EBOOK - CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

EBOOK - CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

PGS-TS PHAN NGUYÊN DI

CO HOC MOI TRUONG

LIEN TUC (Tài liệu dùng cho đào tạo Cao học các chuyên ngành:

Kỹ thuật Cơ khí Chế tạo máy, Cơ học Ứng dụng

và Xây dựng Công trình Quân sự)

NHÀ XUẤT BẢN QUÂN ĐỘI NHÂN DÂN

HÀ NỘI - 2001

CƠ HỌC MỖI TRƯỜNG LIÊN TỤC

_ {Tài liệu dùng cho đào tạo Cao học các chuyên ngành: Kỹ thuật

Cơ khí Chế tạo máy, Cơ học Ứng dụng và Xây dựng Công trình)

| |

Chỉ đạo nội dung:

BAN CHỈ ĐẠO NGHIÊN CỨU, BIÊN SOẠN, HOÀN THIỆN

HỆ THỐNG TÀI LIỆU HUẦN LUYỆN, GIÁO TRÌNH, GIÁO KHOA, HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUẦN SỰ

Trưởng ban: Thiếu tướng, PGS-TS Nguyễn Đức Luyện

Phó trưởng ban: Đại tá, PGS-TS Phạm Huy Chương

Thư ký: Thượng tá, Th.S Nguyễn Văn Thàng

098827101107 9

8 /UớẢNG 11

CHƯƠNG 1 _ CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 ký hiệu chỉ số và QUÌ ƯỚC 2 Hee 13

1.2 Ứng dụng các qui ước về chỉ số Ghi 16

1.2.1 Ứng dụng các qui ước về chỉ số trong phép tính véctd " 16 1.2.2 Các công thức chuyển tích phân HH 1110.11.11 ctnrrie 19 1.2.2.1 Tích phân đường, Định lý Xtốc yrovteenesneseenennansecaavanensgensensseseseeneuesssesnseeseese 19 1.2.2.2 Tích phân mặt Định lý Gaoxd- Ôxtrôgratxki .Ỏ 20

1.2.2.3 Ứng dụng công thức Gaoxd- Ôxtrôgratxki seceeroeere 20

1.2.3 Ứng dụng các qui ước chỉ số trong phép tính ma trận 21 1.2.3.1 Các phép tính đại số ma trận 2111222121101 21 1.2.3.2 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận cv 25

1.3 n8 T1 .1 30 1.8.1 Phép biến đối toạ độ 30

1.3.2 Định nghĩa tenxơ Các phép tính đại số trên tenxd 31 1.3.2.1 Dimh nghia tenxG on esecsssesssssvecsssescsssscssssasecssssssenesssassssssessseesssevessessessessenscsnse 31 1.3.2.2 Các phép tính đại số trên t@fnXƠ nneHieriiiiirirrirriirrrrrriee 34 1.3.3 Hai cách phân tích c1 36 1.3.3.1 Phân tích thành tổng tenxơ cầu và tenxơ lệch ¬ 87 1.3.3.2 Phân tích thành tổng tenxơ đối xứng và phản xứng 87 1.8.4 Hướng chính, trị chính và bất biến của tenxơ hạng hai .Ô 38 1.3.4.1 Xác định hướng chính và trị chính -.-2-o.zcxeetsrstkxerrrerrrkeerrkee 38 1.3.4.2 Luỹ thừa của tenxơ hạng hai Hệ thức Hamintơn-Keli 42 1.8.5 Trường tenxơ Vi phân trường t©TXƠ, eeiniiiieiiiiiirriee 43 1.8.6 Sự phụ thuộc của tenxd ¬ Ô Ô 46

1.3.6.1 Phụ thuộc tuyến tính của hai tenxơ đối xứng -.-s .e¿ 47 1.3.6.2 Phụ thuộc tuyến tính đẳng hướng, iccsiiccetirerrreerrerree 47

1.6.3.3 Phu thudc phi tuy@n dang HuGng.ccsscssssssssscscssesssessssusesssseesesseuee 49 1.3.7 Toạ độ cong trực g1aO - series 50

13.71 Phép biến đổi toạ độ và độ đài phân tố s ccccerrrerre 50

1.3.7.2 Độ dài cung phân tố trong toạ độ cong - 2i22222zxccecscxtsrerrred 49

1.3.7.3 Biểu thức của graở trong toạ độ cong trực giao ce 54 1.3.7.4 Biểu thức của d¿o và ro trong toạ độ cong trực giao B5 1.8.7.5 Toán tử Laplat trong toa độ cong, -cccccscrrrtreeserrrkkersrrrrvee 58

1.4 Bài tập Hướng dẫn và lời giải mm " 59

MỤC LỤC

2.1

2.1.1

2.1.2

2.1.2.1

2.1.2.2

2.1.2.2

2.2

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

2.2.7

2.2.8

2.2.9

2.3,

2.3.1

2.3.2

2.3.3

2.3.4

2.4

3.1

3.1.1

3.1.2

3.2

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.2.4

3.3

3.4

TRANG THAI BIEN DANG VA CHẢY

Các phương pháp nghiên Cit cccccsscssssssssssssseesssesssssscscsssessnsesssveesseeen 69

Đối tượng, mục đích và phương pháp nghiên cứu 69

Phương pháp Lagräng và phương pháp Ơle 70

0061.031) 890.1.2 xì 1n 70

Phương pháp 5 °›41ˆ)Ã)Ã44ẦẦẦẦgBH.))))L 71 Chuyển từ biến Ơle sang biến Lagrang va ngược lại 72

Biến dạng Građiên của biến dạng và chuyển dịch 72

Chuyển dịch và biến dạng 20212121.111.1.1.eerrrd 72 801.0; 00ïo8 8n 74

Tenxd biến dạng nhỏ Chuyển dịch của các phân tố 76

Ý nghĩa hình học các thành phần tenxơ biến dạng nhỏ 78

Các thành phần chính của tenxơ biến dạng 81

Tenxơ cầu và tenxơ lệch biến dạng -2222ccccccccecrkrrerrrrcce 82 Cách biểu diễn khác nhau thành phần tenxơ biến dạng 83

Tenxơ biến dạng trong hệ toạ độ cong trực g1ao «- 83

Phương trình tương thích biến dạng t1 tre 85 Chảy của môi trường liên tục - 2222011121 eerceerreo 88 Trường vận tốc Trường gia tốc — ,Ô 88 Đường dòng Quỹ đạo ccunieeirrrrrrirreo 89 Vận tốc biến dạng Tenxơ vận tốc biến dạng .- -+ 90

Phương trình tương thích vận tốc biến dạng - 92

Bài tập Hướng dẫn và lời giải 2cccccccccccceeerridrrrrrrrrrrirree 93 ! CHƯƠNG 3 TRANG THAI UNG SUAT Môi trương liên tục Mật độ khối Lực khối - 109

Tính đồng nhất, đẳng hướng Mật độ khối 109

Luực khhối sec 2 rg20112212 E211 .EE111111122/11110121111100011141114 01111111 111,14C 110 Ứng suất 2H 2002201 22111 110

Lực mặt Vectơ ứng suất Nguyên lý ứng suất Côsi 110

Trang thái ứng suất tại một điểm Tenxơ ứng suất 112

Liên hệ giữa vectơ ứng suất và tenxơ ứng suất 114

Ứng suất chính Bất biến của tenxơ ứng suất 117

Cực trị của ứng suất tiếp -. - E420, 22 2112 ren 118

Bài tập Hướng dẫn và lời giải -222252ccc2cv.cveveevrrrrrrrrrrrererercee 122

Phương trình chuyển động và cân bằng ecrcscee 139

Phương trình cân bằng dang toạ độ cong cccercreirrie 140 Biến thiên mômen động lượng Tính đối xứng của ứng suất 141

Định lý động năng Bảo toàn năng lượng 5onee 148

Biểu thức động HẴN cceeHHH HHHHHHHH H1 143

Công và công suất của lực khối và lực mặt ce 148

Định lý động năng, HH re 144 Các định luật nhiệt động Phương trình năng lượng ssssesausenvensasensvesenees 145 s51 an 000909007 145

Định luật nhiệt động thứ không Nhiệt độ tuyệt đối 147 Định luật nhiệt động thứ nhất Phương trình truyền nhiệt 147

Định luật nhiệt động thứ hai entropl -ccrcrrecerrerree 151

Bài tập Hướng dẫn và lời giải reo 153

CHUONG 5

HỆ PHƯƠNG TRINH DAY DU

CACH DAT BAI TOAN CUA CO HOC MOI TRUONG LIEN TUC

Hệ phương trình đầy đủ Các phương trình xác định 161

Phương trình vật lý - toán và các bài toán cổ điển 164 Phân loại phương trình vật lý - toán keo 164 Cách đặt bài toán biên 22 cung 011111.111 1 eetrree 166 Bài toán biên trong cơ học môi trường liên tục 169 18; ( No N Ô,ÔỎ 169

Điều kiện đầu -2 22222222122L211.1 7EcHEE 0 1 cm 170

Điều kiện biên 2 t2 HH 2tr erraererrrrrereerrrrree 170

Bài tập Hướng dẫn và lời giải -csc.c.ccerrrrrrrrrrrrrrerriee 171

CÁC ỨNG DỤNG MÔI TƯỜNG ĐÀN HỒI VÀ CHẤT LỎNG

6.1 Môi trường đàn hồi tuyến tính -cccvcvrerkresrkeverrxeevereree 180

611 Phương trình xác định Định luật Húc tổng quát 180

61.2 Các hắng số đàn hồi E và v seceqeneeeeaineececuneneccesnnecensonnetan 183

6.1.3 Ynghia vat ly cac hang s6 dan héi Mr 185 6.14 Phương trình đầy đủ của đàn hồi tuyến tính đẳng hướng 187

6.1.4.1 Giải theo chuyển dịch Phương trình Lamê -ss2222.xxe 188

6.1.4.2 Giải theo ứng suất Phương trình Bentrami-Misen 190

61/5 — Oách đặt bài toán của lý thuyết đài hỗ -. 2s-seec 199

6.1.5.1 Bài toán tĩnh ¬ m- 192 6.1.5.2 Bài toán động -.cc2stnrierrirrertrierririrerkee 193 6.1.5.3 Bai ton bién truyén na ẽẽẽ 193

6.9 Môi trường chất lỏng "-+äA BH,)H , 195

6.2.1 Chất lỏng thực Tenxơ ứng suất nhớt -2-22-ccccccccrrereccree 195

6.2.2 Phương trình xác định Hệ phương trình đầy đủ 197 6.2.3 Phương trình Naviê-Xtốc Các trường hợp riêng 199 6.2.3.1 Chất lỏng lý tưởng , ccsccccccrrcectrririrEE.E 111 01.1111 xrcee 200 6.2.3.2 Chat long ly tưởng không nén coi 202 6.2.3.3 Chất lỏng lý tưởng nén được đc 203 6.2.4 Thế vận tốc Lưu số vận tỐc -c2 cctttttriirrarxerrrrvvrrrrrrrrree 206 6.3 Bài tập Hướng dẫn và lời giải HE ecee 207

100): 68‹4 00 ) mm 222

8

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học môi trường liín tục rốt được coi trọng trong nghiín cứu cũng như trong giảng dạy Ở hầu hết câc nước, Cơ học môi trường liín tục được đưa uùòo giảng dạy cho câc trường Đại học Kỹ thuật uă Đại học Tổng hợp Nhiíu nước, môn học năy được bố trí liín tục uăo câc học kỳ từ năm thứ hai đến cuốt khoó

Mùa hỉ năm 1987, ở Vĩnh Yín, Bộ Giâo dục uă Đăo tạo đê tổ chức Hội thảo uí cải câch chương trình đăo tao bĩc Dai hoc va thống nhất đưa Cơ học môi trường liín tục uăo chương trình học tập cho sinh uiín câc trường Đại học Kỹ thuật

Do môn học lần đầu được đưa uăo chương trình đăo tạo, nhiều cuộc hội thảo, tập huấn liín tục được tiến hănh những năm sau đó Hầu hết câc trường Đại học lớn đíu uiết giâo trình môn học năy lưu hănh nội bộ Hai cuốn sâch được nhă xuất bản Quĩc gia phât hănh trong thời gian năy lă cuốn “Cơ học môi trường liín tục” của tâc

giả Đăo Huy Bích uùă đông nghiệp in tại Nhò xuất bản Đại học va Trung học

Chuyín nghiệp năm 1993 uằ cuốn “Cơ học môi trường liín tục - Lý thuyết uă Băi

tap” in tai Nhă xuất bản Giâo dục năm 1995 do Phan Nguyín Di va đông nghiệp

dịch của tâc giả George Mase, (trước uă sau đó còn có uăi cuốn sâch tham khảo bổ sung cho môn học hoặc có nội dung tương tự như “Phĩp tính tenxơ uằ một số ứng dụng trong Cơ học, Vật lý” của Đăo Huy Bích, Nhò xuất bản Đại hoc va Trung hoc Chuyín nghiệp, 1977; “Phĩp tính tenxo” của Trịnh Phôi, Nhă xuất bản Giâo dục, in -

va tdi ban chỉ trong năm 1997 Câc cuốn sâch được bân hết ngay sau khi phat hănh, chứng tô lĩnh uực chuyín môn uằ môn học mới năy, ở nước ta, đê có nhiều bạn đọc quan tđm

Mặc dđu lợi ích khi đưa môn học năy uăo chương trình đăo tạo Đại học lă rất lớn,

không chỉ giâo uiín mă cân bộ lăm khoa học uă hỹ thuật năo cũng thấy được, ù ngăy nay, đọc bất kỳ một cuốn sâch uí lý thuyết đỉn hôi, lý thuyết dẽo, Thuỷ bhí lý _ thuyết hay ứng dụng kỹ thuật, bể cả câc môn học uí điện từ trường đíu không thể thiếu câc biến thức của Cơ học môi trường liín tục, nhưng hiện năy, sau hơn mười năm giảng day, hau hết câc trường Đại học, kể câc trường lớn, không bố trí uăo chương trình giảng dạy cho sinh uiín mù chỉ còn dạy cho câc lớp cao học, ù cho rằng môn học năy khó

Túc giả cho rằng, do chưa có một tăi liệu thơm khảo phù hợp, nói đúng hơn, còn quâ ít tăi liệu tham khảo để chọn một số tăi liệu phù hợp Thực tế, kiến thúc cồn thiết để tiếp thu môn học năy chỉ cần biết uí cơ học Niutơn uă chương trình toân cao cấp năm đầu ở câc câc trường Đại học Kỹ thuật Nếu biết trình băy một câch dễ hiểu uă giới hạn ngay từ đầu những khâi niệm mới uí phĩp tính tenxơ thì bất bỳ một sinh uiín có sức học trung bùnh năo cũng tiếp thu được môn học năy nếu họ uượt qua bước ban đầu tưởng như trừu tượng của khâi niệm chỉ số uă câc quy ước tính Qua được ngưỡng năy, sinh uiín sẽ cảm thấy húng thú bởi khốt lượng kiến thức uò tính khoa học của bản thđn môn học mang lại

Cuốn sâch năy được uiết dực theo tòi liệu mă tâc giả trình băy trong đợt tập huấn cho câc giâo uiín giảng dạy cơ học của câc trường Đại học năm 1992 tại Trường Đại

học Thuỷ Lợi Có nhiíu chỗ được sửa chữa cho dễ hiểu hơn cũng như bổ sung phần

ứng dụng

9

bạn chế đến mức tối thiểu các khái niệm mà sinh uiên thường cho là khó, dầu uậy, những biến thức đưa ra ở đây là hoàn toàn đây đủ để dẫn dắt các nội dung tiếp theo

mù không cần phải công nhận hoặc nhớ thuộc lòng bất kỳ một công thúc nào Sách chi han ché trinh bày trong hệ toạ độ đề các cũng như các hệ toạ độ cong trực giao thường gặp trong các bài toán kỹ thuật Mọi công thức đều dẫn ra đến tận cùng mà không cần một tài liệu tham khảo nào khác cũng như không cần nhớ hoặc công

nhận một bước tính trung gian nào Chương 6 là phần ứng dụng, giới thiệu cụ thể

uà dẫn dắt để lập các phương trình cơ bản được sử dụng ở bất cứ cuốn sách nào của

vat thể biến dạng (rắn, thuỷ uù kh0 Đọc xong cuốn sách, bạn đọc có thể tự lập được

các công thức không gặp một khó khăn nào Cuối mỗi chương đều có bài tập va Idi giải hoặc những gợi ý để giải Trong phần lý thuyết, nếu có một công thức nào đó đưa ra mà không được chứng mình đêu được giỏi quyết ở phần bi tập

Đối tượng của cuốn sách là sinh uiên các trường Đại học Kỹ thuật, các học uiên cao học cũng như các cán bộ kỹ thuật, các bạn đọc muốn hiểu biết sâu sắc hơn các ngành khỹ thuật hiện dai

Túc giả mong nhận được những ý kiến nhận xét của bạn đọc uà đồng nghiệp uê nội

dung, cách trình bày cũng như sai sót khó tránh khôi

Hà Nội, tháng 8 năm 2001

Tác giả

10

thái khác nhau đều có chung một phương pháp nghiên cứu thống nhất -

Phương pháp nghiên cứu môi trường liên tục

Cuốn sách này chỉ hạn chế trong phạm vì cơ - lý của môi trường, nghĩa là

tìm các đặc trưng vật lý thường quan tâm, không đề cập đến các môi trường điện từ trường, plasma nghĩa là ta chỉ nghiên cứu các đối tượng cơ học

thuần tuý, mặc dầu phương pháp của cơ học môi trường liên tục có thể mở

rộng cho các đối tượng khác như từ trường, trường điện từ v.v Để tìm quy

luật chung cho mọi môi trường liên tục (lấp đầy một phần hoặc toàn bộ

không gian) và nghiên cứu theo quan điểm vĩ mô (quan điểm thống kê), ta buộc chúng phải thoả mãn các định luật của cơ học cổ điển và các định luật nhiệt động cổ điển Để thoả mãn các định luật của tự nhiên này, các tham số đặc trưng cho môi trường phải chịu sự ràng buộc dưỡi dạng các đẳng thức và bất đẳng thức Đây là các phương trình hay bất phương trình cơ bản của cơ học môi trường liên tục

Ngoài quy luật chung (thể hiện qua các phương trình và bất phương trình cơ bản), môi trường cụ thể nào cũng có tính đặc thù, nó có các tính chất riêng

để phân biệt với các môi trường khác Ta có thể biết được các tính chất riêng này thông qua các phương trình nhận dạng của nó Tuy theo từng môi

- trường cụ thể, các phương trình nhận dang khong nhất thiết chỉ có một mà

có thể là hai hoặc nhiều hơn nữa, các phương trình này là các phương trình

I1

bổ sung (hay phương trình xác định, phương trình nhận dạng, phương trình trang thai)

Thanh lập các phương trình và bất phương trình cơ bản cho các môi trường liên tục (tuân theo hai giả thiết cơ bản), nêu các nguyên tắc xây dựng các

phương trình bổ sung để có một hệ phương trình đầy đủ cho một số môi

trường thường gặp là nội dung chính của cuốn sách

- Ngoài ra, sách còn nêu cách đặt một bài toán đúng để giải các phương trình đạo hàm riêng và xét cụ thể hơn cho hai môi trường thường gặp nhất trong

kỹ thuật là môi trường đàn hồi và môi trường chất lỏng

Thiết lập các phương trình cơ bản hay các phương trình bổ sung là tìm mối

liên hệ ràng buộc giữa các đại lượng vật lý xác định môi trường Do các quy

luật vật lý mang tính bảo toàn, nghĩa là các giá trị bằng số của các đại lượng

vật lý của một môi trường cụ thể không thay đổi, nó tổn tại độc lập đối với

cách chọn hệ trục toạ độ Tuy nhiên để thuận lợi, thông thường những đại lượng vật lý này được nghiên cứu trong một vài hệ trục toạ độ thích hợp

chọn trước (thông thường nhất là hệ trục toạ độ đề các), những đại lượng

như thế trong toán học được biểu diễn bằng những tenxd

Tenxơ tồn tại độc lập đối với các hệ trục toạ độ, nói chính xác hơn, một tenxơ

mà các thành phần của nó đã được xác định ở hệ trục toạ độ này thì nó cũng

được xác định ở một hệ trục toạ độ bất kỳ nào Trong mỗi hệ toạ độ có thể

xác lập được một tập các đại lượng nào đó là thành phần của tenxơ Do vậy, các định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bằng các

phương trình tenxơ Cuốn sách này chủ yếu trình bày trong hệ toa d6 dé các nên chỉ sử dụng các tenxơ đề các Để giúp cho người đọc hiểu được các phương trình viết trong toạ độ cong thường gặp sẽ có giới thiệu về phép biến đổi hệ toạ độ cong tuỳ ý và thành lập khá chi tiết các biểu thức, các đại

lượng cũng như một số các phương trình cơ bản của cơ học môi trường liên tục Trên cơ sở đã trình bày, người đọc dễ dàng thành lập được các phương

trình khác khi cần thiết

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 Ký hiệu chỉ số và các quy ước

Ta sẽ ký hiệu một đại lượng vật lý nào đó bằng một hoặc một tập ký tự _ (chữ Lamã, chữ Latinh viết thường hoặc in hay bằng bất kỳ một ký hiệu

nào tuỳ ý, là tên của đại lượng vật lý nào đấy cần khảo sát, ví dụ ø, Á, Ab,

Ø ø 2 @ ) kèm theo các chỉ số dưới hoặc trên hoặc hỗn hợp Các chỉ số này có thể là các số tự nhiên, các chữ (Hylạp hoặc Latinh), ví dụ A,; 4ƒ; a,; AB! v.v Đại lượng vật lý A!? thi A la ky tu, tên của đại lượng vật

ly; i, j, È, 2 là chỉ số; ¿, 7 là chỉ số dưới; &, 2 là chỉ số trên Sau này ta gọi các đại lượng có ký hiệu như vậy là đại lượng tenxơ Trong lý thuyết tổng

quát về tenxơ cần phân biệt chỉ số dưới và chỉ số trên Các tenxơ trong

toạ độ đề các thì các chỉ số dưới và trên không có phân biệt gì, và người ta

thường viết một loại chỉ số, thường là chỉ số dưới và các chỉ số thường bằng chữ Latinh Dưới đây khi nói đến tenxơ ta hiểu là tenxơ để các nếu

không có chú thích gì đặc biệt

Để sử dụng một cách thống nhất các đại lượng vật lý này ta có những quy ước sau đây: |

Quy ước 1: Nếu một đại lượng (hoặc một' biểu thức đơn, ví dụ

b, ôn 0, A,b,C, v.v ) với các chỉ số bằng chữ Latinh gặp một

Ox, Ôx,Ö%,

lần thì chỉ số ấy lấy các giá trị từ 1 đến 3

Ví dụ 1: Đại lượng ø, có ở! = ở thành phần la a, ay, a3

Ví dụ 2: Đại lượng A,, có 3” = 9 thành phần đ¡;, đ„, đị;, đạy, đạo, đạ;, đạp dạy, Gạ;

A ;ư tj? “i

Ví dụ 3: Đại lượng oe có 3” = 9 thành phần gồm:

XxX

Jj

| Oa, , Oa, da, Ga, Oa, Oa, , Oa; , Oa; , Oa;

Ax,’ Ox,’ Ox,” Ax, ” "Ax, ? Ox,” Ox5

Tương tự, đại lượng: ø,,, có ở” = 27 thành phần

ø”, có 3“ ijk = 81 thành phần

Ox, Ox;

13

Chỉ số gặp một lần trong một đại lượng (hoặc một biểu thức đơn) gọi

là chi sé tu do

Quy ước 2: Chỉ số bằng chữ (Latinh) gặp hai lần trong một đại lượng hoặc

trong một biểu thức đơn được lấy tổng từ 1 đến 3

Rõ ràng dy = dạy = œ„„„ nên các chỉ số gặp hai lần (trong một biểu thức

đơn) là chỉ số câm và có thể thay bằng bất kỳ một chữ nào khác mà kết quả đều như nhau

Điều cần lưu ý là, từ nay về sau sẽ không bao giờ gặp trong một đại lượng

(hoặc một biểu thức đơn) lại có quá hai chỉ số trùng nhau, chẳng hạn đại lượng a¡¿b c, là không có nghĩa (tất nhiên đại lượng a;;b„c; lại có nghĩa)

Lưu ý: Hai quy ước trên là quy ước chỉ số Anh-stanh, trong nhiều ứng dụng nó có thể mở rộng đến n tuỳ ý mà không nhất thiết chỉ đến 3, ví dụ:

a, có thể có n thanh phan ay, ag, a,:

a,b; = Sab, =a,b,+ a,b,+ .4,6 nn?

Như vậy đại lượng ổ, có 9 thành phần trong đó ba thành phần bằng 1,

đó làố,, =ổ„=ð;; = 1; 6 thành phần còn lại đều bằng không: ổ„=_

091 = 03 = O51 = O93 = Og = 0 -

Luu y: Cac dai lugng a; ; a, dude dung tit nay vé sau déu gan với một đại

lượng vật lý nào đó mà các đại lượng vật lý lại được xác định trong một hệ toạ độ (đề các) xác định, nên để phù hợp với các ký hiệu trên đây, các trục

toa độ sẽ được đánh số từ 1 đến 3 tương ứng với các trục z, y, z Ta sẽ nói

14

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Dip On, = dụ = 0y = đị; + đạ; + đạy,

Hệ quả5: ¿,.é, = i+ ej e; {é, cos(é,, é,) = cos(é,, é,) = 6,

Quy ước 4: Ký hiệu Lévi - Chivit

1 nếu giá trị của chỉ số t, J, b lập thành một hoán uị chỗn từ 1 đến 3 Eig = 4-1 nếu giá trị của chỉ số t, J, b lập thành một hoán uj lẻ từ 1 đến 3

0 nếu hai chỉ số bất bỳ trùng nhau

Đại lượng ¢,, c6 3° = 27 thành phần, có ba thành phần bằng 1 là: z„;;,

E031 E579 » ba thanh phan bang -1 là £„;, £;;¿;, £¿„,, 21 thành phần

còn lại đều bằng không Từ quy ước trên với lưu ý ở quy ước 2 ta có

các hệ quả sau:

Hé qual: se ijk — — địa — Phụ +

Hệ quả 2: se, gk + ©ipg = Sip Ong ~ ig Srp ,

(kết quả này có thể xem là một bài tập, có thể xem ở phân bài tập và

hướng dẫn cùng chương) Từ đó ta có ngay: e„ £e„= 25,4 -

Hệ quả 3: z„ z„= 6

Hệ quả 4: ẽ,^ẻ, = #„yế,

15

1.2 Ứng dụng các quy ước về chỉ số

1.2.1 Ứng dụng các quy ước về chỉ số trong phép tính véctơ

Một véctơ tuỳ ý ä trong hệ toạ độ đề các đã cho tương ứng 1-1 với 3 thành phần ø, trên các trục toạ độ +, Ta có thể viết ä =ơ, (ưu ý đây là cách viết mới,

không nên hiểu một đại lượng véctơ tương đương với các đại lượng vô hướng)

Cách viết này cũng có thể hiểu việc xếp các thành phần của véctơ thành hàng

hoặc cột là không quan trọng, sau này sẽ thấy rõ hơn việc nhân các đại lượng tenxơ là các phép nhân theo quy ước (định nghĩa), việc mở rộng các phép tính

này hoàn toàn phù hợp với phép tính véctơ đã quen biết khi xếp nó thành

hàng hoặc thành cột theo kiểu ma trận Theo quy ước thứ hai ta cũng có thể

viết véctơ ä như sau:

A =,€, + d,6, + zs = G,ố, (1.1)

Két hgp hai cach viét 1a:

Sau này ta có thể viết cách nào cũng được mà không sợ nhầm lẫn

(Lưu ý: Theo các phép tính đã quen biết, 3 thành phần œ; của véctơ đ phải được xếp thành hàng hoặc cột: (ơ;, d;, ơ;) hoặc (œ;, ơ;, ơ¿)”, mới thực hiện

được phép tính nhân ma trận mà véctơ là một ma trân hàng hoặc ma trận

cột) Từ cách ký hiệu véctơ (1.2) các phép tính véctơ thường gặp được thực

Phép cộng (trit) cac vécto:

Phép nhân uô hướng 2 uéctơ:

G.b =a,é,.b, é,=4,b,6,-, =a; b, 5, =a; 0; (1.4)

(Lưu ý: Mặc dầu b = b,ẽ,nhưng khi dé trong biéu thie don G@ 5 phai thay

chỉ số ¿ bằng một chỉ số khác, nếu không như vậy, trong biểu thức đơn

trên có đến 4 chỉ số ¿ trùng nhau)

` Phép nhân có hướng 2 uéctd:

Gab = a8, A b,€, = a;b,€; A, = A:D, Einy @, = Einy TiD,8, = Ein 1:0, =

pqr &pOger = Engr p0q + (1.5)

a! (6 nz) = = 4,8, Epo, rte = Engr 0,D„C„ 6, ổ, = =&y qr %0,C,0;, =

| = E57 OD Cy = E par ibe (1.6) 16

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Chu ý đến tính chất của ký hiệu ¢,,,, "pq? néu thay déi thi tu hai chi sé, gia

trị của nó sẽ đổi dấu nén dé dàng thấy ngay:

E prq UrO ply = Eprg Op4,.C, =O G@Aé) =- Eng &,0,C, =- @ (6 A é)

Đạo hàm theo một hướng uà grad của hàm uô hướng:

Như đã biết trong giải tích, cho một hàm vô hướng ƒ= 9 (x, hay f= @ (%) hoặc như ký hiệu trước đây f = ø (+, y, z), thì ứng với một giá trị không đổi

@=C=const, phương trình trên xác định một mặt cong nào đó, khi C lấy

những giá trị khác nhau ta có một họ mặt, với / là một hướng tuỳ ý thì

sự biến thiên (thay đổi) của họ mặt Ø(xy) = C, theo hướng ý được xác định

Vo = @= 8 grad ộ ¢= —— =—é ax, ox, k

Phép tinh dive (divecrdng) cua trudng vécto:

Theo định nghĩa, điue (viết tắt là diu) của một trường véctd

a(š,f)=ø, (x, ,£) là một trường vô hướng xác định bằng công thức:

div @ = Ste „ ÔH „20; „ Ôn, ôn, Ôn Ox, ÔN

Rõ ràng ta có (ký hiệu một cách hình thức):

dịu a = diudy= V.ä (1.12)

Pháp tính rô-ta của trường vécto:

(1.11)

Theo dinh nghia, ré-ta (viét tat 1A rot) cén gọi là véctơ xoáy của trường

véctd @ =G@ (#,t) =a, (x, É) cũng là một trường véctơ xác định bằng công

Từ các phép tính trên đây dẫn đến các hệ quả mà trong phần lý thuyết

của cơ học môi trường liên tục thường gặp các phép toán sau:

Với ø là hàm vô hướng thì:

d dq) = div | ——e, | = div) — |= V.——ẽ, = ——| — |=—— (1.15

iv (grad@) = div lữ a w{ 2 ax, On; [i Ox, OX; (1.15)

2? 47? 2? 2?

