Nếu ta nhân thêm hệ số vào các thừa số ta sẽ đợc các thừa số mới mà tổng không đổi... Chứng minh rằng:... Phần III- kết luậnQua thời gian học tập theo hệ đào tạo tại chức Khoa Toán - Trờ
Trang 1A- một số vấn đề lý thuyết
A1 – Tính chất
A ≥ C > 0
B ≥ D > 0 A.B ≥ C.D
A2 - Bất đẳng thức Cô si
Bất đẳng thức đợc viết dới dạng khác nhau
(Chỉ áp dụng với các số không âm)
1) Dạng căn thức
b a b a
.
+
3
c b a
≥ + +
n
n
n
a a
a
2 1 2
2) Dạng lũy thừa
b a b
2
2
≥
+
c b a c b
3
3
≥
+ +
n
n
n a a a n
a a
a
.
2 1 2
+ + +
3) Hệ quả
a / Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
b / Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Nếu Thì
Trang 2B- các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng
C- cách giải các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức
Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a > 0, b > 0
Chứng minh rằng: (a+2)(b+2)(a+b) ≥ 16ab
* Phân tích và cách giải:
- Bất đẳng thức cần chứng minh là tích của 3 tổng dơng vì a>0, b>0 Do vậy ta có thể vận dụng bất đẳng thức Cô si kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:
B ≥ D > 0 Thì: A.B ≥ C.D
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
a
a+ 2 ≥ 2 2 <1>
b
b+ 2 ≥ 2 2 <2>
b a b
a+ ≥ 2 <3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
ab b a b
a b
a 2 )( 2 )( ) 8 2 2
≥ 16ab <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =2
Trang 3 Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0
+ + +
+
c b a c b a
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
3 a b c c
b
3
1 3 1 1
1
c b a a
a
- Nhân từng vế của <1> và <2> ta có:
3 3
.
1 9 1 1 1 ) (
c b a c b a c
b a c b
+ + +
+
≥ 9 <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c
* Nhận xét:
- Mở rộng từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Cho a1, a2, , an là các số dơng thì ta có:
2 2
1 2
1
1
1 1 )
a a
a a a
a
n
+ + + +
+ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a1 = a2 = = an
Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1
Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 ≥ 64
+
+
+
c b
a
Trang 4* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
4 2 4
1 +a=a+b+c+a≥ a b c <1>
4 2 4
1 +b=a+b+c+b≥ a b c <2>
4 2 4
1 +a=a+b+c+c≥ a b c <3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
(1 +a) ( 1 +b) ( 1 +c)≥ 64 a.b.c <4>
Vì a,b, c >0 nên abc > 0 Chia cả hai vế của <4> cho abc ta đợc:
64 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
≥ + +
+
c
c b
b a
a
⇔ 1 1 1 1 1 1 ≥ 64
+
+
+
c b
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c = 31
Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a ≥ 1, b ≥ 1
Chứng minh rằng: a b− 1 +b a− 1 ≤ ab
* Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x x
P
− +
= 1
2 1
Với 0 < x < 1
* Bài 3:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Xác định hình dạng của tam giác sao cho biểu thức:
c b a
c b c a
b a c b
a Q
− +
+
− +
+
− +
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
Trang 5 Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5
Chứng minh rằng: a2.b3≤ 108
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số dơng ta có:
5
3
b 3
b 3
b 2
a 2
a 3 3 3 2 2 5
1
≥
a+a +b+b+b
3 2 108
b a b a 5
1
≥ +
3 2 108
b a
⇔ a2.b3 ≤ 108 <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
3 2
b a
= , mà a + b =5 ⇔ a = 2 và b = 3
Ví dụ 2:
* Bài toán:
Tính số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức:
M = A.B2.C3 Đạt giá trị lớn nhất
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dơng ta có:
6
3
C 3
C 3
C 2
B 2
B
A 3
3 3 2 2 6
1
≥
+B+B +C +C +C A
3 2 108
C B
A 6
1
≥ + +B C A
3 2 108
C B
A
⇔
108
C B
A 30
3 2
⇔AB2C3 ≤ 108.306
Vậy M = AB2C3 đạt giá trị lớn nhất khi:
Trang 630 6
180 6
2
= B C A B C
A
= 300
= 900
Giá trị lớn nhất là : Mmax = 108.306
Ví dụ 3:
* Bài toán:
∈ 2
Π ,
0 và m,n là các sô nguyên dơng
Tím giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinmx.cosnx
* Giải:
- Nhận xét: Vì sin2x + cos2x = 1 ∀x nên ta viết:
2
cos
2 cos
2 sin .
