Kẻ phân giác AD.. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC.. Kẻ phân giác AD.. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D trên AB và AC.
Trang 1phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 2011– 2011
Môn toán lớp 8 Thời gian: 120 phút
Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3
a b c 3abc 2) Cho 3 2
a 3ab và 5 b3 3a b 102 Tính S = a2b2
Bài 2: 1) Giải phơng trình: 8 4 2
x 2x x 2x 2 0 2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho 6 n 2011
n 26 21
Bài 3: Rút gọn biểu thức A =
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC Kẻ phân giác AD Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D
trên AB và AC BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F
1) Chứng minh rằng EF // BC
2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF
3) Tính số đo của BID
Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c d a b c a b
P
abcde
L
u ý : Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
Hết
-phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 2011– 2011
Môn toán lớp 8 Thời gian: 120 phút
Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 3
a b c 3abc 2) Cho 3 2
a 3ab và 5 b3 3a b 102 Tính S = a2b2
Bài 2: 1) Giải phơng trình: 8 4 2
x 2x x 2x 2 0 2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho 6 n 2011
n 26 21
Bài 3: Rút gọn biểu thức A =
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC Kẻ phân giác AD Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D
trên AB và AC BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F
1) Chứng minh rằng EF // BC
2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF
3) Tính số đo của BID
Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c d a b c a b
P
abcde
L
u ý : Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
Hết
-H ớng dẫn chấm
Bài 1: (5 điểm)
1) (3 điểm) 3 3 3
a b c 3abc = 3 3
a b 3ab a b c 3abc (1 đ)
a b c a b c a b c 3ab a b c
Trang 2= 2 2 2
2) (2 điểm) Ta có a3 3ab2 5 3 22
a 3ab 25 a6 6a b4 29a b2 425 (0,5 đ)
và b3 3a b 102 3 2 2
b 3a b 100 b6 6a b2 49a b4 2 100 (0,5 đ) Suy ra 125 = 6 6 2 4 4 2 2 23
a b 3a b 3a b a b Do đó S = a2b2 = 5 (1 đ)
Bài 2: (5 điểm)
1) (3 điểm)x8 2x4x2 2x 2 0 x8 2x4 1 x2 2x 1 0 4 2 2
x 1 x 1 (1,5 đ)0 Vì 4 2
Nên phơng trình tơng đơng
4
x 1 0
x 1 0
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5 đ) 2) (2 điểm) Giả sử tồn tại n N* sao cho 6 n 2011
n 26 21 Ta có 26n có tận cùng là 6 và 212011 có tận cùng là 1 Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5 (0,5 đ)
Khi đó n626n 212011 có dạng 6 5 5 402
25 76 01 21 .01 21 , vô lí (0,5 đ)
Vậy không tồn tại số nguyên dơng n thỏa mãn bài toán (0,5 đ)
Bài 3: (2 điểm) Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng
2 2
3
k 1 k k 1
k 1
với k = 2, 3, …, 2011, 2011 (1 đ)
1 3 3 1 2 4 4 1 2010 2012 2012 1
3 2 2 1 4 3 3 1 2012 2011 2011 1
1.2 2010 3 3 1 4 4 1 2012 2012 1 S
3.4 2012 2 2 1 3 3 1 2011 2011 1
= 20122 2011
3.1006.2011
(1 đ)
Bài 4: (6 điểm) Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài
1) (2 đ) Chứng minh đợc tứ giác AMDN
là hình vuông (0,5 đ)
FC DC MA DN ED (1đ)
hay MF ME
FC ED EF // DC
hay EF // BC (0,5 đ)
2) (2 đ) Theo định lí Thales ta có
A
N
C D
B
M
K I
Trang 3AN DN NC NF NF
hay AN NF
ABAN và
NAF ABN NAFNBA AF BN (0,5 đ)
Lập luận tơng tự có AE CM Vậy K là trực tâm của AEF (0,5 đ)
3) (2 đ) K là trực tâm của AEF AK EF mà EF // BC AK BC (0,5 đ)
Kết hợp với DM AB I là trực tâm của ABD
Vậy BID 180 0 BAD 180 0 450 1350 (1 đ)
Bài 5: (2 điểm)
x y 0 x 2xy y 4xy x y 4xy Dấu “=” xảy ra khi x = y (0,5 đ)
áp dụng liên tiếp BĐT x y 24xy ta có
42 = (a + b + c + d + e)2 4(a + b + c + d)e (1)
(a + b + c + d)2 4(a + b + c)d (2) (a + b + c)2 4(a + b)c (3)
(a + b)2 4ab (4)
Do a, b, c, d, e > 0 nên các vế của các BĐT trên đều dơng Nhân từng vế của chúng và rút gọn ta
đợc 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b) 256abcde
a b c d a b c a b
abcde
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
4
a b c d e
1 c
a b c d
2
a b
e 2
Vậy GTNN của P bằng 16 đạt đợc khi a = b = 1
4; c =
1
2; d = 1 và e = 2 (0,5 đ)
L
u ý : Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
Hết