm của đ/ tròn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α
13 Độ dài đường tròn bán kính R là: C= π2 R
14 Độ dài của cung tròn có số đo n độ, bán kính R là:
180
Rn
l=π
15 Diện tích hình tròn bán kính R là: 2
S =πR
16 Diện tích hình quạt tròn cung n độ bán kính R là : 2
360
q
R n
S =π
17 Hình trụ bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao h:
+ Diện tích xung quanh là: S xq =2πrh
+ Diện tích toàn phần là: S tp =2πrh+2πr2 =2πr h r( + )
+ Thể tích là: 2
V =πr h
18 Hình nón có bán kính đường tròn đáy là r, đường sinh là l, chiều cao là h:
+ Diện tích xung quanh là: S xq =πrl
+ Diện tích toàn phần là: S tp =πrl+πr2 =πr l r( + )
+ Thể tích là: 1 2
3
V = πr h
19 Hình nón cụt có bán kính đường tròn hai đáy r r chiều cao là h, độ dài đường 1, 2
sinh l:
+ Diện tích xung quanh là: S xq =π (r1+r l2)
+ Thể tích là: ( 2 2)
1
3 r r r r
V = π + + h
Trang 6
II.BÀI TẬP:
Xem lại tất cả các bài tập trong SGK và SBT trong chương 3 và 4 SGK toán 9 tập 2
A/ ĐẠI SỐ
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x2 và y = 3x – 2
a/ Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ
b/ Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó
Bài 2: Cho phương trình x2 – (m + 1) x – 3 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 - x2 = 4
Bài 3: Giải các hệ phương trình , phương trình
1/ x y
x y
3
⎧⎪
⎨
⎪⎩
+ =
x y
x y
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x y y x
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x y
x y
33 70
⎧⎪
⎨
⎪⎩
+ =
× = −
5/ 3x 2 − 2 3x 2 0 − = ; 6/ 25x 2 − 20x 4 0 + =
7/ 3x 2 + −(3 2 x) − 2 0 = ; 8/ x 2 − +(2 3 x 2 3 0) + =
9/ x 2 − (2m 1)x m(m 1) 0 + + + = ; 10/ 3x 4 − 5x 2 − = 2 0
11/ x 5 5 x 1 0 + − − = 12) 5x2 – 7x = 0 13) 12x2 + 9x = 0 14 ) 4x2 – 3 = 0
15) x2 – 8x + 12 = 0 16) x2 – 2 3 x – 6 = 0 17) x2 – (2 + 3 )x + 2 3 = 0
18) 2x4 – 7x2 – 4 = 0 19) 2x
x + 2 + x + 22x = 2 20) x
2 – 3x + 5 (x – 3)(x + 2) = 1 x – 3
21) 2x
x – 2 – xx + 4 =
8x + 8 (x – 2)(x + 4) 22) 30x2 – 1 –
13
x2 + x + 1 = 18x + 7x3 - 1 Bài 4 : Cho phương trình :x2 – mx + 2(m – 2 ) = 0
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 + x 2 = 5
Trang 7
Bài 5: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu ô tô đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định là 36 phút Biết quãng đường AB là 120 km Tính vận tốc dự định của ô tô
Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 40 km và ngược dòng 48 km , thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 2km/h Bài 7 : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số , biết rằng tổng các chữ số của chúng bằng 8 Nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36
Bài 8: Một hình chữ nhật có chu vi 216m Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không đổi Tính diện tích hình chữ nhật đó
Bài 9 : Một tam giác vuông có chu vi là 30m , cạnh huyền là 13 m Tính diện tích của tam giác vuông đó
Bài10 : Một người đi xe đạp dự định từ A đến B mất một thời gian Nếu tăng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ Nếu giảm vận tốc 2km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của người ấy
Bài 11 : Hai máy cày cùng cày một thửa ruộng thì sau 2 giờ xong Nếu cày riêng thì máy thứ nhất hoàn thành sớm hơn máy thứ hai là 3 giờ Hỏi mỗi máy cày riêng thì thì sau bao lâu xong thửa ruộng
Bài 12: Một lớp học có 40 học sinh được xếp ngồi đều nhau trên các ghế băng Nếu ta bớt
đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh Tính số ghế băng lúc đầu
Bài 13: Một xí nghiệp vận tải dự định điều động một số xe để chuyển 18 tấn hàng Nếu mỗi xe chở thêm 0,5 tấn thì số xe giảm đi 3 chiếc Tính số xe dự định điều động biết rằng mỗi xe chở một lượng hàng bằng nhau
Bài 14 : Cho hàm số 1 2
2
= và y= x + m ( D) Tìm m để : a/ (D) không có điểm chung với (P)
b/ (D) có 1 điểm chung với (P)
c/ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
Bài 15: Cho hàm số y = ax2(P)
a/ Tìm a để (P) đi qua A(1 ; -1) vẽ ( P ) ứng với a vừa tìm được
b/ Lấy điểm B trên (P) có hoành độ bằng – 2 Viết phương trình đường thẳng AB
c/ Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt (P) tại C Tìm toạ độ của C