Khóa luận tốt nghiệp toán các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp

7 Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN .... Đề tài đã hệ thống lại các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp ở bậc trung học cơ

1

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự cố gắng

của bản thân em đã nhận được sự khích lệ, quan tâm rất nhiều của nhà

trường, thầy cô, gia đình và bạn bè

Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trường Đại học

Quảng Bình đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong thời

gian học tập tại trường Đặt biệt, em xin chân thành cảm ơn ThS.Trần Hồng

Nga – người trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài

Cảm ơn tập thể lớp Cao đẳng Sư phạm Toán K54, bạn bè và gia đình đã

luôn động viên em trong học tập cũng như cuộc sống

Xin trân trọng cảm ơn!

Người thực hiện

Lê Thị Minh Hằng

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 3

I Lí do chọn đề tài 3

IV Phạm vi nghiên cứu 4

V Phương pháp nghiên cứu 4

VI Bố cục khóa luận tốt nghiệp 4

PHẦN 2 NỘI DUNG 5

Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ 5

1.1 Đường tròn ngoại tiếp tam giác 5

1.1.1.Khái niệm 5

1.1.3 Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác 6

1.2 Tứ giác nội tiếp 7

1.2.1 Khái niệm 7

Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 9

2.1 Các dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác 9

2.2 Các dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp 18

PHẦN 3 KẾT LUẬN 58

nội tiếp, Các bài toán về chứng minh đa giác nội tiếp rất phong phú, phạm

vi nghiên cứu rất rộng Và đó là một trong những dạng toán được quan tâm nhiều trong các kỳ thi học kỳ, kỳ thi chuyển cấp và trong các kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi ở cấp trung học cơ sở Tuy nhiên, Sách giáo khoa chưa có

sự hệ thống các phương pháp chứng minh một cách cụ thể dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh đa giác nội tiếp một đường tròn

Việc cung cấp cho học sinh phương pháp giải các dạng bài toán về đa giác nội tiếp là cần thiết Để giải các bài toán này đòi hỏi học sinh không những cần nắm chắc lý thuyết mà còn phải biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý, linh hoạt Để giúp cho học sinh thấy được điều thiết thực của Toán học đồng thời tạo nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán Đó là lí do em chọn đề tài

“ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”

Đề tài đã hệ thống lại các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp ở bậc trung học cơ sở, cụ thể là các dạng toán chứng minh tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp một đường tròn thông qua nghiên cứu đề tài “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”

II Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của khóa luận này là giới thiệu cho học sinh các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp để học sinh hệ thống được các bài toán và giải toán tốt hơn

Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như các ứng dụng trong chứng minh đa giác nội tiếp nói riêng và của Toán học nói chung trong cuộc sống

Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy khi giải các bài toán hình học

III Đối tượng nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu các dạng toán về chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác, tứ giác nội tiếp một đường tròn

IV Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phần hình học ở chương trình lớp 6, 7, 8, 9

V Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu em sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu lý luận: Em đã đọc sách, phân tích đối chiếu các tài liệu

Toán học, lý luận dạy học môn Toán, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy

- Phương pháp rút kinh nghiệm:Tổng kết kinh nghiệm của bản thân,bạn

bè,anh chị để hệ thống lại kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức khóa luận

VI Bố cục khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận được chia làm 2 chương

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến các khái niệm, tính

chất, định lý về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tứ giác nội tiếp đường tròn

5

Chương 2 trình bày các dạng toán chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam

giác và tứ giác nội tiếp đường tròn

PHẦN 2 NỘI DUNG Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đườn tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này là đa giác nội tiếp đường tròn

Ở trường trung học cơ sở ta đã được học về đường tròn ngoại tiếp tam giác và tứ giác nội tiếp đường tròn

1.1 Đường tròn ngoại tiếp tam giác

1.1.1 Khái niệm

O B

A

C

Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó, tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn

Trong một tam giác có một đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông

1.1.2.3 Định lí 3

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chứng minh: Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh

AB và AC của ∆ABC Ta sẽ chứng minh O cũng nằm trên đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác đó và OA = OB = OC

Vì O nằm trên đường trung trực b của đoạn thẳng AC nên: OA = OC (1)

Vì O nằm trên đường trung trực c của đoạn thẳng AB nên: OA = OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC (= OA)

Do đó điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh BC (theo tính chất đường trung trực)

Vậy ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua điểm O và ta có:

OA = OB = OC

1.1.3 Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực

- Tam giác có ba đỉnh cách đều một điểm (ta xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

O

A

7

1.2 Tứ giác nội tiếp

1.2.1 Khái niệm

O A

1.2.3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

-Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

-Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

-Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta xác định được) Điểm đó

là tâm đường tròn tứ giác nội tiếp

-Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

9

O B

A

C

Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP

TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 2.1 Các dạng bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

2.1.1 Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

a)Phương pháp

O B

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh

huyền BC Hãy xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có: AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Suy ra, OA = OB = OC = BC.Tức là A, B, C cách đều điểm O

Nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm O của cạnh huyền BC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn (O; R)

ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC vuông

Giải:

O

B A

C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Khi đó, OA = OB = OC (1)

Mặt khác, BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O

là trung điểm của BC

Do đó, OB = OC = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra, OA = OB = OC = BC

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THCS Huế - 2003) Cho hình vuông ABCD ,

M là một điểm trên cạnh BC (M khác B và C).Đường tròn đường kính AM cắt đoạn thẳng BD tại B và N

a) Chứng minh tam giác ANM là tam giác vuông cân

b) Chứng minh N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC

Giải:

11

N

O I B

A

45

C

D M

a) Ta có:

= 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AM)

= (Góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mặt khác, ABCD là hình vuông nên BD là phân giác của

= 450 => = 450

ANM vuông tại N, có = 450 nên là tam giác vuông cân tại N

Vậy tam giác ANM vuông cân

b) ANM vuông cân tại N => NA = NM

BD là trung trực của AC (ABCD là hình vuông)

N thuộc BD => NA = NC => NA = NM = NC

Do đó, N là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AMC

2.1.2 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

M P

C

Gọi O là trung điểm của AC => BO là đường trung tuyến

Mà ABC vuông tại B

Suy ra, OA = OB = OC =

Suy ra, tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC

Vậy ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M ,N ,P

theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,CA Chứng mih các điểm B, M, P,

C cùng thuộc một đường tròn?

Giải:

13

Ta có: BMC vuông tại M (M là trung điểm của AB)

M thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Lại có: BPC vuông tại P (M là trung điểm của AB)

P thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: B, M, P, C cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính

BC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao Đường vuông

góc với AC tại C cắt đường thẳng AH tại D Chứng minh B, C thuộc đường tròn đường kính AD

Giải:

H

D O A

= (AH là đường cao cũng là đường phân giác)

Vậy ACD = ABD (c.g.c)

Suy ra tam giác ABD vuông tại B nên B thuộc đường tròn đường kính AD

Do đó, B và C thuộc đường tròn đường kính AD

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông ở B Gọi D là điểm đối xứng của B

qua AC Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn?

Giải:

D O B

OA = OB = OC = OD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

2.1.3 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A,B cố định Một đường thẳng

quay quanh A cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường thẳng cố định?

Giải:

C

N

O A

B

I

M

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN

Gọi C là giao điểm của AB và (I)

Khi đó: PA/(I)= = = PA/(O) (không đổi vì A, (O) cố định)

Suy ra: =

Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thực trên ta có C cố định

Suy ra I thuộc đường trung trực của BC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) có:

AB = AC = R

a) Tính độ dài của BC theo R

b) M là điểm đi động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Chứng tỏ tích AM.AD luôn luôn là hằng số

c) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC.

IC vuông góc với AC

AC cố định do đó I nằm trên đường thẳng Cx vuông góc với AC tại C

M

B

O A

C D

17

Ví dụ 3: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường

kính CD thay đổi (CD không trùng với AB) Vẽ tiếp tuyến (d) của đường tròn (O) tại B Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q

a) Chứng minh rằng tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADP Chứng minh E lưu động trên một đường cố định khi đường kính CD thay đổi

Giải:

a) Ta có: + 1 = 900

Mà: 1 = 1

+ 1 = 1800

đó, tứ giác CPQD nội tiếp

b) Gọi J là giao điểm của AI và CD Ta có:

I

Vậy AI vuông góc với CD

c) E là tâm đường tròn ngoại tiếp nên E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPDQ

E là giao điểm của các đường trung trực của CD và PQ

EO vuông góc vói CD; EI vuông góc với PQ

Tứ giác AOEI là một hình bình hành

Ta có: IE vuông góc với (d) và IE = AO = R

Do đó, khi CD quay quanh O, I chạy trên tiếp tuyến (d) của (O) tại điểm

cố định B thì E chạy trên đường thẳng (d’) một đoạn bằng R và nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là (d) và không chứa (O)

2.2 Các dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp

a) Phương pháp:

Nếu tứ giác ABCD có:

+ = 1800 hoặc + = 1800 suy ra tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn

A D

Ví dụ 1:.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các

đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lướt tại M, N, P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn

Giải:

H -

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kỳ

trên nửa đường tròn (M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp

A

Ta có: = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB.Kẻ tiếp tuyến Bx và

lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt

D C

F E

a) C thuộc nửa đường tròn nên: = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn)

= 900 ( Bx là tiếp tuyến)

∆ABE vuông tại B có BC là đường cao

AC.AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao)

Mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi

Do đó: AC.AE không đổi

b) ∆ADB có = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> + = 900 (tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (1)

∆ ABF có = 900 (BF là tiếp tuyến)

=> + = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2)

23

Mặt khác: và là hai góc đối của tứ giác CEFD

Do đó, CEFD là tứ giác nội tiếp

Ví dụ 4: Cho tam giác vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa

mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại

E Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F

= 900 (vì tam giác vuông tại A) (3)

Từ (1) (2) (3) => Tứ giác AFHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

c) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được đường tròn

=> 1 = 1 (nội tiếp chắn cung AE)

Theo giả thiết AH ⊥ BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)

=> 1 = 1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)

=> 1 = 1 => + = +

Mà + = 1800 ( vì hai góc kề bù)

=> + = 1800

Mặt khác: và là hai góc đối của tứ giác BEFC

Do đó BEFC là tứ giác nội tiếp

= => AE AB = AF AC

* HD cách 2: AHB vuông tại H có HE ⊥ AB => AH 2 = AE.AB (*)

AHC vuông tại H có HF ⊥ AC => AH 2 = AF.AC (**)

Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC

d) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => ∆IEH cân tại I => 1

25

c)Một số bài tập có hướng dẫn giải:

Bài tập 1: Trên ( O; R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB < 2R Gọi giao điểm

của các tiếp tuyến của (O) tại A, B là P Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q Chứng minh tứ giác AQBP

nội tiếp được

Gợi ý: Để chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp (1)

Bài tập 2: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A kẻ hai dây cung

AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp được

Gợi ý:

G F

Ta có =

2

1sđ cung AE (số đo góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn)

=> = (sđ cung AC + sđ cung CE) : 2 (vì C thuộc cung AE) (1)

= (sđ cung AC + sđ cung BDE): 2 (G là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

27

HS có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58 (SGK Toán

9 tập 2)

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong

đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC

Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K Xác định tâm K của đường tròn này

- Chứng minh tương tự đối với điểm H

Từ đó xác định được tâm K (là trung điểm đoạn AI)

(HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85)

Bài tập 4: Cho tam giác ABC, các đường phân giác của góc trong tại B và

C gặp nhau tại S,các đường thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp đường tròn

CS là phân giác trong của

CE là phân giác ngoài của

= 900

Tương tự , ta có = 900

Tứ giác SBEC nội tiếp vì + = 1800

B

D

Giả sử tứ giác ABCD có: = = α (00 < α < 1800)

Với A và B nằm một nửa mặt phẳng bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O

Vì DC cố định nên A và B nằm trên cung chứa góc α dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc)

Suy ra bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp

O A

C

B D

- Khi cho α = 900 ta có: = = 900 và A, B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC

b) Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng

đường tròn (O) có đường kính MC,đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S