Đề đa HSG toán 7 tx cửa lò 2011 2012

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77.

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ CỦA LÒ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ

MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM 2011-2012 Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm x biết: 2 1 1 2

3x+ + = 4 b) Rút gon: A= 1+ 5 +52 + + 52011

Câu 2: (5 điểm)

a) Cho các số a; b; c ≠ 0;bz cy cx az ay bx

Chứng minh rằng:x y z

a = =b c

b) P(x) = ax2+bx +c thỏa mãn P(x) M7 x Z∀ ∈ Chứng minh rằng: a; b; c đề chia hết cho 7

Câu 3: (4 điểm):

a) Tìm tất cả các cặp giá trị dương (x,y) sao cho: 4x+5y =65

b) Chứng minh rằng: 333 555 777 + 777 555 333 chia hết cho 10

Câu 4: (5 điểm):

Cho tam giác ABC có góc B và C nhọn Dựng ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại các đỉnh B và C.Vẽ AH; DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC (H; I ; K Thuộc B)

a) Chứng minh:∆BDI = ∆ABH và DI + EK = BC

b) Tính độ dài AH biết AB=3cm; BC=5cm và 3 điểm D; A; E thẳng hàng

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC là tam giác đều Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho MA=1; MB=2; MC= 3 tình độ dài cạnh AB và số đo goc AMB

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

H

E D

I

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu 1-b: tính 4A= (5-1) A = 52012 -1 suy ra : A=52012 1

4

−

Câu 2:

a) nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với mẫu của chính nó rồi ấp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tính được giá trị tỉ số bằng 0 từ đó:

bz-cx = cx- az = ay –bx =0 suy ra đpcm

b) P(0) M7 nên cM7

P(1) M7 nên a+b+cM7 suy ra a+bM7 (1) ;

P (-1) M7 nên a-b+cM7 suy ra a-bM7 (2)

từ (1) & (2) ta có 2aM7 mà (2;7) =1 nên aM7 suy ra bM7

Câu 3:

a) x= 16-y - 1

4

y−

>0 nên y<16 mà y-1M 4 nên y∈ 1;5;9;13 từ đó tìm được các cặp (x,y) b) chứng minh các số mũ đều có số dư bằng 3 khi chia cho 4

đặt 555 777 = 4q+ 3;555 333 = 4p+ 3 ta có : 333 555 777 + 777 555 333 =3334q+3 + 7774p+3

=3333 (3334)q+ 7773.(7774)p = (số có tận cùng là 7 )× (số có tận cùng là 1) + (số

có tận cùng là 3) × (số có tận cùng là 1) = 7 + 3 = 0

Câu 4:

a) chứng minh ∆BDI = ∆ABH; ∆CKE= ∆AHC (cạnh huyền góc nhọn) từ đó suy ra :

DI+ EK =BH +HC =BC

b)∠DAB +∠BAC + ∠CAE =1800 suy ra 450+ 450+∠BAC =1800 vay tam giac ABC vuông tại A dùng Pi ta go tính được AC =4cm

ta có 2SABC = AB.AC= BC AH suy ra AH =2,4 cm

Câu 5:

vẽ tam giác đều AMN và kẻ BD vuông góc với AM

∆AMC=∆ANB (c.g.c) suy ra MN=1; BN 3= 3; BM=2

dùng pi ta go chứng minh ∠BNM =900; BM=2NM nên

∠NMB= 600 Vậ y ∠AMB =1200

∠MBD =300 suy ra MB =2 MD vậy AD=2; BD= 3

từ đó tính được AB= 7

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

A

M N

D