Nhóm 2 – CHUYÊN ĐỀ BĐT AM-GM

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên...5 2... + Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM.. + Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AM-GM để gi

CHUYÊN ĐỀ:

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

MỤC LỤC

A MỤC TIÊU DẠY HỌC 2

B HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 2

1 Hình thức dạy học 2

2 Kế hoạch dạy học 2

C NỘI DUNG BÀI HỌC 2

I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 2

1 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức 2

2 Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM 3

3 Bất đẳng thức AM-GM 3

II KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 5

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên 5

2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm 11

3 Bài tập áp dụng 18

D KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ 22

A MỤC TIÊU DẠY HỌC

 Căn cứ:

+) Chuẩn KT-KN

+) Yêu cầu của nhà trường

+) Khả năng, mong muốn của HS…

 Mục tiêu dạy học:

Về kiến thức:

+) Học sinh hiểu các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

+) Học sinh biết các quy tắc khi làm bài toán bất đẳng thức

+) Học sinh hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM).+) Học sinh chứng minh được bất đẳng thức AM-GM dạng 2 số không âm

+) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy

+) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM

Về kỹ năng:

+) Học sinh dự đoán được điểm rơi xảy ra ở đâu

+) Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán bất đẳng thức

2 Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM-GM

C NỘI DUNG BÀI HỌC

I BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

1 Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

+) a b  a b  0

+) Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng Nó giúp ta kiểm tratính đúng đắn của chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh cóthói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể khôngtrình bày phần này Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.

+) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi củadấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

+) Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

+) Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau.Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể

+) Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

3 Bất đẳng thức AM-GM

II KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM.

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.

1.1 Quy tắc biên

Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọibài toán có cực trị đạt được tại biên

vô lý vì theo giả thuyết thì a≥2 +) Phân tích:

Do a càng tăng thì A càng tăng nên ta dự đoán A đạt GTNN khi a=2  A đạt

GTNN tại “Điểm rơi a=2 ”

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và

Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số (α a ,

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

Ví dụ 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của A=ab+

1

ab Phân tích:

8 4

1 2 4

1 1

2 2

4

9 8

2 7 2 2

1 8

7 2

1 8

7 1 8

2 8

7 1

a

a a

a a

a

a A

2 

 a

2 2

1 2

1



a a

4

9 8

2 6 4

3 8

6 1 8

8 3 8

6 1 8

8   2   3 2    

a

a a a

a

a a A

2 

 a

Ta có:

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi

Ta có sơ đồ điểm rơi:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi ,tại điểm rơi

Sơ đồ điểm rơi:

16

1 4

4

1 4

1 4 1 4

4

17 4

1 15 8 15

1 16 2 15

1

ab ab ab

a a

a a a

3 36 2

3 6

9 9

36 6

6

9 24

4 2

9 3

c b a c b a

A     

20 3

2  

 b c

3 2 2

3 3

2 2

3 3 2

3 2 9

4 1

4 1 4

4 , 3 ,

1 1 1

bc ab c

12

bc

ab

2 , 4 ,

a

2 2

8

3 8

4 2

c a

a b c

1 1 1

bc ab c

b a

Phân tích:

Dự đoán A đạt GTLN khi: a3b3  1

Giả sử A đạt GTLN khi:

a b

3 2

2 3 1

3 3

4 a2+6 b2+3c2+ α ++ β+γ≥2 √ 4α a+2 √ 6 β b+2 √ 3 γ c

Dấu “=” xảy ra

2 2 2

3 3

4 4

3

6

6 3

16 3

3

4 16

3

a b c

a a

b b

c c

2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm.

Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm

+) Nguyên nhân sai lầm:

a b 

vào ta được P  7

MinP = 7 khi

12

a b 

.+) Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm 1: Với những bạn chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách

Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra  Không kết luận được MinP  4 2 2

Sai lầm 2: Với bạn đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi

12

a b 

nếu đã tách các số hạng và MinP = 7 khi

12

a b 

đúng, nhưng bước cuối làm sai ví

dụ như 1 x 2  , dấu bằng xảy ra khi x x  

a b 

, ta có:

Dự đoán dấu “=” xảy ra khi

12

a b 

Ta thấy a3b3 3a b2 3ab2 a b 3 vì thế muốn xuất hiện a b 3: ta áp dụng bất

Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b +c≤

Ví dụ 3: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của A= a+b

√ab+

√ab a+b

Phân tích:

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a=b

Sơ đồ điểm rơi:

Ta có: A=(4a+b√ab+

√ab a+b)+3(a+b)

4√ab ≥2√ a+b

4√ab.

√ab a+b+

Vậy GTNN của A là

5 2

Ví dụ 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của

A= a b+c+

b

c +a+

c a+b+

Vậy GTNN của A là

15 2

Ví dụ 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1 Tìm GTNN của:

Sơ đồ điểm rơi:

8 3

Dấu “=” xảy ra ⇔ ¿ { 1+a 2 + b 2 =6ab ¿ { a=b ¿¿¿

Bài 8 (A-2007): Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

xyz=1

Tìm GTNN của biểu thức: A= x

2(y+z)

Bài 1: Ta dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khix  y z 1

Vì vậy khi áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho

2 x

a b c  

.Bài 3: Dấu bằng đạt tại : a b c   khi đó 2 4a 2a2 b2 c2

Áp dụng BĐT AM-GM như sau:

Cộng các vế theo 3 bât đẳng thức trên chú ý a b c   3(a2 b2 c2) 6 ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a b c   2

Bài 4: Do biểu thức đối xứng với a, b,c nên ta dự đoán dấu '' '' xảy ra khi

S 

Dấu bằng xảy ra  a b c d    0Bài 6: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được :

Vậy GTNN của A là 2

D KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ

BÀI KIỂM TRA

Câu 1: Ta dự đoán dấu" " trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1   

Vậy ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số a 2b,3,3 ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a b c 1  

Câu 2: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

2 2 2 2

2 2 2 2

6 6 24

A

Vây với a=b=c=2 thì GTNN của A là 6√6