CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số...13 1.3.. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho.

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

MỤC LỤC

A.Mục tiêu dạy học……… …… 2

B.Nội dung bài học……… …2

I) Phương trình bậc hai……… ……….2

1 Giải và biện luận phương trình bậc hai……… ……… 2

2 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ……… ……… 8

II) Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của hệ thức Vi-ét …… ……… 10

1 Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng 10

1.1 Tính giá trị của biểu thức nghiệm 10

1.2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số 13

1.3 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho 15

1.4 Xác định dấu các nhiệm của phương trình bậc hai 20

1.5 Tìm gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 22

2 Hệ thức Vi-ét đảo và ứng dụng 25

2.1 Lập phương trình bậc hai 25

2.2 Tìm hai số biết tổng và tích 28

III) Ứng dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình khác……… …… 30

1 Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc ba…… … 30

2 Sử dụng phương trình bậc hai giải và biện luận phương trình bậc bốn…… 37

3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai……… 42

4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc hai……… …49

C Hình thức, kế hoạch dạy học 51

D Kiểm tra, đánh giá……… ………… 52

A MỤC TIÊU DẠY HỌC

• Căn cứ:

- Chuẩn KT-KN

- Yêu cầu của nhà trường

- Khả năng, mong muốn của HS…

• Mục tiêu dạy học:

➢ Về kiến thức:

- HS hiểu, biết cách giải và biện luận phương trình bậc 2

- HS hiểu, nhận dạng được, biết giải các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có

ẩn ở mẫu số, phương trình trùng phương, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối……

- HS hiểu, biết vận dụng định lý Vi-ét thuận và đảo vào giải bài tập

➢ Về kĩ năng:

- HS giải và biện luận thành thạo phương trình bậc 2

- HS giải được các phương trình quy về phương trình bậc 2: phương trình có ẩn ở mẫu số, phương trình chứa ăn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích……

- HS vận dụng thành thạo hệ thức Vi-ét thuận và đảo để giải bài tập

▪ Trường hợp 1: a = 0

Phương trình trở về phương trình bậc nhất bx c  0 bx c 2 

a Nếu b = 0

Phương trình (2) tương đương 0    c c 0

Nếu c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Nếu c ≠ 0, phương trình vô nghiệm

- Với a = b = c, phương trình nghiệm đúng với mọi x

- Với a = b = 0 và c ≠ 0, phương trình vô nghiệm

- Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x c

b), c), d) làm tương tự theo phương pháp chung

e) Ta cần xét mẫu khác 0 sau đó làm tương tự

Bài 2 Tìm m để phương trình mx2+ 2(m − 1)x − 2 = 0 có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho phương trình bậc hai : x2 − 2(m − 1)x + m2 − 4m + 7 = 0

a) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó Giải

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆′> 0

〈=〉(m − 1)2− (m2− 4m + 7) > 0 〈=〉 2m − 6 > 0 〈=〉 m > 3

Vậy với m > 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆′= 0 〈=〉 2m − 6 = 0 〈=〉 m = 3

Khi đó nghiệm kép là : x =2(3−1)

2 = 2

Bài 4 Với giá trị nào của m thì phương trình(m − 3)x2− 2(3m − 4)x + 7m − 6 =

0có hai nghiệm bằng nhau

Vậy với m = −2 hoặc m = 1

2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau

Bài 5 Cho phương trình : 𝑥2 − (2𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚2− 2𝑚 = 0

Tìm các giá trị của m để :

a, Phương trinh có nghiệm

b, Phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

Giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

2 < 0 〈=〉 − 2𝑚 + 6 < 0 〈=〉 𝑚 > 3 (1) Khi đó có tổng hai nghiệm là −𝑏

𝑎 =2𝑚−7

2 Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi và chỉ khi

2𝑚 − 7

2 < 0 〈=〉 2𝑚 − 7 < 0 〈=〉 𝑚 <

7

2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được 3 < 𝑚 <7

2 Bài 7 Tìm các điểm cố định mà parabol (P) : 𝑦 = 𝑚𝑥2+ 𝑥 + 𝑚 luôn đi qua khi m thay đổi (m≠ 0) Giải

Hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥2+ 𝑥 − 𝑚 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑣𝑖ế𝑡 𝑑ướ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 (𝑥2− 1)𝑚 + 𝑥 − 𝑦 = 0 (1)

