DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Nghiệm của nhị thức bậc nhất * Nghiệm của phương trình fx = 0 được gọi là nghiệm của nhị thức fx.. Phương pháp giải a Để xét dấu nhị thức fx = ax + b, ta thực hiện các bước sau: * Tìm

Chủ đề 1: DẤU CỦA NHỊ THỨC, TAM THỨC VÀ ỨNG DỤNG

§1 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

Nhị thức bậc nhất theo biến x là biểu thức có dạng f x  ax b , a b,  ,a 0

2 Nghiệm của nhị thức bậc nhất

* Nghiệm của phương trình f(x) = 0 được gọi là nghiệm của nhị thức f(x)

* Nhị thức f(x) = ax + b có một nghiệm duy nhất là b

a



3 Dấu nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a  0)

Quy tắc xét dấu nhị thức: “TRÁI TRÁI PHẢI CÙNG”, nghĩa là:

x –∞ b

a

 +∞

f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

B CÁC DẠNG TOÁN

Vấn đề 1 XÉT DẤU NHỊ THỨC

1 Phương pháp giải

a) