SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN

SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN SKKN toán 9 đề tài CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ GIÁC nội TIẾP một ĐƯỜNG TRÒN

ly Ti EiỚi HH oaugeattetgdecdoottatteodesvdetdkeosqgdeooglq@@fa@fvdgwWddea 4

2 Tên sáng kiến “Một sô phương pháp chứng minh tứ giác ndi tiép” 4

3 Tác giả sáng kiến -G- St SH S3 1 11 T11 1117171111111 xe + 1; CRY Caer CLF ta GA SS touyguygtbaoittoveododteoaloddlgjGeBieoXeltdfa 4

5 Linh vuc dp dung sng ki@nt c.cccecceccceccscsecesscscscseseseseesescscscseseeeesessseseaes 4

6 _ Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 4

7 NHĐ ĐäiGHIEGHSSBSHEEIHiosoouooioootOoOiliodiotiiuQNsoeiagBosagn + PHAN.At PHẬN MỜ ĐẤU :eoeesesbeeoseoiiooiiiiaiioihseigisdiE0160400503506135660800064 5

L Ly do chon dé taie cccccccccsscsesesesssscscsescsesecsescsesescssesesescscscseseseeacscsescaeeeeees >

TE Wiis et Ow de BE luoadoddoadoiGODOOAONOOOOAOOQNOHAQGHSBSQRNNS 5

TET, NC VO TONIC CU sc ccscnccscsssscsviccnisnnininamnnnmmnnmnimenwanmeeee 6

IV Di tuong cla dé tai oeeeceeececececccccccecsescsesecseecscsescseescscscscscsesesesescseseaeeeeees 6

V Pham vi ctia d@ tai: o eceecccceeeseessesseesessnesuesneesecsecensenccnecsecneesnesnecneeneeseestentes 6

XI, EHưữNHE phiiii HH CÀ daaboiG000200606003600003686000066300033636430860466689/6168 6

VII Địa điểm, thời gian nghiên cứu . - ¿2-2 5s s£s+S£zEzEzEzEzEzxzxzszsd 7

3:908;:19/9)8))00 077 8

i: THUC TRANG CUA VAN DE sscuscmacncnuacanesnasnnsmmnnt 8

1, VE CON NQUOE : - 5< Set SE St SE SE ST ST TT TT T11 11111111111 8 P.1 na 8

1 MỘT SỐ GIẢI EFHÁP THỤỰC HIẾN ĐỀ TÀI (6256666866866 8 [Thuê ti WE8RGTPLfNtsaassarnoenunndtoonaueonrnonnaanuntaasodaaa 8

1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - 5-5: 9

1.4 Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 9 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn - 2 2 2552 10 Phương pháp l: Dựa vào định nghĩa - 55 << 1 S33 Sex 10 Phương pháp 2: Dựa vào GHG ssciscsscccecisscssccnsiscssicnweessecscesetamisewsiemeiess 10 Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc -««««««- II

GŨu AINE BOT đIỆN: vussososdsadoo0000060/056806616 38030500G361008/3956063010013800036001G 12

2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 14

Bài tóan 1 Chứng minh nhiều điểm cùng năm trên một đường tròn 14

Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm có định 15 Bài toán3 Chứng minh quan hệ về đại lượng ¿2-2-5222 <2 18

i8 3 19 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm 19

Bài toán 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình 20

IV HIỆU QUÁ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI - SE SE EzE + £+Sx£: 24

X GIẢI PHÁP NET VÀ SÀNG TÁC? acdevevoasgdeorlouolGgd64scaieudgl 24

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY - 25

https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com

BANG CHU CAI VIET TAT

SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm

https://plus.google.com/+DayKémQuyNhon

1 Lời giới thiệu

http://daykemquynhon.blogspot.com

Toán học là môn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viên

giảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm được Sà

viết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giác

nội tiêp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mong sŠ muốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề `

2 =z Sáng kiến viết về Một sô phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, = ‘

tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đăng thức, chứng minh các <>

điểm cùng thuộc một đường tròn, Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hẻ

phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc ya

đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, Đặc biệt phải biết hệ thổ các

kiên thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 Đây là việc lầm hét sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh oe

b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cdch chimg minh t@ gidc ndi tiép rat

cơ bản thê hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp Tran giSêx toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ đề hình thành bón dấu Tiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt các dâu hiệu thành một

thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiệp một đường tròn cho học \ nh; nhiều học sinh không hiểu

cơ sở của dâu hiệu Dẫn đến học sinh rất is túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiêp một đường tròn c

Với học sinh lớp 9 đây là d Yodan mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được Các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay

cách lý giải căn cứ khác , <2

Với những lý do neoMay trong đề tài này tôi đưa ra một số cách đề chứng minh một tứ giác tội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường tròn”

II Mục đích của đề tài

Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phương pháp để hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm năm trên một đường tròn , chứng minh đường tròn đi qua một điểm có định, chứng minh quan hệ giữa các đại lượng và các bài toán có sử dụng chiều ngược lại của tứ giác nội

Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả

năng tư duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thê tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thây cô đồng nghiệp trong nhà trường và trong cụm đóng góp xây dựng đề sáng kiến của tôi được phát huy tác dụng trong giản

Tạo ra một tài liệu có tính khả thi trong quá trình giảng dạy cho hog sinh khối 9

về Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan

IV Đối tượng của đề tài:

Là học sinh đại trà lớp 9 — THCS, giáo viên mới ra ee ở bậc THCS

%

V Phạm vi của đề tài :

Là phương pháp chứng minh hình học THCSŠ»ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn đề:từ‹đó chứng minh các đăng thức về góc, đăng thức tích các đoạn thăng, y nhiên về ứng dụng của nó thì cũng

x

VỊ Phương pháp nghiên cứ Vy

- Băng quan sát thực tế iänp dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài

toán tông hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính

toan cua GV TH

- Bang kinh nghiệm đứng lớp và bôi dưỡng ôn thi học sinh dai tra lop 9 ,

những năm Ìrđớc đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một

cach pl nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tông

ae đôi diện của tứ giác băng 180” Hay HS cứ phải đưa về tông hai góc đôi

i

Cổ Sn bằng 180” nên đài, nhiều khi dẫn đến sai

- Băng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp

chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180° trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả

của tứ giác nội tiếp

https://plus.google.com/+DayKèmQuyNhơn http://daykemquynhon.blogspot.com

- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiên của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong Huyện

- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các >

buôi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bôi dưỡng học sinh giỏi Ô

- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến Tà

các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các, phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

Từ các phương pháp trên đây đối chiêu với lý luận và thực tế fồi rút ra được kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bởi nội

- Địa điểm: ccc xà EN:tgft4fipi012090/59

PHAN B: NOI DUNG

I THUC TRANG CUA VAN DE

iE Về con nguoi:

- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm dé hoc

hỏi trao đôi vân đê nảy sinh trong quá trình nghiên cứu |

- Giáo viên mới ra nghê dạy toán đê đê xuât câu hỏi : “Tại sao lại có oath

chứng minh tứ giác nội tiếp như thê ? Trong một bài toán cụ thể” Q ;

- Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh dai tra) lop 9 THC5S

Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối ø kiến thức tôi

chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói Sa ‘ike nội tiếp , quỹ tích cung chứa góc Nghiên cứu chủ yếu cách tìm ror ø pháp chứng minh các

{ điểm cùng thuộc một đường tròn để phục vụ luận của bài toán có sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp

II MỘT SÓ GIẢI PHÁP THỰC my TÀI

citi hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và

€4o) ngoại tiếp tứ giác ABCD

1.2.Định lý

* Trong một tứ giác nội tiếp tông số ẩo hai góc đối diện bằng 180"

* Nếu một tứ giác có tông số đo hai góc đối diện bằng18Œ' thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn

https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon

1.3 Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

- _ Tứ giác có tông hai góc đối bằng 1801

- _ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CS

- Tứ giác có hai đỉnh kê nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh condeh dưới

1.4 Một số bài toán hay va khó vận dụng phương pháp tứ gs tiếp

Chứng mình nhiêu điểm cùng nằm trên một đường ` Chứng mình đường tròn đi qua một điềm co định

Chứng mình quan hệ giữa các đại lượng w®

Chứng mình tứ giác nội tiếp đường roth ten quỹ tích một điểm

Chứng mình tứ giác nội tiếp duo’ n dé dung hinh

Két hop voi tinh chat cua tir git RSI tiép ta có : điều kiện cần va đủ đề tứ

giác ABCD nội tiếp trong đường trồn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên

Với cách hệ thống ,hoể như trên, học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và

từ đó nhận biết gee tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sử

dụng nhanh các tí ất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học

Bài toán 2 Chứng minh răng điều kiện cần và đủ đề tứ giác ABCD nội tiếp một

ce * Mot so vi du minh hoa:

‹S Trong phân ví dụ này, mỗi ví dụ được trình bày theo hướng phân tích để

oO tìm ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phần trình bày lời giải trên cơ

https://plus.google.com/+QayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’,

CC" Chứng minh tứ giác BCB’C’ noi tiếp Ồ

OB' là đường trung tuyên ứng với cạnl-hùyền

Xét ABC’C c6 : Z BC’C = 90° (GT) ` Tương tự trên = OC” = OB = OC = ft

Tir (1) va (2) > B,C’, B’, Ce (Os

=> 0 BC’B’C néi tiép đường tồ Cách 2: Tacó: BB’ LAC nz BB’C = 90”

CC’ | AB (GT) => ZBC’C = 90°

> B,C cing thin cạnh BC dưới một góc vuông

= B.C Ga trén duong tron duong kinh BC Hay 9 BỀ BC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Phuong phapQ:’Dua vao dinh lý

b/ Tia AO cat (O) 6 D va cat B’C’ 61

Chứng minh tứ giác BDIC' nội tiếp

(Tống hai góc đối của tứ giác nội tiếp <>

Ma: ZC =ZD (hai géc néi tigpctthg chin cung AB)

=> ZD+ZBCI=180° &

=> 9 BDIC' nội tiếp đườy( Ìòn

Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích/cửng chứa góc

Cho A ABC a nội tiếp (O) Trên

tia đối của lây điểm M, trên tia đối của lia CA lây điểm N sao cho

SY Ta có : ⁄ MEP là góc có đỉnh năm bên trong (O)

=> ô AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh

M là điểm chính giữa của c

Nối M với D, M voi C ca pam

Chung mi Y PEDC noi

DC tai G; OH LAD tai H

Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên

Chứng minh:

* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc d6i Ta 86c vuong la:

AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp vì có peers tại một đỉnh bằng góc trong của định đôi diện x

AEFC; ancespeho BFGD

Thật vậy: Xét tt.giac AEFC

Ta có: ZE œ EOB (cùng phụ với Z ABO)

„` * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180!

+)“ _ Thật vậy: Tacó: “OEH = ⁄OAH ( vì cùng chắn cung OH)

ra 4 điềm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm một đường tròn Hai

đường tròn này có ba điềm chung la A, B, C thé nén-theo định lý về sự xác định

đường tròn thì chúng phải trùng nhau Từ đó a5 diém A, B, C, D, E cung

năm trên một đường tròn

các đường cao, ba trang điểm của

các đoạn thăng nỗi trực tâm với đỉnh đều ở en một đường tròn

S Ta có: ME là đường trung bình của AAHC

=> tứ giác MNDE là hình binh hanh (1)

14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial Đóng góp PDF bởi GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiép (O; TÀI |

Vì Z MID = 90° > Ie (O; OM) x:

Vi Z FLP = 90°; Z NKE=90°>L;Ke (O; OM), Vay ta cé : 9 diém M; K; E; P; D; I; N; F; Le (O; )

l i pa chứng minh)

1 Cho hình bình hành ABCD c6 ZAynhon Đường tròn tâm A bán kính

AB cắt đường thăng BC ở điểm thứ hai» Đường tròn tâm C bán kính CB cắt

đường thăng AB ở điểm thứ hai K g minh rang:

a DE= DK o>

b nam diém A, D, ck E cùng thuộc một đường tròn

{

2 Cho hai g tròn (O) và (O') ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyên chung

ngoài AB và A*B`, các tiếp tuyến chung trong CD và EEF (A, A',C,Ee (O); B,

B’,D, Fe 10) Goi M 1a giao diém ctia AB va EF, N 1A giao diém của CD va

A’B’ Hà giao diém của MN là OO' Chứng minh răng:

„OY MN L OO'?

b năm điểm O', B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn

c nam diém O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn

Bài toán 2 Chứng minh đường tròn đi qua môt điềm cô định

https://plus.google.com/+DayKemQuyNhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 1: Ta có thể xét thêm một điềm D cé dinh nao dé roi chung minh tir

giác ABCD nội tiếp đường tròn Từ đó suy ra điều phải chứng mình

Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi 20 chứng mình điểm đã chọn là điềm có định

b Ví dụ 1:

Cho đường tròn tâm O đường

kính AB, điểm C cố định trên

£

> ề đường tròn Đường vuông góc

Aj = K đối xứng với B qua C

Do B và C là hai điểm cô định nên suy ra K cô định

hai tiếp tuyến AB, AC với

một đường thăng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt

= hai đỉnh B và D cùng nhìn đ dưới một góc vuông

= ô EBOD nội tiếp đường ran)

=> ZBEO= Z BDO fWlug chắn cung OB) Chứng minh tương tỳ tà có : ô ODCEF nội tiêp đường tròn

=> ⁄/OFC =, O (2) (góc trong một đỉnh băng góc ngoài tại đỉnh đôi

Từ ()vă@) => ⁄OFEC = ⁄ BEO

vinh nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng

Cc

xO Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O có định ngoài tại đỉnh đối diện)

c Bài tập:

1 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC

không chứa A Vẽ (O;) di qua I va tiếp xúc với AB tai B, vé (O2) di qua I

va tiép xúc với AC tai C Goi K 1a giao điểm thứ hai của hai đường tròn