=—= + z +; là toán tử Laplat và ký hiệu là 4

Ox, Ox, Ẻ L Ox; Ox, Ox;

L

Biểu thức

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Vi phân riêng theo biến +, đôi khi biểu diễn bằng chỉ số dưới sau

dấu phẩy như sau:

e) —+ = T ) Ox, ij, k f) ox, Ox, ——= T,,, U,kÈp

Ký hiệu theo quy ước (1.19) các toán tử vi phân thường gặp có thể viết như sau:

grad p= Vo = 9; (1.20) div G= V 4 =4,;; | (1.21) rota = VAG = &% Q;; ' (1.22)

19

fa dz = [đ-(VAä)ds = [đ-rotädS, (1.25)

trong đĩ S là mặt hai phía bất kỳ cĩ biên là chu tuyến C, Ø là véctơ đơn

vị pháp tuyến trên phía đương của mặt § (chọn phía đương mặt S la

hướng đi quanh C theo quy luật ren phải, đ9 là phân tế mặt Cơng thức (1.95) cĩ thể viết dưới dạng chỉ số như sau:

Ja¡dx; = [ng sụy d;¡ d8 , (1.26)

1.2.2.2 Tích phân mặt Định lý Gaoxo-Oxtrégratxki

Cơng thức Gaoxơ-Ơxtrơgratxki cho phép chuyển từ tích phân mặt sang

tích phân khối thường dùng cho trường véctơ ä=ã(š) = ø,(x„) như sau:

Định lý (1,28) khơng chỉ đúng với trường véctơ ã(#) mà cĩ thể mở rộng

cho các đại lượng nhiều chỉ số (mà sau này ta gọi là đại lượng tenxơ hạng

i

[ru aijp pqr@S = fap pgrudV (1.29)

1.2.2.3 Ung dung cong thitc Gaoxo-Oxtrogratxki `

Sử dụng cơng thức chuyển đổi tích phân (1.28) ta tính đạo hàm của tích phân

Trước hết giả thiết V khơng thay đổi, khi đĩ hàm ø trong thời gian dt

nhận một gia lượng “dt và tồn bộ tích phân #Ƒ' cĩ gia lượng:

20

CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC

AJ, = [Lat av

Nếu ø khơng thay đổi mà thể tích V thay đổi trong thời gian đ¿, nghĩa là

một phần thể tích V được chuyển ra ngồi hoặc nhận vào trong qua mặt

bao § Lấy một phân tố mặt đ®, gọi đ=u,là vận tốc di chuyển của phần thể tích V Trong thời gian dt qua phan tế mặt đS thể tích thay đổi một gia lượng là ư-đ dt dS =u,n, dt dŠ, vậy trên tồn mặt gia lượng này là:

AJ;= |pư-đ dtdS= |p uị nị d£dS

Sử dụng cơng thức chuyển tích phân nhận được:

AJ;= |(p u¡); didV

Ự-

Trường hợp cả ø và V thay đổi đồng thời, gia lượng sẽ là:

Ta cĩ thể viết cơng thức (1.30) theo dạng thường dùng như sau:

Op ơp _ơ(0u,) ơp _ờ ơu, _ dợ co

D 9 ——+(00,},=——+——ˆ=——+—u,+0ÿ—— = ——+ødiu0 cay OM thạc Tay tay 0 tgệc ae ON

hàng và cột xác định) Các phần tử này có thể là các số không đổi hay các hàm Nếu số hàng bằng số cột ta có một ma trận vuông, cấp của ma trận vuông bằng số hàng (hoặc cột) Nếu số hàng bằng m, số cột bằng n, người

ta nói cỡ của ma trận là (m x n) Do mục đích của giáo trình chỉ xét trong

toạ độ đề các nên chỉ xét đến ma trận cấp ba Nếu số hàng không bằng số

cột thì các ma trận gồm một hàng hay một cột sẽ tương ứng với một véctơ

ba thành phần (véctơ hàng hay véctơ cột) Ký hiệu các phần tử của ma

Ma trận đơn vị (bao giờ cũng vuông) là ma trận chỉ có 3 thành phần trên

đường chéo bằng 1, các thành phần khác đều bằng không Ký hiệu ma

trận đơn vị bằng E (hoặc J) R6 rang ta cé:

1 00

E=(6,)=|0 1 0| (1.34)

001

Ta có các định nghĩa tiếp theo như sau:

- Thay đổi thứ tự hàng và cột nhận được một ma trận mới là ma trận

chuyển vị của ma trận ban đầu ký hiệu là B = A7

A = (ai) ; B= (b;,) = (ay)" = (a,) =A’ (1.35)

Từ định nghĩa này suy ra:

(A2Ï=A và (A,4;, A, = AT AT, A:A/

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

- Nếu chuyển vị của một ma trận bằng chính nó (hai ma trận bằng nhau

khi các phần tử tương ứng bằng nhau): A = AŸ thì A là ma trận đối xứng Một ma trận cấp 3 đối xứng có 6 phần tử độc lập Trường hợp A = - A”, ma trận A là phản đối xứng Các ma trận phản đối xứng đều có các thành phần trên đường chéo bằng không Một ma trận cấp 3 phản đối xứng có 3 phần tử độc lập

Từ các định nghĩa trên đây ta suy ra hệ quả sau đây:

Một ma trận bất kỳ bao giờ cũng có thể biểu diễn thành tổng của một ma trận đối xứng và một ma trận phản đối xứng

Thật vậy, ta có đồng nhất thức:

A= SÍA+A")+ 2|A- AT) (1.36)

mà SIA+ AT) là ma trận đối xứng vì SIA+ ATy =

—|A-A' } =—|A' -|A Tí -ArƑ ~1Íạn-[arƑ)=1Ar ~A- 1a ~Ar) =—|A ` -Ä}E-—|A-A' }

Để dẫn dắt các công thức trên chỉ cần lưu ý phép cộng hay trừ các ma

trận sẽ thực hiện trên các phần tử tương ứng của nó

~ Ma trận chỉ có các phần từ trên đường chéo khác không là một ma trận

chéo Ví dụ A là ma trận chéo có các thành phần trên đường chéo là ø, ta

ký hiệu:

a, O O

A=|0 a, O |= diag (a) (1.37)

0 0 a, b) Phép nhân các ma trận

Ngoài phép cộng (trừ) các ma trận theo quy tắc thực hiện các phép tính

này trên các phần tử tương ứng đòi hỏi các ma trận phải cùng cỡ với

23

nhau Kết quả của phép tính này sẽ nhận được một ma trận cùng cỡ

Phép nhân hai ma trận tuân theo một quy luật khác:

Tích của hai ma trận A = (a,,) va B = (b,) 1a ma trận Ở = (e„) với các phan

tử cạ được tính như sau:

ma trận A phải bằng số hàng của ma trận Ö và kết quả là ma trận tích C

có số hàng bằng số hàng cua ma tran A, số cột bằng số cột của ma trận B Nếu là ma trận cột thi tich AB = C cũng là ma trận một cột

Từ định nghĩa phép nhân như trên có thể suy ra, trong trường hợp tổng

quát AB z BA (dấu = ở đây có nghĩa là, có thể nhân được những kết quả

khác nhau, cũng có thể không thể thực hiện được phép nhân Ví dụ nếu A

là ma trận cấp ba; B là một ma trận cột thì AB nhân được với nhau nh- ưng BA không thể nhân được) Cần phải nhấn mạnh điều này để phân

biệt với phép nhân tenxơ sau này

Từ định nghĩa phép nhân ma trận dẫn đến định nghĩa ma trận nghịch đảo, một khái niệm rất quan trọng có ứng dụng trong nhiều ngành kỹ

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

có rất nhiều phương pháp tính ma trận nghịch đảo mà ở đây không trình

bày

1.2.3.2 Trị riêng, uéctơ riêng của ma trận

Giả thiết có một ma trận cột gồm 3 phần tử (một véctơ cột (#=(+;) khác không (một véctơ khác không phải ít nhất có một phần tử khác không) và

một ma trận Á = (z„) Phép nhân trái A với z (A nằm phía trái š) sẽ

được một véctơ Nếu véctơ kết quả này đồng phương với véctở # đã cho, -

(1 là một vô hướng) thì z là véctơ riêng của ma trận A, À là trị riêng

tương ứng với véctơ riêng x

Khái niệm trị riêng và véctơ riêng của ma trận đặc biệt quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật, chẳng hạn như trong lý thuyết dao động và ổn

định, một lĩnh vực gặp bất kỳ ở đâu đối với các cán bộ làm công tác

nghiên cứu cũng như cán bộ kỹ thuật Bài toán tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận là một bài toán quen thuậc và cơ bản của đại số tuyến tính

Chuyển vế (1.41) nhận được phương trình: |

Khai triển phép trừ và nhân ma trận dưới dạng các phần tử và viết theo cách quy ước chỉ số ta có:

(a„ - Â Sy) x, = 0 (1.48)

Nhớ rằng trong (1.43) thì ¿ là chỉ số tự do, š là chỉ số câm nên đó là hệ ba

phương trình tuyến tính thuần nhất với ba ẩn số z„

Để hệ 3 phương trình (1.42) hoặc (1.48) không có nghiệm tầm thường (bao giờ cũng có nghiệm tầm thường zx„ = 0) thì định thức các hệ số của chúng

phải bằng không:

|A- ^AE|=0 hoặc |a„ - 26„| = 0 — 449

Phương trình (1.44) là phương trình đặc trưng của ma trận A Khai triển

định thức các hệ số nhận được một phương trình bậc 3 đối với  dạng:

VỚI Ar = Ay = Ay, + Ag + địa (vết của ma trận A)

Phương trình (1.44a) có đúng ba nghiệm Các nghiệm này có thể âm,

dương, đơn, bội, thực, phức, cũng có thể bằng không Tìm được các

nghiệm 4„ này thay trở lại (1.43) ta tìm được các x„ tương ứng Do định thức các hệ số bằng không, các nghiệm +„ sẽ sai khác một hằng nhân Để +„ là xác định ta phải chuẩn hoá nó, cách chuẩn hoá thường dùng nhất là X,X, = 1

Nhu vậy bài toán tìm véctơ riêng và trị riêng của một ma trận đã giải quyết xong Tuy vậy người ta thường quan tâm đến các trị riêng của ma trận là thực, vậy thì với điều kiện nào của ma trận A, các trị riêng của nó

là thực Ta sẽ chứng minh định lý sau đây:

Định ý: Nếu A = (a„) là một ma trận đối xứng và các phần tử ø„ thực thì

nghiệm 4 xác định từ (1.44) là thực

Chứng mình: Ta chứng mình bằng phần chứng: Giả thiết một trị riêng 4¿ nào

đó là phức Để đơn giản cách viết ta ký hiệu trị riêng đó là 4 Như vậy nó có

dạng: 4= ø+jØ với j”= -1 (œ Ø là vô hướng nào đó và là những số thực)

Nếu trị riêng 4 là phức thì từ phương trình để xác định véctơ riêng tương ứng + của nó, x„ cũng phải là phức (hệ số các phương trình là phức) và có đạng:

Xp = Up + JU, (x, 1A An thi u,, v, 1A phan thực và phần ảo của nó cũng là ẩn) Thế các

biểu thức của 4 và z¿ vào (1.43) nhận được: 7

[ư„ ~(z + J Ø) ô;] (uy + J v,) = 0

Hệ ba phương trình này tương đương với hệ sáu phương trình sau:

Ay, úy — Œ ¡ + ØU, = 0 (a)

Ay, Ủy ~ ŒU, — Bu; = 0 : (b)

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Nhân các phương trình (ø) với 0, các phương trình (6) với ư, và trừ cho

nhau, từ giả thiết về tính đối xứng và thực của ø„ ta có kết quả:

8(u¡ u¡ + 0¡ Uỷ = 0 (c)

Do gia thiét X#0 nén it nhất thì u, hoặc 0, khác không, vi vay theo (c) phải có đ= 0 nghĩa là 4 = @ 18 mét gia tri thuc

Kết quả này cũng xác định được các véctơ riêng của ma trận đối xứng và thực cũng là những giá trị thực vì (1.43) là hệ phương trình tuyến tính _ với hệ số là thực Các véctơ riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau của

ma trận thực đối xứng có tính chất đặc biệt là chúng trực giao nhau (tích

vô hướng của chúng bằng không)

Thật vậy gọi 4¿; và 4¿„ là hai trị riêng khác nhau (4/¿ # 4„„) của ma trận

đối xứng, thực A = (a,,) Thay chúng vào (1.43) tìm được hai véctơ riêng t- ương ứng #') =zx(° và #”)=zx(”), Cần chứng minh #“).x””=x(*,x(= 0

Do zx£", xứ? đều là nghiệm của (1.43) ứng với „„ và 4„; nên phải có:

(Ain — Ar Sn) % = 0 (Aig — Avy Sip) x” =0

Nhân các phương trình thứ nhất với zƒ”?, phương trình thứ hai với x!”

i

rồi trừ cho nhau với lưu y ay = a,; ; 6g = 6; nhan được:

s) wir)

(A) — Key) Si, Xp x," = 0, Ỏ i

vì „„ # „„ nên phải có

Đây là điều cần chứng minh

Một kết quả nữa cần nhắc đến là khi biết được các véctơ riêng #, của ma

trận A, ta có thể đưa A về dạng chéo bằng phép biến đổi đồng dạng như

Thứ tự của Ai trong ma trận chéo tuỳ thuộc vào sự sắp xếp của cột các

véctơ riêng trong ma trận dạng riêng V hoặc V* Chẳng hạn, nếu xếp V=

(£;,z,,#,) khi đó

Âs 0 0

0 0 arg

Lưu ý: Tìm trị riêng, véctơ riêng chỉ được xét với các ma trận vuông và

những kết quả trên đây đúng với ma trận cấp n bat kỳ chỉ cần mở rộng giới hạn quy ước của chỉ số

Để minh hoạ cho những kết quả đã nói trên đây ta lấy ví dụ đối với ma trận thực, đối xứng A như sau:

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Ba trị riêng tương ứng là 4; =4; A, =2; Az =1

(thông thường xếp giá trị 4; từ lớn đến nhỏ theo tht tu A, = A, 2A,)

Lần lượt thay các giá trị 4, tìm được vào phương trình (1.48) (œ„ ~  d,) x, = 0

sẽ tính được x, tương ứng 6 đây ta sẽ tìm cu thé chẳng hạn với A, = 2; tương ứng với trị riêng này là #, =zx„, Khai triển theo chỉ số phương trình trên đây là:

(11 — 2) Xq1 + Œ;aX;;¿ + đ;aX;;¿ = 0 đại Xạ; + (Gạạ —2) X;; + d;sX;s = 0 đạy Xạ;i + dạaX¿; + (0ạạ — 2) x;; = 0, thay các giá trị œ„ của ma trận Á vào các phương trình này được:

(3 —2) X21 —Xg9 = 0 %¿¡ — Xa; = 0

—#¿;+(3-2)x;;=0 hay —%g¡ + #¿;;¿ = 0

(1 — 2) x;; = 0 — #¿; = 0

Từ ba phương trình trên ta nhận được: x;;=Ú; X91 = Xoo

Do các thành phần của #; khác nhau một hằng số nhân có thể lấy xạ; = 1, kết quả nhận được:

1.3.1 Phép biến đổi toạ độ

Giả sử hai hệ toạ độ đề các trực giao có chung gốc toạ độ tuỳ ý Ox;xzx;¿ = (Ox,

và Oz,z,x; = (Oz,) (hình 1.1) Vì hai hệ trục (O*x; và (Oz,) đều trực giao có

chung gốc nên có thể hệ trục này nhận được từ hệ trục kia bằng phép

quay các trục quanh gốc toạ độ hoặc bằng phép chiếu gương các trục đối với một mặt toạ độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách Goi é, va é

là các véctơ đơn vị trên các trục toạ độ tương ứng và cosin của góc giữa hai trục z; và x„ ký hiệu là ø„ Rõ ràng ta có:

é, & = |ẽ;| |Ez|eos (E, , ẽ;)= cos(é, ,é,) =cos(x,,x, ) =a, (1.50)

và có 9 đại lượng a, nhu vay A ies,

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

€ =, e,; €, =p e (1.52)

(lưu ý đến quy ước về chỉ số)

Nói cách khác, khi cho trước một hệ trục toạ độ đề các (tuơng ứng với cho tập các véctơ đơn vị hay hệ véctơ cơ sở) và ma trận các cos¿n chỉ phương

thi hé vécto co sở mới (tương ứng với hệ trục toạ độ mới) là hoàn toàn xác định theo (1.52)

Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận A đều là những véctơ

trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các véctơ vuông góc với nhau có độ lớn

ẽ, 6, = Ôy = GuỂ, Quế; = đại Guuổ„= đụ đc (1.58)

Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận trực

giao Các ma trận trực giao thoả mãn đẳng thức: A 1= AT,

1.3.9 Định nghĩa tenxơ, Các phép tính đại số trên tenxơ

và (1.55) suy ra:

X;= Oh, Xy: Xu = Ay x; , | (1.56)

Dang thức (1.56) chứng tỏ rằng, nếu biết trước ma trận cosin chỉ phương của hai hệ trục toạ độ và các thành phần của một véctơ nào đó trong một hệ trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác định Quy luật này giống hệt quy luật biến đổi hệ trục toạ

độ (1.52) Từ kết quả đó cho phép ta có một định nghĩa mới về véctơ như sau:

Một hệ thống gôm 3! = 3 thành phần +x¿ cho trong một hệ toạ độ đề các nào

đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.59) thì các thành phần này

cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.56)), chúng lập thành một

tenxởơ đề các hụng nhất

Lưu ý rằng quy luật biến đổi của tenxơ hạng nhất tỷ lệ bậc nhất với các cosin chi phương Một véctơ là một tenxơ hạng nhất nhưng không phải chỉ có véctơ mới là tenxơ hạng nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào

khi hệ trục toạ độ thay đổi mà nó được xác định theo quy luật (1.56) đều

là tenxơ hạng nhất Một mặt phẳng có phương trình tổng quát cho trong

hệ trục (Oz, là: a, %, = a; x; = 1, khi hệ trục thay đổi thành (Oz/) phương trình của mặt phẳng này trong hệ trục mới là: g,%, = 1

Quan hệ giữa toạ độ x„ và x;¡ như đã biết là: x; = œ„#„ Vậy thì:

G; ¡= A; 0y X„ = 1=, hay dy= đyd;

Đây chính là quan hệ của biến đổi tenxơ hạng nhất (1.56) Vậy các hệ số của mặt phang a, cũng là một tenxơ hạng nhất

Tenxơ hạng nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hướng” của nó được

xác định bằng tích z,z+; trong hệ toạ độ cũ và +; x¡ trong hệ toạ độ mới là

không thay đổi (bằng nhau)

Thật vậy, ta có:

, to ~ _ ~ ~~

X¡.Xị= ŒuX„ Aighg = AipQigs XpXq = Oph pXq =Xp Xp =X; X;

32

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Để dẫn đến các tenxơ bậc cao hơn (chẳng hạn bậc hai) ta xét tích diat của

hai vécto ¥ va ÿ được định nghĩa như sau:

nghĩa là lấy tập các tích có thể có được của từng thành phần của hai véctơ

# và ÿ Ta có tất cả 9 tích như vậy Ký hiệu:

Ay =X; Vp, (1.58)

Ta thử xem các thành phần a, sé thay đổi như thế nào khi chuyển sang

hệ trục toạ độ mới Gọi a7 là các thành phần của nó trong hệ trục mới và

khi chuyển sang hệ trục mới đẳng thức (1.58) trở thành

Qi, = Xj Vp- (1.59)

Do x, y, 1a thanh phan cha tenxơ hạng nhất nên sang hệ toạ độ mới phải

tuân theo quy luật (1.56):

dụ = Œ,X„ Quy, = AipAeg: NpVq = AipAeg+ Ange (1.60)

Đẳng thức (1.60) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần ø„„ trong

hệ toạ độ cũ sang các thành phần trong toạ độ mới là có quy luật xác định

dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đối A và tỷ lệ bậc hai với các thành phần cos¿n chỉ phương này Quy luật (1.60) dẫn đến định nghĩa

tenxơ hạng hai như sau:

Một hệ thống gồm 3° = 9 thành phần a„ cho trong một hệ trục toa độ đề

các nào đấy, khi hệ trục toạ dé thay đổi theo quy luật (1.59) thì các thành

phần này thay đổi theo quy luật (1.60) chúng lập thành một tenxơ đề các

hang hai

Dé dang thấy rằng các hệ số của mat bac hai téng quat ay x; x, = 1, là một

tenxd hang hai

Phần sau sẽ chỉ ra, tenxơ hạng hai có nhiều bất biến

Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tenxơ hạng nhất và hạng hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tenxơ đề các hạng W bất kỳ

như sau:

33

Một hệ thống gồm 3Ÿ thành phần a„„ cho trong một hệ trục toạ độ đê các

nào đấy, khi hệ trục toạ độ thay đổi theo quy luật (1.59) thì các thành

phần này thay đổi theo quy luật:

Trường hợp đặc biệt, các vô hướng là tenxơ hạng không

1.8.2.2 Các phép tính dai số trên tenxơ -

g) Phép cộng tenxơ Tích vô hướng

Các tenxơ để các cùng hạng có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo

nguyên tắc sau đây:

Gựy,.É bin = Cig (1.62)

Tenxơ tổng này sẽ cùng hang với các tenxơ thành phần Cần lưu y rang

các chỉ số như nhau được sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi

một phần tử Phép nhân tất cả các thành phần của tenxở với một vô hướng cho một tenxơ mới cùng hạng; chẳng hạn:

Dig = Øđ duy (1.63) b) Phép nhân tenxơ Tích ngoài, tích trong và phép cuộn

Tích ngoài của hai tenxở có hạng tuỳ ý là một tenxơ mới mà mỗi thành

phần của nó được biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tenxo

này uới từng thành phần tenxơ bia Hạng của tenxd 1 mới bằng tổng hạng của hai tenxơ thành phần

Ta chứng minh cho kết luận trên đây, chẳng hạn đối với hai tenxơ có

hạng hai và hạng ba ø„ và b„„ Tích có thể có của từng thành phần này

với từng thành phần tenxơ kia sẽ là ơy b„„ Ta ký hiệu kết quả phép

nhân này là c ikpgr nghia la Ciepgr = Vik Dnar , |

Bây giờ cần chứng minh c¿„„„ là một tenxơ hàng năm Thật vậy, trong hệ

toạ độ mới có: c; — ,

thpqạr —” a,b

34 pạr `

CƠ HỌC MOI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Do giả thiết a„ và b„„„ là hai tenxơ hạng hai và hạng ba nên ở hệ toạ độ mới các thành phần này biến đổi theo quy luật của tenxơ, vậy thì:

C ihpạr = Aim bin Imn Ông Qgh aj by = Aim Ôn Ổ ps Qh a,j Qmn by

= Aim An Ans nh a,j Cmashj *

- Theo định nghĩa, đây là quy luật của tenxơ hạng năm

Phép cuộn tenxơ theo hai chỉ số là phép tính bhi hai chỉ số trùng nhaqu 0à -

như uậy nó tuân theo qy tắc lấy tổng Kết quả phép cuộn tenxơ được một tenxở mới (tích chập) có hạng giảm hai đơn uị so uới tenxơ ban đầu

Các ví dụ sau đây đều là phép cuộn tenxd: ø„ A¿„, T,Ð, AmnOkm GiAjmOmg Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tenxơ là một tenxơ có hạng bé

hơn tenxơ ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tương tự như cách chứng minh

tích ngoài của hai tenxơ Điều cần lưu ý là để thực hiện phép cuộn tenxơ đòi hỏi tenxơ ban đầu phải có hạng ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần

Phép nhân trong (tích trong) là phép nhân ngoài uà cuộn đông thời của

các tenxơ, các chỉ số trùng nhau phải có mặt trong mỗi nhân tử

Ví dụ phép nhân trong là Á,„b,, 7„„ø„„ còn A,„b, lại không phải là phép nhân trong vì chỉ số ¿ trùng nhau chỉ nằm ở nhân tử Ain

e) Phép hoán vị chỉ số

Với tenxơ đã cho, hoán vị bất kỳ chỉ số nào đều nhận được tenxơ mới cùng

hạng với tenxơ đã cho Tenxơ mới và tenxơ cũ có các thành phần như

nhau, không thay đổi nhưng sắp xếp thứ tự các thành phần là khác nhau

ở) Dấu hiệu ngược cua tenxd _

Ta thường gặp trường hợp sau đây trong phép tính tenxơ:

Khi thực hiện phép tính tích các đại lượng một cách hình thức như các

phép tính tenxơ mà biết chắc một thành phần là tenxơ và kết quả của

phép tính ấy cũng là tenxơ Vấn đề đặt ra là, thành phần còn lại trong phép tính ấy có phải là tenxơ không Trước hết ta chứng minh cho trường

hợp riêng, sau đó mở rộng cho trường hợp tổng quát

35

Giả thiết b, c, 1a hai tenxo hang nhất và có đẳng thức:

Cc; = Aisb, , (a)

cần chứng minh rằng ø„ là một tenxơ hạng hai

Thật vậy, do ö, là tenxơ hạng nhất (một véctơ), không mất tính tổng quát

ta chọn hệ trục mới có một trục trùng với véctơ này, chẳng hạn trục đó là

.trục È, khi đó 6; bằng độ dài ^ của véctơ: b;= Âcòn bi= 0 khis zÈ (ở đây b xem như cố định, không theo quy tắc lấy các giá trị từ 1 đến 3 theo quy ước

và k vẫn là tuỳ ý) Chuyển sang hệ toạ độ mới đẳng thức (ø) trở thành:

Đây là quy luật của tenxơ hạng hai và là điều phải chứng minh

Mö rộng kết quả trên đây cho các tenxơ bất kỳ thì trong một tích hình

thức kiểu phép nhân trong hai tenxơ mà có một thành phần là tenxơ (hạng bất kỳ), kết quả của phép nhân là tenxơ thì thành phần kia cũng là tenxơ, hạng của tenxơ này bằng số chỉ số của nó

Ví dụ, có đẳng thức: cạ = đz„„„b„„ trong đó c„, b„„ là tenxơ hạng hai thì, đ„„„ là tenxơ hạng bốn và cy„„ = ơ„„„b,„ trong đó c„„, là tenxơ hạng bốn,

b„„ là tenxơ hạng hai thì ø ikpq LA tenxơ hạng bốn

1.3.3 Hai cách phân tích tenxơ

Hai cách phân tích tenxơ này chỉ giới hạn cho tenxơ hạng hai Cho một

tenxơ hạng hai ơ„ (9 thành phần), xếp các thành phần của tenxơ này

36

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

dạng ma trận cấp ba (cần lưu ý rằng đây chỉ là một cách sắp xếp các

thành phần của tenxơ, nếu sắp xếp các chỉ số thích hợp thì phép nhân

tenxơ cũng như nhân ma trận, nói chính xác hơn, phép nhân ma trận là phép nhân tenxơ với các chỉ số được sắp xếp theo một thứ tự chặt chẽ, phép

nhân tenxơ tổng quát hơn nhiều !), đây là ma trận của tenxơ, ký hiệu

TẠ = (d„),

a, là các thành phần của tenxơ nên theo quy luật biến đổi của tenxơ 1.3.3.1 Phân tích thành tổng tenxơ cầu uà tenxơ lệch

Từ tenxơ 7 lập một tenxơ dạng chéo có các thành phần bằng nhau

laa, = a,,/3 Tenxơ như vậy là £enxơ cầu:

| App = App - 3g = O

Tenxơ như vay goi 1a tenxo léch Y nghia ca tt “lệch” sẽ thấy về sau Sự phân tích tenxơ thành tổng của tenxơ cầu va tenxơ lệch để ứng dụng cho các môn học chuyên ngành

1.3.3.2 Phân tích thành tổng tenxở đối xứng uà phản đối xúng

Khi đã xếp tenxơ thành dạng ma trận thì sự phân tích này hoàn toàn

a, by, và œ„ by, chỉ có một phần tử, nói chung không bằng nhau Mặc đầu

a,; 6,; cũng có 9 phần tử nhưng không theo quy luật của nhân ma trận, chỉ có tích ø„ ö„ là tuân theo quy luật của ma trận Phép nhân hai tenxơ

đã xếp theo đạng ma trận mà muốn kết quả của chúng cũng xếp đạng ma

trận sẽ thực hiện phép nhân này (kế cả với phép nhân với véctơ là tenxơ

hạng nhất)

Khi tính trị chính và hướng chính của tenxơ hạng hai ta chỉ xét những

tenxơ đối xứng có các thành phần thực vì những tenxơ rất quan trọng đối với cơ học thường là đối xứng và thực |

Đối với mỗi tenxd T, = (a,,) cho tại một điểm nào đấy trong không gian ứng với một hướng các trục toạ độ xác định ÿ, =y, Tích trong ø,zy; (nhân

kiểu ma trận) cho kết quả là một véctơ nào đấy ø=u,, tức là:

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

với 4 là một vô hướng Để tìm hướng chính của tenxơ 7„ ta phải giải bài

toán (1.69) Thay đồng nhất thức y; = „y„ vào phương trình trên nhận được:

Hệ (1.70) gồm ba phương trình, bốn ẩn số mà dạng khai triển là:

(an — Â)Y¡ † g;2y; + ga = 0,

BV, + (dạ; — À)y¿ + đ;xy; = 0, (1.71)

8a; + đạzyz† (đ;; — Ays - 0

Để nhận được nghiệm không tầm thường, định thức các hệ số phải triệt

tiêu (xem mục 1.2.8.)

Khai triển định thức này, nhận đựơc phương trình đặc trưng:

2 ~ ar4+ ayy 2? — Am = 0 (1.78)

Cac hé 86 a;, ay, @y,;, dude cho bởi công thức (1.45)

Tenxơ (z„) là đối xứng và các thành phần là thực nên phương trình đặc trưng bậc ba có ba nghiệm thực 4;, A,, A; ; gọi là giá trị chính của tenxở

Tạ Thay các giá trị 4, vào (1.70) sẽ tìm được ba hướng chính Nếu tất cả

44 khác nhau thì ba hướng chính trực giao (xem mục 1.2.3.) Với trục

chính, tenxơ 7x được đưa về dạng chéo, nói khác ởi, nếu chọn hệ trục toạ

độ theo hướng chính thành phần tenxơ 7 có dạng:

Tạ = 0 Ay 0 (1.74)

0 OA 3 Néu 4, = A, thi dang đường chéo của tenxơ không phụ thuộc vào việc chọn trục tương ứng với 4; và 4¿ mà đặt trục chính tương ứng với 4z hai trục

39

vuông góc bất kỳ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục chính tương

ứng với 4; đều là trục chính Trường hợp tất cả giá trị của 4; bằng nhau

thì bất kỳ hướng nào cũng là hướng chính Để cho thống nhất về sau, ta thường ký hiệu 4, thành zø, (khi tìm trị chính của tenxơ (z„)), ví dụ tenxơ

gol là các bất biến của tenxơ 7 Tenxơ hạng hai có ba bất biến là:

ayy = la, | = &G,‡ữ,zä,¿ = 6 ,Œ¡/G2G;„ = G;0;G; (1.77)

Các bất biến này lập thành một hệ bất biến cơ sở không chỉ đúng với tenxơ đối xứng mà đối với mọi tenxơ hạng hai

Để tìm giá trị chính của tenxơ (cũng là để tìm hướng chính) cần phải giải phương trình (1.73) Sẽ gặp phải khó khăn khi tìm nghiệm của một phương trình bậc ba đủ, có đầy đủ các hệ số Để tránh những khó khăn này, phải tim cách giải phương trình bậc ba thiếu (để từ đó có thể dự:

đoán một nghiệm, hoặc có thuật toán đơn giản hơn để tìm nghiệm) bằng

cách phân tenxơ 7 thành tổng tenxở cầu và tenxơ lệch:

T= Ty +Tp,

Trị chính của 7 sẽ là tổng trị chính của tenxơ cầu và tenxơ lệch Trị

chính của tenxơ cầu rõ ràng bằng øạ = -at, (ba nghiệm bằng nhau, vi

40

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

tenxơ cầu có dạng chéo) Để tìm trị chính của 7¿ chỉ việc tìm trị chính của T,, , tic là giải phương trình đặc trưng: |d, - uổ„| = 0

Khai triển định thức này được:

# - du? + dụu — đụy = 0 (1.78)

T,, là tenxơ lệch nên có đ, = dụ = 0, dy = = (duds ~d4d,,)= ~ dads

1

—— 6 (a, — Ao Ỷ + (a2 — 233 Ỷ + (œ;; — ai; Ỷ + 6(a?, + a3, + a, } (1.79)

a}; — A đ;; a33 diy = In =| Go; đạ¿ — dạ G23 |- (1.80)

a3; đạ; 33 — Ag

Do tenxơ cầu có các trị chính bằng nhau, hướng nào cũng là hướng chính

nên hướng chính của 7¿ trùng với hướng chính của T;,

Trị chính của 7; tìm từ phương trình bậc ba thiếu:

we +dyA-dy, =0 (1.81)

Do dy 4m, ky higu: D = Jd] = 15 dady

Phương trình đặc trưng (1.81) đưa về dang:

Từ phương trình bậc ba thiếu này dễ dàng tìm được nghiệm Đặt