Cơ học môi trường liên tục

Tài liệu tham khảo Giáo trình Cơ học môi trường liện tục dành cho các sinh viện khoa kiến trúc

PHẦN II: CƠ HỌC MTLT CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

§1 TEN XƠ VÀ CÁC PHÉP TÍNH XƠ

1.Định nghĩa:

Ten xơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của nó là hăöng số hoặc hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho với phép biến đổi hệ tọa độ các thành phần này thay đổi theo một quy luật xác định

Nếu một đối tượng biểu diễn các véc tơ cơ sởú A r

i

E r

là ten xơ hạng 1

AE

i

j j

j E A E A

'

A b

∂

= ji

i j

x

X b

Ta gọi i là các thành phần phản biến của A ten xơ hạng 1

A

-Ten xơ hạng hai và hạng cao

Đối tượng i j, khi thay đổi hệ tọa độ ta có:

ijE E T

=

là ten xơ hạng 2

T T

b b

Tij' = ip qj pq →

ij

T : các thành phần phản biến

m l k j i

ijklm

E E E E E T

k p

j q

i s sqprt ijklm

b b b b b T

T T là ten xơ hạng 5

2.Phép biến đổi tọa độ & véctơ cơ sơú

a)Phép biến đổi tọa độ

x

X i = i

j

i i

j

j j

i i

X

xa

,dXX

xdx

j

j j

i i

x

X b

dx x

X dX

X.X

xb

j j

i j

k

i

j Ký hiệu Crônecke

k i

k i

≠

=

b) Đối với véctơ cơ sơú:

, i

,

j ;dr E dxx

E g

E g

E b

= các véc tơ cơ sơú phản biến Εri

c)Ten xơ hỗn hợp

phản biên

j i

ij

EET

T r r

T

j i

ijE E T

= Tij hiệp biên

i j

3)Các phép tính của ten xơ

a)Phép cộng: Chỉ thực hiện được với các ten xơ cùng hạng cùng bậc

αβ

β

α a A a

Aij' = i . j (α , β , i , j = 1 , n)

αβ β α

B a a

pmCq

p

B Trong đó m,p chỉ lần phản biến

còn n,q hiệp biến

Ví dụ: A'ij = aαi aβjAαβ

γ

γ B b

'

a a C

B bk,γBγ

với

γ αβ γ β α

k , , ij k

αβ γ α γ

αβ γ β

CHƯƠNG II: CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN

§1 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

1.Chuyển vị

Xét môitrường liên tục tại t = 0 có dạng và tại t có dạng S S 0

3 2 1 3

∂

∂

=

j i j

k i

k 2

dX

dX X

x X

x x

j i ij i i

2

dXdXdX

dXX

Thay vào ta có:

j i ij j

k i

k 2

2

dX dX X

x X

x X

d x

dr − r =⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δ ⎟⎟⎠⎞

j i

ijdX dX E

2

=Với = ⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δij ⎟⎟⎠⎞

j

k

i

k ij

X

x X

x 2

j i j

k i

k

2

dxdxx

Xx

XX

j i ij j

i j

k i

k ij

2 2

dxdx.L2dx.dxx

Xx

XX

dx

=

r

với = ⎜⎜⎝⎛δ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

j

k i

k ij

ij

x

X x

X 2

1

L gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Amăngxi

2.Biểu diễn ten xơ biến dạng qua chuyển vị

Ta có véc tơ chuyển vị của phần tử : P 0

X x

i ij

j

i j

i

X

uX

xX

xX

u

δ+

i j

i ij

j

i

x

ux

Xx

Xx

u

δ+

j

k ij

X

uX

u2

1E

= ⎜⎜⎝⎛∂∂ ij + ∂∂Xji + ∂∂Xuki ∂∂Xukj ⎟⎟⎠⎞

u X

u 2 1

Ten xơ = ⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

j

k i

k i

j j

i ij

x

u x

u x

u X

u 2

1 L

§2.TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ VÀ TEN XƠ QUAY

1.Ten xơ biến dạng bé

Bỏ quá các số hạng nhỏ bậc cao đối với

∂

∂

=ε

→

i

j j

i ij

ij

X

uX

u2

1E

i ij

ij

x

ux

u2

1l

LGọi là ten xơ biến dạng bé, đây là ten xơ đối xứng hạng 2:

ji ij

ji

ij = ε , l = l

ε

2.Ten xơ quay

u d

0

0 & P Q

0

Q u u

u

d r = r − r

i P i

i

j j

i i

j j

i j

u 2

1 X

u X

u 2

1 dX

i ij

X

uX

u2

i ij

x

ux

u2

ji

ij = − ω ; ω ~ = − ω ~ ω

Nên có thểï viết dưới dạng ma trận

−

ωω

0

23 13

23 12

13 12

=

ω

1

3 3

1 13

2

X

uX

u21

=

ω

2

1 1

2 21

2

X

uX

u21

nên εij = lij và ωij = ω ~ij

Ta thường dùng biến dạng bé đi nghiên cứu vật rắn biến dạng

3.Ý nghĩa vật lý của ten xơ biến dạng bé và ten xơ quay

a)Ten xơ biến dạng nhỏ

3

3 33

2

2 22

1

1 11

X

u

;X

u

;X

u

∂

∂

=ε

∂

∂

=ε

∂

∂

=ε

X x

1 X

x 1

X

x X

u

2

2 2

2 22

gọi ∆ X = P0Q0 : phân tố thẳng trùng trục X2Vậy ε22 chính là

biến dạng dài tỉ đốicủa phân tố theo X2

tương tự ε11, ε22, ε33: hay εii biến dạng dài tỉ đối với trục Xi

Các thành phần không nằm trên đường chéo

X

u X

u 2

1

α

= α

PQ

Q ' Q x

u X

u

2

3 2

3

β

=β

M'Mx

uX

u

3

2 3

2

Nên 32 ( ) 32

2

1 2

1

γ

= β + α

1 2

1 2

1

3

2 2

góc quay ngược lại của đường chéo

quanh trục khi quay góc β

1 0 0 0 0

0B P Q B M

1

X P0M0Như vậy ω32biểu thị sự quay các đường chéo cùng góc quay của phân tố quanh trục

0

0B P

0 0 0

r r

Trong đó u r =ω ω r ∧ d u r

§3TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG TẠI LÂN CẬN TẠI MỘT

ĐIỂM.

Trạng thái biến dạng tại 1 điểm của MTLT được biểu thị bằng một ten

xơ hạng hai đối xứngεij

1.Quy luật biến đổi khi thay đổi hệ tọa độ

Đối với hệ tọa độ Đề các người ta có công thức biến đổi

mn jn im

ij = a a ε ε

ij nj mi

mn = b b ε ε

vơúi ( j , còn

' i

ij cos x , X

a = ) bij = aji

Đối với hệ tọa độ cong:

j

b j a

i i

j

i i

j

θ

θ θ

2.Biến dạng chính, phương chính, Bất biến của trạng thái biến dạng

Tại một điểm của MTLT trạng thái biến dạng được đặc trưng bởi ten xơ biến dạng thì bao giờ ta cũng có thể xác định được tại điểm đó có 3 phương vuông góc với nhau chỉ có biến dạng dài ký hiệu

I, ε , ε ε

Còn phương các biến dạng chính gọi phương chính trên các mặt phẳng vuông góc phương chính không có biến dạng trượt Biến dạng chính là nghiệm của phương trình sau:

3 2

2 3

1, ℑ , ℑ

ℑ

33 22

11 ii

1 = ε = ε + ε + ε

ℑ

11 31

13 33

33 23

32 22

22 12

21 11

ij ij jj ij 2

2

1

εε

εε

+εε

εε

+εε

εε

=εε

−εε

=ℑ

33 23

13

32 22

12

31 21

11 3

εε

ε

εε

ε

εε

ε

=ℑ

θℑ

=ε+ε+ε

33 22

11 0

− ε + ε

+ ε

= ε

+ ε

− ε + ε

= ε

+ ε

+ ε

− ε

α α

α

0 n

n n

0 n

n n

0 n

n n

3 33

2 23 1

13

3 32 2

22 1

12

3 31 2

21 1

11

Với 1 2 3 các phương chính

2 3

2 2

2

3.Ten xơ cầu và lệch biến dạng

trong đó gọi là ten xơ cầu

' ij

' ij

ε

=

ε

0 0

0 0

0 0'

ε

εε

−εε

εε

ε

−

ε

=ε

33 23

13

32 22

12

31 21

11

"

ij

§4.PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG

6 thành phần của ten xơ biến dạng béï được xác định 3 thành phần uichúng phụ thuộc vào nhau

Sự phụ thuộc này bảo đảm cho các biến dạng tương thích với nhau (vì MTLT sau khi biến dạng vẫn còn LT)

Để bảo đảm tính liên tục ta phải loại bỏ các thành phần ui được quan hệ giữa các đạo hàm của các thành phần ten xơ

Từ đây ta nhận được 6 phương trình độc lập

ij,k = ui,kj − uụ,ki = ( ui,jk −

2

1 )

( 2

Điều kiện cần và đủ để ( εik , j − εjk , i) dxicó vi phân toàn phần Mà

có vi phân toàn phần, khi nên

, jk ik

, jm jm

,

ik + ε − ε − ε =

ε

hay: 0

xxx

xx

xx

im 2

m i jk 2

j i km 2

m k

§5.TỐC ĐỘ BIẾN DẠNG, VẬN TỐC XOÁY

1.Ten xơ tốc độ biến dạng

x

u x

u dt

d 2

1 dt

d

j

i i

j j

i

x

vdt

dux

x

udt

i ij

ij

x

vx

v2

1dt

i ij

ij

x

v x

v 2

1 dt

d V

Còn Ten xơ vận tốc xoáy

21 3

13 2

r

= Ω

3.Vận tốc lân cận tại 1 điểm P

( )ij P j ( )ij j P

j P j

i P

x

v V

V

i i

=

Hay V rQ = V rP + V rbd + V rΩ

Vận tốc xoáy: V r Ω = Ω r ∧ d x r

CHƯƠNG III: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

fi dS

Q d S

Q M

S

r r

r

0lim

dV

dm M

M M

flim

1, e , e

e r r r

3 2

1, T , T

T r r r

và

3 13 2

12 1

11

T r = σ r + σ r + σ r

3 23 2

22 1

21

T r = σ r + σ r + σ r hay T ri = σije ri

3 33 2

32 1

31

ij

σ ten xơ hạng 2 gọi là ten xơ ứng suất

3.Ứng suất tại 1 điểm M

Xét phân tố tại M: MABC

n rlà pháp tuyến, nilà cos chỉ phương với các mặt phẳng tọa độ

diện tích ABC: dS

dS n

( − ) = 0 +

−

⇒

dS

dV W

K n

Nên T rn = σijnie rj; hay Tn j = σijni

Ten xơ ứng suất tại điểm xác định trạng thái ứng suất tại điểm ấy

§2.PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ CÂN BẰNG CỦA MTLT.

( − ) =0

∧+

hay ∫∫ + ∫∫∫ ( − ) = (*)

V

K K

j ijK nK

j ijKx T dS ε x K W ρ dV 0

ε

Trong đó εijK ký hiệu Spin

1 1 0

−

=

=

= Có 2 chỉ số bằng nhau

Theo công thức Gao xơ: ( TnK = σiKni)

hoán vị chẵn hoán vị lẻ

∫∫σ = ∫∫∫∂∂σ

iK i

xdS

i

iK

dV W

j i

iK j

ijK i

iK j

x

x x

x e dS

n x

iK j

xx

∂

∂

V

jK V

ijK K

K i

iK j

x x

13 31

32 23

21 12

jK

e σ = ⇒ σ = σ σ = σ σ = σ

⇒

Hay σij = σji ten xơ đối xứng

3.Quy luật biến đối ứng suất khi thay đổi hệ tọa độ

Tại M,

' 3

' 2

' 1 3

ij cos x , x

a =

mn jn im

'

ij = a a σ σ

ij nj mi

mn = b b σ

σ bij = ajiTrong hệ tọa độ cong

mn j

n

i m

ij '

j

j '

i i

j

b a

ij ' n j

m i

§3 ỨNG SUẤT CHÍNH VÀ PHƯƠNG CHÍNH, CÁC BẤT

BIẾN CỦA TEN XƠ ỨNH SUẤT

n

T rn = σ r

j ij

− σ + σ

+ σ

= σ

+ σ

− σ + σ

= σ

+ σ

+ σ

− σ

0 n

n n

0 n

n n

0 n

n n

3 33

2 23 1

13

3 32 2

22 1

12

3 31 2

21 1

11

Để hệ phương trình có nghiệm

0 del

33 23

13

32 22

12

31 21

11 ij

σ

− σ σ

σ

σ σ

− σ σ

σ σ

σ

−

σ

= σ δ

− σ

0 I

σ

− σ

33 22

11 ii

21 11

σ σ

σ

σ

+

33 23

32 22

σ σ

σ

σ

+

11 31

13 33

σ σ

σ

σ

( I1,I2 ,I3 các bất biến)

ij

3 del

III II

σ

= σ

III II

I

ij

0 0

0 0

0 0

;

3 III 3

n

2 II 2

1 I 1

n T

n T

n T

n

2

n = T i T i − σ τ

3 n 2

n 1

n i

n

3 2

22II

21I

n = σ n + σ n + σ n

σ

3 III

2 2 II

2 1 I

2 3

2 III

2 2

2 II

2 1

2

I

2

n = σ n + σ n + σ n − σ n + σ n + σ n τ

III

2 2

2 III

2 1

2 1

2 III

2

σ

=

( ) ( )

III

2 2 III II

2 1 III

I − σ n + σ − σ n + σ σ

n n

2

2

2 2 III II

2 1 III I

III II

1

2 2 III III

2 1 III I

III I

= σ

− σ + σ

− σ

− σ

− σ

= σ

− σ + σ

− σ

− σ

− σ

; 0 n

; 2

;2

1n

;0

; 2

1

22

2

2

max

III I

II

II I

III

III I

II

III II

I

σ σ

τ

τ σ

σ τ

σ σ

τ

σ σ

1, n , n

n

γ

= β

= α

−+

+

=

++

=

2 2 3

2 2

2 1

2 3 2 2

2

2 2

2 1 2 2

2 3

2 2

2 1

n n

n n

n n

n n

n

III II

I III

I n

III II

I n

σσ

σσ

σσ

τ

σσ

σ

σ

với

1 n

n

n12 + 22 + 23 =

⇒

000

2 2

3

2 2

2

2 2

1

II III

I III

II n

I n n

I II III II

I n III n

n

III I

II I

III n

II n

n

n n n

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

τ

với

III II

−σσ

−σ+τ

≤σ

−σσ

−σ+τ

≥σ

−σσ

−σ+

τ

⇒

000

II n

I n

2 n

I n III n

2 n

III n

II n

2 n

hay

2 II I

2 II I

n

2 n

2 III I

III I

n

2 n

2 III II

2 III II

n

2 n

22

22

22

τ

Chọn mặt phẳng tọa độ ( σ n, τn )

(I)(II)(III) Vòng tròn Mo nơ cho ta nhận thấy các giá trị ứng suất pháp

Đối với phương chính III với góc , từ vòng tròn III: γ 2 γ điểm G

từ vòng tròn I : 2 α =CD

Ta có đường cong tròn với tâm O 3, bán kính O3D: ta có cung DE

Ta có đường cong tròn với tâm O1, bán kính O1G: ta có đường cong GH

K là giao điểm của 2 cung DE và GH

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG CỦA CÁC MÔI TRƯỜNG

ij = f D

τ : chất lỏng Xtốc

Nếu tuyến tính hóa ta có dạng:

pq jpq i

ij = K D

τ gọi chất lỏng Niu tơn (Kijpq hệ số nhớt)

Nếu chất lỏng đồng chất thì K là hằng số

Nếu chất lỏng không đồng chất thì K là hàm các tọa độ

ijpq

K có 81 thành phần Kijpp = 0 ( )i ≠ j

Chỉ tồn tại Kiipp ≠ 0 9 thành phần với hằng số độc lập: λ1 & µ1

1 1

3333 2222

1 2233

1133

ppii iipp K

2.Phương trình xác định của chất lỏng Niu tơn:

ij 1 ij

1 ij

ij = − p δ + λ θ δ + 2 µ D

Khai triển:

12 1 12

11 1 1

11 = − p + λ θ + 2 µ D ; σ = 2 µ D

σ &

23 1 23

22 1 1

22 = − p + λ θ + 2 µ D ; σ = 2 µ D

σ &

13 1 13

33 1 1

33 = − p + λ θ + 2 µ D ; σ = 2 µ D

Với & D D D div V r

= +

3.Hệ phương trình cơ bản của chất lỏng Niu tơn

Theo biến Ơ le:

+Phương trình liên tục: + div V = 0

Dv K

x

i i

j

ij

ρρ

σ

=+

dt

Du

j

j ij

( ) T u

u = ρ , (1) Gồm 16 phương trình với 16 ẩn số: ρ , Vi, C j , u , T , σij , P

Đây là hệ phương trình đạo hàm riêng tuỳ từng các bài toán cụ thể cần bổ sung điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Lưu ý: Thay Dij vào σij thì phương trình chuyển động ta nhận được phương trình Nariê-Xtôc

Dt

DV K

x x

V x

x

V x

i i

j j

i j

i

j i

ρ ς

µ µ

∂

∂

∂+

2 1 1

v div

r r

2

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

§2.CHẤT RẮN ĐÀN HỒI ĐỊNH LUẬT HOOKE

1.Vật đàn hồi tuyến tính

-Phục hồi về trạng thái ban đầu khi thôi tác dụng lực

-Liên tục

-Đồng chất

-Đẳng hướng

2.Định luật Hooke

Cũng giống như chất lỏng Niutơn quan hệ giữa ứng suất với biến dạng bé ta có:

kl ijkl

ij = A ε

ijkl

A : ten xơ hạng 4 có: 34 = 81thành phần

Do tính đối xứng của σij & εkl nên còn ≤ 36 → 21thành phần Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng

Định luật Hooke:

ij kk

3 2

1

σ µ

+ σ

δ µ + λ µ

= ε

Trong kéo đơn theo 1 phương: ta có σ11 = E ε11 (E: mô đun đàn hồi) còn ε22 = ε33 = − νε11 (ν: hệ số Pootxông)

Từ đây ta có các quan hệ giữa các hằng số:

E

; 2 1 1

µ + λ µ

=

2

; 2 3

=

σij ij ij kk

211

E

kk ij ij

ij

E E

1

σ δ

ν

− σ ν +

= ε

3.Giải bài toán tỉnh của lý thuyết đàn hồi đồng chất đẳng hướng

a)Theo chuyển vị phương trình Lamê

Phương trình cân bằng: + = 0

∂

∂

i j

i ij

x

u x

u 2 1

-6 phương trình tương thích biến dạng

-Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

ij kk

ij

ij = λδ ε + 2 µε σ

Với điều kiện trên biên cho chuyển vị trên toàn biên

=+

∂

∂

∂+

j

j j

j

i

K x

x

u x

x

u

ρ µ

λ µ

Hay dạng Véc tơ: µ r ∆ u + ( µ + λ ) grad div u r + K r = 0

ρhay: ( λ + 2 µ ) grad div u r − ( rotrot u r + K r ) = 0

ρ

phương trình Lamê

(vì ∆r u = grad div u r − rotrot u r )

b)Theo ứng suất phương trình Bentrami-Misen

Thế qua ε ij σ ij theo phương trình tương thích biến dạng

ρ

δ ν

ν ρ

ν

1

1 1

k

k ij i

j j

i j

i

ij

x

K x

K x

K x

S1

1cte

K

j i

Bentrami-Điều kiện biên theo ứng suất σ ji( ) ( ) x , t nj x = fni( ) x , t ,( x ∈ S )