Xem (1) là phương trình ẩn m Cần tìm x, y để (1) được nghiệm đúng với mọi 𝑚 ≠ 0, điều này chỉ xảy

ra khi {𝑥2 − 1 = 0

𝑥 − 𝑦 = 0〈=〉 {𝑥 = ±1𝑦 = 𝑥

Vậy có hai điểm cố định cần tìm là A(1 ; 1) và B(-1 ; -1)

Bài 8 Cho hai phương trình : 𝑥2− 𝑥 + 𝑚 = 0 (1)𝑣à 𝑥2− 3𝑥 + 𝑚 = 0(2)

Với giá trị nào của m thì phương trình (2) có một nghiệm khác 0 lớn gấp hai lần một nghiệm của phương trình (1)

Giải

Giả sử 𝑥0 ≠ 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 (1)𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 đề 𝑏à𝑖, 𝑘ℎ𝑖 đó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 (2)𝑠ẽ 𝑙à 2𝑥0 Thay vào hai phương trình ta có:

𝑥02 − 𝑥0 + 𝑚 = 0 (3)𝑣à 4𝑥02− 6𝑥0+ 𝑚 = 0(4)

Trừ từng vế của (4) và (3) được: 3𝑥02− 5𝑥0 = 0 〈=〉𝑥0 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖), 𝑥0 =5

3 Thay 𝑥0 =5

3 𝑣à𝑜 (3)𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑚 =−10

9 Đảo lại: Nếu 𝑚 =−10

9 , hai phương trình đã cho có dạng 𝑥2 − 𝑥 −10

9 = 0 (5), 𝑥2− 3𝑥 −10

9 = 0 (6) Phương trình (5) có hai nghiệm 𝑥1 = −2

a, Hãy biện luận số giao điểm của d và (P)

b, Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B, hãy tìm giá trị của m để

A và B ở về hai phía của trục Oy

Giải

a, Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phương trình :

x2 − 3x + 2 = −x + m 〈=〉x2− 2x + 2 − m = 0 (1)

Vậy số giao điểm của d và (P) bằng số nghiệm của (1) Ta có ∆′= m − 1

Nếu ∆′< 0 〈=〉 m < 1 𝑡ℎì 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1) vô nghiệm nên d không cắt (P)

Nếu ∆′= 0 〈=〉 m = 1 thì (1)có một nghiệm kép nên d chỉ cắt (P)tại một điểm

Nếu ∆′> 0〈=〉m > 1 𝑡ℎì (1)có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (P)tại hai điểm phân biệt A, B

b, Vì hoành độ giao điểm A, B của d và (P) là nghiệm của phương trình (1) nên A và B ở về hai phía của

Oy khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

Muốn vậy thì 2 − m < 0 〈=〉 m > 2

2 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ

2.1 Phương pháp chung

Với a,b,c là các số nguyên, xét phương trình ax2+ bx + c = 0

Ta đi xét các bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ Khi đó ta sử dụng kết quả của hai định lý sau:

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm hữu tỷ là biệt số ∆ là một số chính phương Định lý 2: Nếu x0 = p

qvới (p, q) = 1 là nghiệm hữu tỷ của phương trình thì q là ước của a và p là ước của c

Ví dụ: Tìm các số nguyên a để phương trình 𝑥2− (3 + 2𝑎)𝑥 + 40 − 𝑎 = 0 có nghiệm nguyên

Giải

Phương trình có nghiệm nguyên khi ∆= 4𝑎2+ 16𝑎 − 151 là số chính phương

〈=〉 4𝑎2+ 16𝑎 − 151 = 𝑘2 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍 〈=〉(2𝑎 + 4)2− 𝑘2 = 167 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍

2a + 4 − k = −167〈=〉 4a + 8 = −168 〈=〉 a = −44=⟩ [x = −1

x = −84.Vậy tồn tại hai giá trị a=40 và a=−44 để phương trình có nghiệm nguyên

2.2 Bài tập ứng dụng

Bài 1 Chứng minh rằng nếu phương trình ax2+ bx + c = 0, với a,b là các số nguyên, có các nghiệm hữu tỷ, thì các nghiệm đó là các số nguyên

