Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P.. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A.. Vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn O;R, trong đó B,C là các tiếp
Trang 1UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012
MÔN : TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
y
A
Biết xyz=4, tính A
b, Tính chính xác B= 0
os36
c
Câu 2: ( 2 điểm)
a, Giải phương trình 2
8− +x 10+ =x x +2x+7
b, Vẽ đồ thị và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= − + +x 1 x 2
Câu 3: (1,5 điểm)
a, Giải hệ phương trình : 6 x 1 3 y 1 2 z 1 xyz 1
− = − = − = −
÷ ÷ ÷
b, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2
P a= +b là số nguyên tố P−5 chia hết cho 8 Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn 2 2
ax −by chia hết cho P Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường
thẳng d vuông góc với OA tại A Vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (O;R), trong đó B,C là các tiếp điểm Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định
b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c, Cho biết OA=2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác MBOC nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5(1,5 điểm)
a, Năm vận động viên mang số 1;2;3;4 và 5 được chia bằng mọi cách thành hai nhóm Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhóm ta luôn có hai vận động viên mà hiệu các số họ mang trùng với một trong các số mà người của nhóm đó mang
b, Cho , ,a b c>0 Chứng minh rằng a b c 2
b c + c a + a b >
Hết
Họ và tên: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN YÊN LẠC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012
MÔN : TOÁN
1,a
1 đ ĐKXĐ x,y,z≥0 Kết hợp xyz=4 ⇒x y z, , >0; xyz =2 0,25
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x , thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba
bởi xyz ta được.
xy
A
0,25
0,25
1,b
1đ Vẽ tam giác cân ABC tại A, µ
0
36
A= ,BC=1⇒ = =µB Cµ 720 Vẽ đường phân giác
CD, ta có tam giác ADC cân tại D, BCD cân tại C, AD=DC=CB=1
0,25
Kẻ DH ⊥AC Đặt AH=HC=x cos360 AH x
AD
AB=AC=2x;BD=2x-1
0,25
Xét tam giác ABC , CD là phân giác
2 2
2 4 2 1 0 2
DA AC
DB CB x
0,25
2
x− = ± ⇒ =x + ( Vì x>0)
Vậy 0 1 5
os36
4
2,a
1đ ĐKXĐ của phương trình là:
10 x 8
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
8− +x 10+ ≤x 1 +1 8− + +x 10 x =6
0,25
Mà 2 ( )2
2 7 1 6 6
Dấu = xảy ra
( )2
8 10
1
1 0
x x
Vậy nghiệm của phương trình là x=-1
0,25
2,b
1đ
Tính được
2 1 2
3 2 1
2 1 2
x x
x x
= − ≤ ≤
+ ≥
0,25
Trang 35 4
3 2 1 y
x 2
1 -1 -2 -3
Quan sát trên đồ thị ta thấy y≥3 Vậy GTNN của y=3 ⇔ − ≤ ≤2 x 1 0,25
3,a
0,75đ ĐKXĐ của hệ phương trình ; ;
0
x y z≠
Đặt 6 x 1 3 y 1 2 z 1 xyz 1
− = − = − = −
÷ ÷ ÷
3
0,25
a a a a a a a a
xy yz zx xyz xyz
Nếu xyz=1 thì x=y=z=1
Nếu xyz=-1 thì x=y=z=-1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1)
0,25
3,b
0,75đ
Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên)
Ta có ( )2 4 2 ( )2 4 2 ( 2 2) 4 2 8 4 4 2 8 4
ax k+ bx k+ ax bx a k+ x k+ b k+ y k+ P
(a4k+2 b4k+2).x8k+4 b4k+2(x8k+4 y8k+4) P
0,25
Mà 4k 2 4k 2 ( )2 2k 1 ( )2 2k 1 2 2
a + +b + = a + + b + Ma +b =P và b<P⇒x8k+ 4+y8k+ 4MP( )*
-Nếu trong hai số x,y có một số chia hất cho P thì từ (*) ta suy ra số thứ hai
- Nếu cả hai không chia hết cho P , theo định lý Fec- ma ta có
8k 4 8k 4 1 mod 8k 4 8k 4 2 mod
x + ≡ y + ≡ P ⇒x + +y + ≡ P mâu thuẫn với (*)
Vậy cả hai số x,y cùng chia hết cho P 0,25
4,a
1 đ
Trang 4A M
K H
C O
B
A
Chỉ ra HOK AOM g g( ) OH OK OA OK OH OM ( )1
OA OM
0,25
Xét tam giác BOM vuông tại B ⇒OB2 =OH OM ( )2 0,25
Từ (1) và (2)
2 2
OA OK R OK
OA
Vậy BC đi qua điểm K cố định 0,25
4,b
0,5 đ Ta có ·
0
90
OHK = ;
OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
0,25 0,25
4,c
1,5đ Tứ giác MBOC có hai đường chéo vuông góc nên S= 12OM BC. 0,25
Ta có OM ≥OA nên nhất khi M trùng A 0,25
BC nhỏ nhất khi OH lờn nhất , mà OH OK≤ nên BC nhỏ nhất khi H trùng K
hay M trùng A
0,25
Do OA=2R nên
2 2
Vậy 12 3 2 3
2
5,a
0,75đ
Ta chia các số 1;2;3;4;5 thành hai nhóm sao cho trong một nhóm hiệu hai số
không trùng với một số nào trong nhóm
Ta có hai số 2 và 4 không thể ở trong cùng một nhóm vì 4-2=2 Số 1 cũng không
thể ở trong cùng một nhóm với số 2 vì 2-1=1
0,25
Như vậy số 1 phải ở cùng một nhóm với số 4
Số 4-1=3 phải ở cùng nhóm với số 2 Ta có hai số 1 và 4 cùng nhóm; hai số 2 và
3 cùng một nhóm còn lại
0,25
Nhưng còn lại số 5, số này không thể ở trong bất cứ nhóm nào vì 1=4 và
5-2=3(Mâu thuẫn).Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,25
5b,
0,75đ Áp dụng BĐT AM-GM ta có a b c 2 a b c( ) a 2a
b c a b c
Chứng minh tương tự ta được
;
c a ≥ a b c a b ≥ a b c
0,25
2
a b c
b c c a a b a b c
+ +
Trang 5Dấu bằng xảy ra 0
a b c
b c a a b c
c a b
= +
⇔ = + ⇔ = = =
= +
(Trái với giả thiết) Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm
0,25
Chú ý: Đáp án chỉ nêu một cách giải ,cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.