2 sin cos sin 2 2 2 2 2 2 n x n x m x m x x x+ = + + + + + 2 m số hạng
2 n số hạng - áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 2 n m + số dơng ta có: 2 n m 2 n 2 m n m 2 2 2 2 2 n 2 m x cos x sin 2 n x cos .
2 n x cos
2 m x sin .
2 m x sin 2 + ≥ + + + + + +n m 2 m số hạng
2 n số hạng ⇔ ( ) 2 n m 2 n 2 m n m 2 2 2 n 2 m x cos x sin
x cos x sin 2 + ≥ + +n m ⇔ 2 n m 2 n 2 m n m 2 n 2 m x cos x sin
n m
2
+
≥ +
n 2 m n m 2
2
n 2 m
x cos
x sin n
m 2
≥
+
+n m
n 2
m n
m
n m
2 2
n 2
m x cos
x sin
n
m+
+
≤
Trang 7Vậy Giá trị lớn nhất của y là :
2 2
n 2
m max
n m
2 2
n 2
m y
n
m+
+
=
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
2 n
x cos 2 m
x
=
⇔ n.sin2x - m.cos2x = 0
⇔ n.(1 - cos2x ) - m.cos2x = 0
⇔ n - ( m + n ).cos2x = 0
⇔ cos 2 mn n
+
=
n m
n
cos
+
±
=
x
Trong đó :
n m
n arccos
+
=
α
Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Chứng minh rằng: ∀x,y∈R ta có:
x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y
* Bài 2:
Cho a, b, c là ba số không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
6 + + + ≤ +
a
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số
Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a ∈[0 2] ; b ∈[0 ; 4]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F = (2 - a).(4 - b).(3a + 2b)
Trang 8* Phân tích và cách giải:
- Ta có: 2 - a + 4 - b + 3a + 2b = 2a + b + 6 phụ thuộc vào a,b nên không thể vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số hạng này Nếu ta nhân thêm hệ
số vào các thừa số ta sẽ đợc các thừa số mới mà tổng không đổi
- Trong biểu thức có (3a + 2b), nên:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
1 ) 2 3 ).(
4 (
2 ).
2 (
3
⇔ 6F 143 3
≤
Vậy Giá trị lớn nhất của F là :
81
1372 max= =
F
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : 3.(2-a) = 2.(4-b) = 3a + 2b
→
3 5 9 4
=
=
b a
Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho x ∈[0 ; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
y = (1 - x)2 (1 + 4x)
* Giải:
- Ta có thể viết y = (1-x).(1-x).(1+4x)
Trang 9+ Để khử x ta dùng 2.(1-x) và 2.(1-x)
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
1 ) 4 1 ).(
1 (
2 ).
1 (
2
⇔ 3 4y ≤ 35
3 3 3 4
5
y ≤
Vậy Giá trị lớn nhất của y là :
108
125 max= =
y
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : 2.(1-x) = 1 + 4x → x=61
Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho x ∈[0 ; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x x
y = 1 −
* Giải:
- Ta có thể viết y = x2 ( 1 −x) = x.x.( 1 −x)
+ Để khử x ta dùng 2.(1-x)
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
1 ) 1 (
2
3 x x −x ≤ x+x+ −x
⇔ 3 2 x2 ( 1 −x) ≤ 32
3
2 ) 1 (
.
≤
−x x
⇔ x2 ( 1 −x) ≤274
→ y = x 1 −x = x2 ( 1 −x) ≤2 3
Trang 10Vậy Giá trị lớn nhất của y là : 3
9
2 max= =
y
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = 2.(1-x) → x = 32
Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c là ba số dơng có tổng là hằng số
Tìm a, b, c sao cho: A = ab + bc + ca là lớn nhất
* Bài 2:
Cho x ∈[0 ; 1]
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
n
x
* Bài 3:
Một mảnh vờn hình chữ nhật và một mảnh vờn hình vuông có chu vi bằng nhau Hãy cho biết mảnh vờn nào có diện tích lớn hơn ? Vì sao ?
* Bài 4:
Cho x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 6
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2y.(4 - x - y)
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp
Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho x, y, z > 0
Chứng minh rằng:
z y x x
z z
y y
x23 + 23 + 32 ≥ + +
* Phân tích và cách giải:
Trang 11- Xét số hạng thứ nhất y2
x
+ Để khử mẫu của 2
3
y
x
cần nhân với y2 , phía tổng thì chính là y + y + Ta thêm y + y vào số hạng thứ nhất:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3 2 3 2
3
y
y 3.
y
x y
y y
3
≥ +
y
x
<1>
+ Tơng tự vậy, thêm z+z vào số hạng thứ 2 và x+x vào số hạng thứ 3 ta có:
3.y 2z 2
3
≥ +
z
y
<2>
3.z 2x 2
3
≥ +
x
z
<3>
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
z y x z y x x
z z
y y
x
3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2
3
+ +
≥ + + + + +
x
z z
y y
x23 + 23 + 32 ≥ + + <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z
Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho x, y, z > 0
Chứng minh rằng:
z y x x
z z
y y
3 2 3 2 3
2
+ +
≥ + +
* Phân tích và cách giải:
- Xét số hạng thứ nhất 3
2
y x
+ Để khử tử số của 3
2
y
x
cần nhân với
x
1
và
x
1
Trang 12- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3 3 2 3
1 3.
1 1
x x y
x x
x y
x
≥ + +
x
2 3
2
≥ +
y
x
<1>
+ Tơng tự ta có:
x
1 3.
z
2 3
2
≥ +
x
z
<2>
z
1 3.
y
2 3
2
≥ +
z
y
<3>
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
z y x z y x x
z z
y y
3 2 3 2 3
2
+ +
≥ + + + + +
→ x y y z x z3 1x 1y 1z
2 3 2 3
2
+ +
≥ +
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : x = y = z
Nhận xét: Mở rộng từ hai bài toán trên với x, y, z > 0 ta có bài toán tổng quát
sau:
Bài toán tổng quát:
Cho a1, a2, , an là n số dơng thì ta có:
n n
n
a
a a
a a
a a
a
1
3 2
3 1 2
3
3 2 2 2
3
n
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
1 1
2 1
3 1
2 3
2 1 3
3
2 2 3
2
2
Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c, d là các số dơng Chứng minh rằng:
3 3 3 3 5
2 5
2 5
2
5
2
d
1 c
1 b
1 a
1
+ + +
≥ + +
+
a
d d
c c
b
b
a
* Bài 2:
Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng:
Trang 132 2 2 3 3
5
3
5
c b a 5
+ +
≥ + +
a
c c
b
b
a
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng
Từ bất đăngt thức Cô si ta có:
4 1 1 )
+
y x y
y x
9 1 1 1 )
+ +
z y x z y
z y x
Vận dụng kết quả trên để giải quyết một số bài toán
Ví dụ 1:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có :
9r
≥ + + b c
a h h h
Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đờng tròn nội tiếp của ∆ABC
* Phân tích và cách giải:
- Xem xét một quan hệ giữa các đờng cao ha ; hb ; hc và bán kính đờng tròn nội tiếp r
+ Dễ dàng chứng minh đợc :
r h h
h a b c
1 1 1
1
= + +
Thật vậy ta có diện tích của tam giác đợc tính là:
2
1 2
1 2
1 ).
.(
2
→
a h
r c b a
+
→
b h
r c b a
+
→
c h
r c b a
c
= +
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
Trang 14c b
a h
r h
r h
r c b
a
c b
+
+
+
+
c b a
1 1 1 1
= +
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
9 1 1 1 )
+ + +
+
c b a c b a
h h h h h h
r h h
h a b c
⇔ h a +h b +h c ≥ 9.r <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : h a =h b =h c
Hay a = b = c →∆ABC là đều
Ví dụ 2:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :
+ +
≥ + +
c
1 b
1 a
1 2.
c -p
1 b -p
1 a -p 1
Trong đó: a, b, c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi của ∆ABC
* Giải:
+ Ta có: 1 1 (p-a)4(p-b)=c4
+
≥
−
+
−a p b
a
4 c) -(p b) -(p
4 1
1
= +
≥
−
+
−b p c
b
4 a) -(p c) -(p
4 1
1
= +
≥
−
+
−c p a
+ Cộng từng vế <1>, <2>, <3> ta đợc:
≥
−
+
−
+
1 b
1 a
1 4.
1 1
1 2
c p b p a p
≥
−
+
−
+
1 b
1 a
1 2.
1 1
1
c p b p a p
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c, tức là ∆ABC đều
Trang 15 Ví dụ 3:
* Bài toán:
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :
2
C tg 2
B tg 2
A 9.tg 2
C tg 2
B tg 2
A
Trong đó: A, B, C là số đo các góc của ∆ABC
* Phân tích và giải:
+ Ta có:
2
C tg 2
B tg 2
A tg
2
A tg 2
C tg 2
C tg 2
B tg 2
B tg 2
A tg 2
C tg
1 2
B tg
1 2
A tg
= +
+
+ Dễ dàng chứng minh đợc:
1 2
A tg 2
C tg 2
C tg 2
B tg 2
B tg 2
A
Thật vậy:
2
C cotg 2
B 2
A
+
⇔
2
C tg
1 2
B tg 2
A tg -1
2
B tg 2
A tg
= +
2
A tg 1 2
C tg 2
B tg 2
C tg 2
A
2
B tg 2
A tg 2
C tg 2
B tg 2
C tg 2
A
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
9 2
C tg 1 2
B tg 1 2
A tg
1 2
C tg 2
B tg 2
A
+ +
Trang 16C tg
1 2
B tg
1 2
A tg 1
9 2
C tg 2
B tg 2
A tg
+ +
≥ + +
2
A tg 2
C tg 2
C tg 2
B tg 2
B tg 2
A tg
2
C tg 2
B tg 2
A tg 9 2
C tg 2
B tg 2
A tg
+ +
≥ + +
2
C tg 2
B tg 2
A tg 9 2
C tg 2
B tg 2
A
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
2
C tg 2
B tg 2
A
tg = = , tức là ∆ABC đều
Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng:
2
c b a 1 1
1 1 1
1 1 1
+
+ +
+ +
a c c b b a
* Bài 2:
Chứng minh rằng trong một tam giác ta luôn có :
c b a c b
a r r h h h
Trong đó: ha ; hb ; hc là các đờng cao hạ từ các đỉnh A, B, C
ra ; rb ; rc là bán kính đờng tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của
∆ABC
Trang 17Phần III- kết luận
Qua thời gian học tập theo hệ đào tạo tại chức Khoa Toán - Trờng Đại học s phạm
Hà Nội I và sau khi làm đề tài thực nghiệm chúng tôi đã tiếp thu và tích luỹ đợc nhiều kiến thức, đặc biệt là phơng pháp nghiên cứu khoa học
Nhờ sự hớng dẫn giúp đỡ chu đáo, tận tình của các thầy cô ở tổ phơng pháp giảng dạy - Khoa toán - Trờng Đại học s phạm Hà Nội - I, chúng tôi đã hoàn thành tiểu luận nghiệp vụ s phạm với đề tài Sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh
Trong tiểu luận này, chúng tôi đã tìm tòi, chọn lọc một hệ thống các bài toán điển hình để giải theo các dạng cụ thể Qua đó, nhóm thực hiện đề tài đã cùng nhau trao đổi, tích luỹ và bổ xung những kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn toán nói chung, đặc biệt là sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh ở các khối 8 , khối 9 và
bồi dỡng học sinh giỏi
Với mục đích nâng cao chất lợng dạy và học, tiểu luận này có thể sử dụng nh một tài liệu tham khảo để cùng chia sẻ kinh nghệm với các đồng nghiệp và làm tài liệu hớng dẫn sử dụng bất đẳng thức Cô si trong bài toán chứng minh cho học sinh khối 8 , khối 9
và học sinh giỏi
Chúng tôi - Nhóm thực hiện đề tài xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn tận tình của Thầy Nguyễn Tiến Tài cùng sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo tổ Phơng pháp giảng dạy-Khoa Toán, trờng Đại học s phạm Hà Nội - I đã bỏ ra nhiều công sức chỉ bảo, góp ý, sửa chữa và bổ xung để tiểu luận này đợc hoàn thành đúng thời hạn
Mặc dù chúng tôi đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để thực hiện tiểu luận nhng chắc chắn không tránh khỏi một số lỗi còn sót lại trong tiểu luận này nên cha đáp ứng
đ-ợc đầy đủ các nhu cầu cho ngời đọc Chúng tôi rất mong nhận đđ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và độc giả quan tâm !
Hải Dơng, ngày 20 tháng 2 năm 2003
Nhóm thực hiện:
1 Đỗ Văn Hoà
2 Nguyễn Lan Hơng
3 Bùi Thị Nga
4 Nguyễn Văn Tiến