Giải: Nghiệm của phương trình đã cho là: x1,2 = −a±√a2−4b

2 Do các nghiệm là hữu tỷ nên a2− 4b phải

là số chính phương suy ra a2− 4b = k2, k ∈ Z Xét hai khả năng xảy ra đói với a

Giả sử a là số lẻ suy ra k là số lẻ

Giả sử a chẵn suy ra k chẵn

Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ

Suy ra −a ± √a2− 4b là một số chẵn, tức x1,2 là những số nguyên

Bài 2 CMR nếu phương trình 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

Xét hai khả năng xảy ra đối với a

Giả sử a là số lẻ, khi đó từ (1) suy ra k lẻ

Giả sử a là số chẵn, khi đó từ (1) suy ra k chẵn

Vậy a, k cùng tính chẵn, lẻ Suy ra −𝑎 ± √𝑎2− 4𝑏 là một số chẵn, tức 𝑥1,2 là những số nguyên

II: HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT

1.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức nghiệm

Đối với bài toán này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng S và tích P để áp dụng hệ thức vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1.1.1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1x2và x x1 2

Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng S và tích P

1.1.2:Không giải phương trình, tính giá trị cảu biểu thức nghiệm

Ví dụ: Cho phương trình: x28x150 không giải phương trình hãy tính

Bài 1: Cho phương trình: 2

2x 3x 1 0 không giải phương trình hãy tính

1.2.Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

B2: Áp dụng hệ thực Vi-et viết S  và Px1 x2 x x1 2theo tham số

B3: Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x và 1 x Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các 2

x  m x m  có hai nghiệm x và 1 x Hãy lập hệ thức liên hệ 2

giữa x x sao cho 1; 2 x x độc lập với m 1; 2

Bài 2: Cho phương trình: 2  

2x  2m1 x m   Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm 1 0 x x không 1; 2phụ thuộc vào m

Bài 3: Cho phương trình:   2

Để phương trình trên có 2 nghiệm x và 1 x thì: 2

 phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x x với mọi m 1; 2

21

B2: Từ biểu thức đã cho, áp dụng hệ thức vi-ét để giải phương trình chứa tham số

B3: Đối chiếu với điều kiện xác định tham số cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình: 2    

mx  m x m  Tìm giá trị tham số của m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn hệ thức: 1; 2 x1x2 x x1 2

Theo giả thiết: x1x2 x x1 2

Thay (I) vào ta được: 6 1 9 3    

b)Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn điều kiện: 2

Theo giả thiết ta có: 3x x1 25x1x2  7 0

Thay (I) vào biểu thức ta được:

2 2

Suy ra luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi m 1; 2

b)Theo phần a phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x nên: 1; 2

Cho phương trình: Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng âm, cùng dương

S P

S P

a Có 2 nghiệm trái dấu

b Có một nghiệm dương phân biệt

Bài 3: Cho phương trình: 2   2

x  m x m  m có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1; 2 1 x1 x2 6

Hướng dẫn:

Bài 1:

m m

m P

m m S

Theo giả thiết: 1 2 1

1.5 Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Áp dụng tính chất sau về bắt đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2mx m   , gọi 1 0 x x là nghiệm của phương trình 1; 2

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau:

Thay hệ thức vi-et vào B ta được:

B m

2 2

B m

x  m x m   Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1; 2

Bài 1: Cho phương trình 2

:x 5x  có hai nghiệm6 0 ;x x Hãy lập phương trình ẩn y thỏa mãn: 1 2

1 2

1 3 43

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

Do đó nếu a 4 thì c9 nênb  9

2) Ta cần tìm a+b

Đặt c  ta có b 5

36

a c ac

2

61 2 30

11121

III: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

1: Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận nghiệm pt bậc 3

32x 2 0

1 3

x x

3

x x  x c) x 3 7x212x 6 0

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm là: x  ; 1 x  3 3

d) 2x34x27x 5 0

Ta nhẩm nghiệm được x   nên 1

Pt đã cho tương đương với    2 

 Pt (1) có 3 nghiệm phân biệt  0

00

➢ Ta có thể dự đoán nghiệm dựa vào kết quả sau

Nếu a+b+c+d=0 thì (1) có nghiệm x=1

Nếu a-b+c-d=0 thì (1)có nghiệm x=-1

Nếu a, b ,c, d nguyên và (1)có nghiệm hữu tỷ

p x q

 thì p, q theo thứ tự là ước của a và d

x x

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

Yêu cầu bài toán  2 có 2nghiệm phân biệt

TH1: f(x) có 1 nghiệm khác 1 Khi đó xảy ra với 2 khả năng

Khả năng 1:

0

3 60

12

1 4

14

m

m m

a) Nhẩm được nghiệm x 0 1

(vì 1 7 2    10 ) 0

d) Biến đổi phương trình trở thành

Vậy pt đã cho có 1 nghiệmx  khi 72    m 1





 

Bài 3:

a) Vì tổng của các hệ số bằng 0 nên pt có nghiệm x  nên 1

Pt có 3 nghiệm phân biệt f x x22 xm   có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 2

14x 3 3 0 1

m m

m m

m m

Để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì:

TH1:pt (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x 2

' 2

TH2: pt (2) có 1 nghiệm kép khác 2 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn đề bài

2 Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận pt bậc 4:

2.1 Phương trình trùng phương ax4bx2 c 0(1)

B1: Đặt 2

tx với điều kiện t  0

B2: khi đó pt được biến đổi về dạng 2

0

at   bt c (2) B3: Khi đó

a Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 2 có nghiệmt1 0 t2

b phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 có nghiệm t1 0 t2

c Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  2 có nghiệm 0 t1 t2

d Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  2 có nghiệm 0 t1 t2

 1 có 4 nghiệm  2 có 2 nghiệm phân biệt

000

S P

a pt (1) có nghiệm ta sử dụng phương pháp gián tiếp tức là “tìm điều kiện để (3) vô nghiệm hoặc

x

t t

Bài 1: giải các phương trình sau:

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt

c: Nhận xét x  không là nghiệm của pt.Khi đó ta chia cả 2 vế của pt cho 0 x 2 0

Bài 2: Nhận xét rằng x  không là nghiệm của pt Chia cả 2 về của pt cho 0 2

m   hoặc m  4 2 2 pt đã cho có nghiệm

3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc 2

3.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

2 A

B B B

1

m x m

1

m x m

x x

1

I x

f b

m m

f

a g S

m m m

(x1)   có 4 nghiệm phân biệt x m

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2

f m S m

m

  (3)

(2)𝑐ó 2 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚𝑥3 < 𝑥4 < 𝑚

(2) 0g( ) 02

m S m

12

m m

31

2

m m

x x





   

(t/m)

Vậy S   4; 2

3.2.2.2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: (x2 )m x m x2m2

Bài 2: Cho phương trình: 2 2

a) Giải phương trình với m=2

b) Giải và biện luận phương trình theo m

x m x

• Với m 0 ,(I) vô nghiệm (1) vô nghiệm

• Với m 0,(I) có nghiệm x0 (1) có nghiệm x0

• Với m 0,(I) có nghiệm , , 3

Với t 2 , ta được: x x2 1 2

2 2

2 2

1 2112

112

0 2

0 2

0

111

111

0 Cos 0

Đặt: 1 ( 0)

1

x

t t x

11

x

vn x

x

m x

x

m x





53

x

  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m 2 phương trình có nghiệm duy nhất 5





2 2

11

m x m



 

Vậy: với 0

 phương trình vô nghiệm

Với 0 m 1phương trình có nghiệm

2 2

11

m x m

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Biến đổi phương trình về phương trình bậc 2

Bước 3: Giải nghiệm của phương trình mới

Bước 4: Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định

4.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:

Vậy với k  3 và k  9 thì phương trình có 1 nghiệm x0

Với k  3 và k  9 thì phương trình có 2 nghiệm x0 và x  k 6 b) Điều kiện: x  1





  

Nếu m 1 thì phương trình (*) có nghiệm kép x 1 (không thỏa mãn) Nếu m 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 và x 3

f  m   m do đó x1, x2   1

Vậy khi m 1 thì phương trình vô nghiệm

Khi m 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 3

Khi m1,m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2 x m m1

xa a x

b x

b

 



Xét a b thì phương trình vô nghiệm S  

a a

a a

I: Phương trình bậc 2 Giải và biện luận phương trình bậc 2 1

II: Hệ thức

Vi-ét và

ứng dụng

Hệ thức Vi-ét thuận và ứng dụng

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình 1 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

1 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 1

2 để giải phương trình bậc cao

Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận phương trình bậc 3 1

Sử dụng phương trình bậc 2 để giải và biện luận phương trình bậc 4 2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy về phương trình bậc 2 2

➢ Kiểm tra

BÀI KIỂM TRA

(Thời gian : 45 phút)

Bài 1:(3 đ)

Cho hai phương trình: 𝑥2+ 𝑥 + 𝑎 = 0 (1) 𝑣à 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 1 = 0 (2)

a Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung

b Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương