TÀI LIỆU ÔN THI TOÁN LỚP 12

1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Xét chiề

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y= −2x2+4x+5 b) 2 5

x

y= + −x c) y x= 2−4x+3d) y x= 3−2x2+ −x 2 e) y= −(4 x x)( −1)2 f) y x= 3−3x2+4x−1g) 1 4 2

x y

y

x

= −

−n) 2 2 26

a) y= −6x4+8x3−3x2−1 b) 2

2

14

x y x

−

=

2 2

11

=

− + f) y x= + +3 2 2−x

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

00

a b c

00

a b c

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xácđịnh) của nó:

−

=+

a) y= − +5x cot(x−1) b) y=cosx x− c) y=sinx−cosx−2 2xTìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) củanó:

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y= + m+ x − m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +∞)

b) y x= 3−3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +∞)

c) mx

x m

4( 2)

− +∞

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình.

• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến

và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Giải các phương trình sau:

a) x+ x− =5 5 b) x5+x3− 1 3− x+ =4 0

c) x+ x− +5 x+ +7 x+16 14= d) x2+15 3= x− +2 x2+8

Giải các phương trình sau:

a) 5x+ +1 5x+ +2 5x+ =3 0 b) ln(x− = −4) 5 x

c) 3 4x+ x=5x d) 2 3 5 38x+ x+ x=

Giải các bất phương trình sau:

a) x+ +1 35x− +7 47x− +5 513x− <7 8 b) 2x+ x+ x+ +7 2 x2+7x<35Giải các hệ phương trình sau:

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(a; b)\{x0}

a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và cóđạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x).

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

• Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

• Tính f′′ (x) và f′′ (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=3 2x +1 b) 3 2

2 1

x y x

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Chú ý:

• Hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

− Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( )( )

a) y ax= 3+bx2+ +cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

13

b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3.c) 2

y= x −mx +mx− đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x x1− 2 ≥8

a) y=2x3+mx2−12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giácthứ nhất

c) y x= 3−3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng(d): 3x−2y+ =8 0

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x= ( )=ax3+bx2+ +cx d

• Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) + Ax + B.

• Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

P x y

− −

=

−Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồthị hàm số:

a) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song songvới đường thẳng y = –4x + 1.

b) y=2x3+3(m−1)x2+6 (1 2 )m − m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trênđường thẳng y = –4x

c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc vớiđường thẳng y = 3x – 7

d) y x= 3−3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đườngthẳng (∆): 1 5

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

• Tính f′ (x).

• Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

x y x

−

=+ trên [0; 4]

11

x x y

x x

− +

=+ − trên [0; 1]

y= x− x+

d) y=cos2x−2sinx−1 e) y=sin3x+cos3x f) 2

11

x y

S

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )

D f x =m D f x =M Khi đó: 1) Hệ phương trình f x( )

4) Bất phương trình f(x) ≥ α đúng với mọi x ⇔ m ≥ α.

5) Bất phương trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β.

Giải các phương trình sau:

a) 4x− +2 44− =x 2 b) 3 5x+ x=6x+2 c) 5 5 1

(1 )

16

x + −x =Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx− x− ≤ +3 m 1 có nghiệm b) (m+2)x m x− ≥ +1 có nghiệm x ∈ [0; 2].c) m x( 2− + ≤x 1) x2+ +x 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1]

1 Định nghĩa:

Điểm U x f x( 0; ( )0 ) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)

chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tạiđiểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

a) y x= 3−3x2+3mx+3m+4; I(1; 2) b) 3 ( 1) 2 ( 3) 8

x

y= − + m− x + m+ x− ; I(1; 3)c) y mx= 3+nx2+1; I(1; 4) d) y x= 3−mx2+nx−2; 2

; 33

x mx y

x

=

+Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:

a) 22 1

1

x y

x y x

+

=

2 2

1

y x

−

=+d) 22 1

=

2 2

2 51

31

y x

a) y x= 4−2x3−6x2+mx+2m−1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)

• Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các

x y

x

+

=

−d) 2 4 3

x y

a) 2

4 5

x y

=

29

x y

4 51

y x

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

− +

=

−Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

a) y= x2−4x b)

2

4 29

x y x

2

x y

x y

+

=+ + −

+ −

=

−Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diệntích S đã chỉ ra:

x

=

− ; S = 4Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến haitiệm cận bằng một hằng số:

+ −

=

−

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′.– Tìm các điểm tại đó y′′ = 0 và xét dấu y′′.+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phứctạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xáchơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

• Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

I

y

x 0

I

= − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệmcận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

y

x 0

y

x 0

y

x 0

• Các dạng đồ thị:

a.a′ > 0 a.a′ < 0

y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y′ = 0 vô nghiệm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3−3x2−9x+1 b) y x= 3+3x2+3x+5 c) y= − +x3 3x2−2d) y= −(x 1) (42 −x) e) 3 2 1

x

y= −x + f) y= − −x3 3x2−4x+2Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

x y x

+

=

34

x y

x

−

=

−d) 1 2

1 2

x y

x y x

−

=+Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

+ −

=+

11

x y

x

=

2 21

y x

−

=+

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔ Phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

2 4

x y x

3 1

x y x

2 1

22

x y x

1313

− cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= − +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx= 3+3mx2− −(1 2 )m x−1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y= −(x 1)(x2−mx m+ 2−3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) y x= 3+2x2−2x+2m−1;y=2x2− +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x= 3+2x2−m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4−2x2−1;y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x= 4−m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x= 4−(2m−3)x2+m2−3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về mộttrong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m

• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

• Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Dạng 3: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = kx + m

• Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

• Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)d: y = m(x – x0) + y0

• d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

• Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

• Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

Chú ý:

• Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: α≤ x ≤ β thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với α≤ x ≤ β.

• Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m sốnghiệm của phương trình:

a) y x= 3−3x+1;x3−3x+ − =1 m 0 b) y= − +x3 3x−1;x3−3x m+ + =1 0c) y x= 3−3x+1;x3−3x m− 2−2m− =2 0 d) y= − +x3 3x−1;x3−3x m+ + =4 0

yc

m > 0

m = 0

m < 0 d I

IV (–)

(+) M

x

e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0

2

x

y= − + x + x − x − + m= f) y x= 4−2x2+2;x4−2x2− + =m 2 0Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m sốnghiệm của phương trình:

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T) Dùng

đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

f) ( ):C y x2 1; ( ):T y x2 1; (m 1)x2 2x 1 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x−3y=0.c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2

3x −(m+2)x m+ + =2 0Cho hàm số ( ) 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng x−2y=0.c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

2x −(m+1)x m+ + =1 0Cho hàm số ( ) 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1)

c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2(1−m x) − −(1 m x) + =1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+ + =cx d 0(a ≠ 0) (1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+ +cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

• Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm ⇔ (C) và Ox có 1 điểm chung

• Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

• Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

• Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

⇔ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

(C) y

CĐ

y

A x

0 o x

1

B x'

CĐ

x 0 x' 0 B

CĐ

y

A o

x 1

x A x B x C C

(C)

y CĐ y

A

a < 0

y CT B

f(0)

Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:

a) x3−(m+1)x2−(2m2−3m+2)x+2 (2m m− =1) 0 b) x3−3mx+2m=0

c) x3−(2m+1)x2+(3m+1)x m−( + =1) 0 d) x3−3x2+3(1−m x) + +1 3m=0Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x3−3mx2+3(m2−1)x m−( 2− =1) 0 b) x3−6x2−3(m−4)x+4m− =8 0

c) 2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+ − =2 m 0 d) 1 3

0

3x − + =x mTìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

a) x3−3mx2+3(m2−1)x m−( 2− =1) 0 b) x3−6x2−3(m−4)x+4m− =8 0

c) 1 3 5 2 4 7 0

3x −2x + x m+ + =6 d) x3−mx2+(2m+1)x m− − =2 0Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:

a) 2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+ − =2 m 0 b) x3−3mx2+3(m2−1)x m−( 2− =1) 0c) x3+3x2−9x m+ =0 d) x3−x2+18mx−2m=0

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của

tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0( 0; ( )0 )

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là:

y – y0 = f ′(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ

phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )'( ) '( )

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x) tại điểm M x y :0( 0 0; )

• Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ).

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

• Tính y′ = f′ (x) Suy ra y′(x 0 ) = f′ (x 0 ).

• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho trước.

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f′ (x 0 ).

•∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x 0 ) = k (1)

• Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của ∆.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m.

•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )'( )

• Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của ∆.

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:

+ ∆ tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα

+ ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) thì k = 1

− =

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f(x), biết ∆ đi qua điểm ( ; A x y A A)

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y′0 = f′ (x 0 ).

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y 0 = f′ (x 0 ).(x – x 0 )

•∆ đi qua ( ; A x y nên: y A A) A – y 0 = f′ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)

• Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của ∆.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ; A x y và có hệ số góc k: y – y A A) A = k(x – x A )

•∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

• Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y=3x3−x2−7x+1 tại A(0; 1) b) (C):y x= 4−2x2+1 tại B(1; 0)

c) (C): 3 4

2 3

x y

1

x y

x

−

=

− tại điểm B có yB = 4c) (C): 1

2

x y

x

+

=

− tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

d) (C):y=2x− 2x2+1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

e) (C): y x= 3−3x+1 tại điểm uốn của (C)

f) (C): 1 4 2 9

2

y= x − x − tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:

x

+

=

− tại điểm A có xA = 2 b) (C):y= x2−7x+26 tại điểm B có xB = 2

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác códiện tích bằng S cho trước:

a) (C): 2

1

x m y

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ có hệ số góc k được chỉ ra:

a) (C): y=2x3−3x2+5; k = 12 b) (C): 2 1

2

x y x

−

=

− ; k = –3 c) (C): 2 3 4

−

=

− ; d: y x=c) (C): 2 3

1

x y

+ −

=+ ; d: x – 2

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ tạo với chiều dương trục Ox gĩc α:

x m

+ tại điểm A cĩ yA = 0 và d: y x= −10.Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ đi qua điểm được chỉ ra:

x y x

+

=

− ; F(2; 3)g) (C): 2 3 3

− +

=

− ; H(2; 2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

( ) ( )'( ) '( )

(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình ax2+bx c px q+ = + cĩ nghiệm kép.

Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

a) ( ):C1 y x= 3+ +(3 m x) 2+mx+2; ( ):C2 trụchoành

1 Gọi ∆: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ).

u là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C 2 ).

•∆ tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

• Thế (2), (5), (6) vào (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b Từ đó viết phương trình của ∆.

2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó.

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:

a) ( ):C1 y x= 2−5x+6; ( ):C2 y= − +x2 5x−11

b) ( ):C1 y x= 2−5x+6; ( ):C2 y= − − −x2 x 14

c) ( ):C1 y x= 2−5x+6; ( ):C2 y x= 3+3x−10

VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó

tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f′ (x 0 ).

• Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C).

Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước:

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được

1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M ) ∈ d.

• Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M

•∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

• Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):

a) ( ):C y= − +x3 3x2−2; d: y = 2 b) ( ):C y x= 3−3x; d: x = 2

c) ( ):C y= − +x3 3x+2; d là trục hoànhd) ( ):C y x= 3−12x+12; d: y = –4

e) ( ):C y x= 4−x2−2; d là trục tung e) ( ):C y= − +x4 2x2−1; d là trục tung

Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

• Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – x M ) + y M

•∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

• Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

• Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f′ (x 1 ).f′ (x 2 ) = –1

x

= ; d: x = 1Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc vớinhau:

x m

=

+ ; d là trục hoànhTìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trụchoành;

VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyếntại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số

3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi

2) Chứng minh diện tích của ∆IAB là một hằng số

3) Tìm điểm M để chu vi ∆IAB là nhỏ nhất

∆OAB vuông cân:

4 HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số)

M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C m ) ⇔ y 0 = f(x 0 , m) (1)Xem (1) là phương trình theo ẩn m

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M

• Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M

Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm).

• Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M

• Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m): y = f(x, m) Cách 1:

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) của họ (C m ).

• Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

a) y=(m−1)x−2m+1 b) y mx= 2+2(m−2)x−3m+1

c) y=(m+1)x3−2mx2−(m−2)x+2m+1 d) y= −(1 2 )m x2−(3m−1)x+5m−2e) y x= 3+mx2−9x−9m f) y=(m−2)x3−mx+2

g) y=2mx4−x2−4m+1 h) y x= 4+mx2− −m 5

VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (C m): y = f(x, m) đi qua

• Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua.

M(x 0 ; y 0 ) ∉ (C m ), ∀m ⇔ y 0 = f(x 0 , m) vô nghiệm m (1)

• Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

• Dạng 1: (1) ⇔ Am + B = 0 vô nghiệm m ⇔ = ≠B A 00 (2a)

• Dạng 2: (1) ⇔ Am2+Bm C+ =0vô nghiệm m ⇔

2

000

A B C A

c) (Cm): 2 2

2

11

• Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M

Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

5 TẬP HỢP ĐIỂM

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất α.

• Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợpđiểm đó

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.

1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m

Có các trường hợp xảy ra:

F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiệncủa x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đó là giới hạn của quĩ tích

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) vớiđiều kiện của x hoặc y (ở bước 3)

Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ

thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức

để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình

F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho

a) (Pm): y=2x2−(m−2)x+2m−4 Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm)

b) (Cm): y x= 3−3mx2+2x−3m−1 Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm)

c) (Cm): y=2x3−3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm).d) (Hm): ( 1) 1

− Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm).

Cho (C) và (C′) Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng

1) Tìm m để (C) và (C′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B

2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB

−

=

+ và (C′): 2x y m− + =0d) (C): ( 2)2

1

x y

1) Tìm m để (C) cắt (C′) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC không đổi)

2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB

+ +

=+

a) Cho (C): 2

1

x y x

6 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )

Đồ thị (C′) của hàm số y= f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x= ( )

Đồ thị (C′) của hàm số y f x= ( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C′) Dùng đồ thị (C′) biện luận sốnghiệm của phương trình (1):

x y x

−

=

− ;

2 22

1

x y

x

=

− ; (C′):

21

x y x

=

− ; (m−2).x m− =0 (1)c) (C): 2 4 5

7 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên