PHềNG GD&DT YấN THÀNH đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán - Thời gian làm bài 120 phút Bài 1.. 3đ Cho tam giỏc ABC cõn tại A.. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm c
Trang 1PHềNG GD&DT YấN THÀNH
đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 (2đ)
Cho biểu thức:
A=
x
x x
x x
x
x
−
+
−
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a, Rỳt gọn biểu thức A
b, Tỡm x nguyờn để A cú giỏ trị nguyờn
Bài 2 (2đ)
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
B =
2
x
+ 1− x−2x2
Bài 3 (2đ)
Giải phương trỡnh: 2 2 4 8 2
x + − = −
Bài 4 (3đ)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và
BC, O là giao điểm của cỏc đường trung trực ∆ABC; G và E tương ứng là trọng tõm cỏc
∆ABC và ∆ACD Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I Chứng minh:
a, GH AD = DO HI
b, ∆ADG ~ ∆DOE Từ đú suy ra OE⊥CD
Bài 5 (1đ)
Chứng minh rằng nếu tam giỏc mà độ dài cỏc đường trung tuyến đều bộ hơn 1 thỡ diện tớch tam giỏc đú bộ hơn 0,67
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Hớng dẫn chấm toán 9
Trang 2C©u Néi dung §iÓm
1 a, Điều kiện : x≥ 0;x≠ 4;x≠ 9
( )( ) ( ( )( )( ) )
=
=
=
=
3
A
x
− − + + + − −
−
b, A
3
4 1
− +
=
x nguyên
3
4
−
⇔
x nguyên⇒ x − 3 ∈Ư(4)
* x− 3= 1⇒x= 16
* x− 3= -1⇒ x= 4(loại)
* x− 3= 2⇒x= 25
* x− 3= -2⇒ x= 1
* x− 3=4⇒ x= 49
* x− 3=- 4 : Không có x
Vậy x∈{1;16;25;49}
2 + ĐK: 1- x- 2x2 0 ⇔ (x+1)(1-2x) 0 ⇔- 1 x
2
1
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x2)
Ta có:
1.(1 2 ) 2
x x
x x
+ − − ≥ − −
2
x x
− − ≤
2
⇔ + − − ≤ +
⇔ ≤ −B 1 x2 ≤ 1 Dấu bằng xẩy ra
2
0 0
x x
x x
= − −
⇔ = ⇔ = Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0
Trang 32 2 4 8 2
x + − = − (1)
ĐK: x2 − 4 ≥ 0 2 ≤ x≤ 2 2
⇔ (2)
0
8 −x2 ≥ − 2 2 ≤x≤ − 2
(1)⇔
2
2 2
2 2
2 2
2 2
8 4
) 2 4 (
8 4
4 4 4
4 8
4
4 4
x
x x
x x
x x
) 4 ( 2 6 4 2
14 4 8
2
2
2
x x
x x
x
Đặt x2 − 4 =t(t≥ 0 ) (*) trở thành:t = 6 − 2t2 ⇔ 2t2 +t− 6 = 0 ⇔ ( 2t− 3 )(t+ 2 ) = 0
⇔
2
5 4
25 4
9 4 2
3 ⇔ 2 − = ⇔ 2 = ⇔ = ±
t = − 2 (loại)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là:
2
5
±
=
x
Trang 4a, ∆GHI ~ ∆ADO ⇒GH AD = DO HI
b, ⇒GH HI = DO AD; mà DE = 23DF=2 2
3HC= HI
GH = 1
2AG
GH AG AD
HI = DE = DO
Mặt khác góc DAG bằng góc ODE
Suy ra ∆ADG ~ ∆DOE
Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE⊥CD
A
G
I O E
Trang 55 - Ký hiệu:
+ Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là
ma, mb , mc và ha , hb , hc
+ Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c
+ Diện tích tam giác ABC là S
- Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1)
có aha < ama < a (2) vì ma < 1
Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)
mà a < 2
3(mb + mc) < 2 2 4
3 3 + = 3 (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1)
Tương tự b < 4
3, c < 4
3 Vậy từ (5) suy ra S < 0,666 hay S < 0,67
Ghi chó: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa