Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB.. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB.. T
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MễN THI : TOÁN 8 Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phỳt .
Cõu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức: 2 2 . 1 1 : 1
� � ��
a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn
Cõu 2: (4 điểm).
a) Chứng minh rằng A = ��n n3( 2 7)2 36n��7
� �M với n Z � b) Cho P = n4 + 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số
nguyên tố
Cõu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trỡnh :
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc Chứng minh rằng :
A = 3
c b
c a
b a
c b a
Cõu 4: (6 điểm)
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB Trờn tia Ax lấy điểm
C (C khỏc A) Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC, đường thẳng này cắt By tại
D Từ O hạ đường vuụng gúc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giỏc AMB vuụng
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD Chứng minh MN//AC
Cõu 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả món a + b +c = 1 Chứng minh rằng:
2
b a
ab c a c
ca b c b
bc a
Trang 2
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
KÌ THI NGÀY 12/4/2014 MÔN THI : TOÁN 8
Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng
Câu 1
� � ��
2 2 ( 1) 3 ( 1) 1
A
2 2(1 3 )
.
A
2 2.
A
b) Với x� 0;x�� 1 Ta có 2 2 2
x A
Suy ra xα� 1 1; 2
Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận
0,5đ
Câu 2
a) Ta có: A = ��n n3( 2 7)2 36n��
A n n n���( 2 7) 6������n n( 2 7) 6���n n( 3 7n 6)(n3 7n 6) 0,5đ
2 2
Do đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp => A M 7 với n Z � 0,5đ
Trang 3b) b) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2
= (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n + 1) 2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1) 2 + 1 � 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải
có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Cõu 3:
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
TXĐ : x 4 ;x 5 ;x 6 ;x 7
0,5đ
Phương trỡnh trở thành :
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
�
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
�
18
1 7
1 4
1
x
0,5đ
�18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
Từ đú tỡm được x=-13; x=2 (thỏa món)
b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta cú x, y, z >0
Từ đú suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
Thay vào ta được A=
0,5đ
1 ( ) ( ) ( )
2
Từ đú suy ra A ( 2 2 2 )
2
1
hay A 3
Cõu 4 (6 điểm) Hỡnh vẽ
Trang 4A
B C
D
M
N
a) Xét ACO và BOD có
� �
=>
BO
BD
AC
AO
b) Xét CMO và OMD có
�
CMO = OMD� = 900
OCM DOM (cùng phụ với COM� )
0,5đ
=>CMO đồng dạng với OMD =>
MD
OM OD
CO
Mà ACO đồng dạng với BOD =>
BD
AO OD
CO
=> CO OB
Từ (1) và (2) ta có
BD
OB MD
OM
=> tam giác OMD và tam giác OBD đồng dạng
=> MOD BOD� � => OMD OBD(cạnh huyền , góc nhọn)
=> OM = OB = OA suy ra tam giác AMB vuông tại M
0,5đ
Trang 5c) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB)
=>
BD
AC NB
CN
0,5đ
mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 0,5đ
Nên
DM
CM BN
CN
Câu 5:
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
0,5đ
do đó:
b a
b c a c a
c
c b a b c
b
c a b a VT
0,5đ
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
( )( ) ( )( ) 2 (a b)
a c
c b a b c
b
c a b a
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
c b b
a
b c a c c
a
c b a b
c a b
a
b c a c c
b
c a b a
Vậy 2 VT 4 (abc) 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b
= c =
3