Giải bài toán bằng cách lập phương trình.. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.. Tìm phân số đó.. Cho ABC vuông tại A AC
Trang 1Nguyễn Thị Phú – THCS Đặng Lễ - Ân Thi – Hưng Yên
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN 8 (Thời gian: 150 phút) Bài 1 (2,0đ) Giải các phương trình sau:
a) x 214 x 132 x 54 6
b)
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác
c b
c a
b a
c b a
b) Cho x y z 1
a b c và a b c 0
x y z
Chứng minh rằng : x22 y22 z22 1
a b c
Bài 3 (1,0đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó
Bài 4 (3,0đ).
Cho ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (H�BC) Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC AH HC
Bài 5 (1,0đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2010x 26802
Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Trang 2ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (2,0đ) Giải các phương trình sau:
x 214 x 132 x 54
x 300 x 300 x 300
0
86 84 82
x 300
�
�
�
�
b)
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
ĐKXĐ : x 4 ;x 5 ;x 6 ;x 7
Phương trình trở thành :
(x4)(1x5) ( x5)(1x6) ( x6)(1x7) 18 1
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
18
1 7
1 4
1
x x
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác
c b
c a
b a
c b a
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
Trang 3Thay vào ta được A=
) ( ) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1
b) Cho x y z 1
a b c và a b c 0
x y z Chứng minh rằng : x22 y22 z22 1
a b c
Từ : a b c 0 ayz+bxz+cxy 0
x y z � xyz
�ayz + bxz + cxy = 0
Ta có : x y z 1 (x y z) 2 1
a b c � a b c
2 2 2
2 2 2 2.( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
�
2 2 2
x y z cxy bxz ayz
�
2 2 2
2 2 2 1( )
x y z
dfcm
a b c
�
Bài 3 (1,0đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là
11
x
x
(x là số nguyên khác -11) Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15
7
x
x
(x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình
11
x
x
= 7
15
x x
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số
6
5
Bài 4 (3,0đ).
1 Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và
CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: �BEC�ADC 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên �AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BEAB 2 m 2
BC �BC �AC (do BEC: ADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC �AC �AC AB BE (do ABH : CBA)
Do đó BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM� BEC� 135 0 ��AHM 45 0
Trang 43 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: GB AB
GC AC , mà AB ED ABC DEC AHED AH// HD
GC HC �GB GC HD HC �BC AH HC
Bài 5 (1,0đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2010x 26802
2
2010x 2680
A
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3
Bài 6 (1,0đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10)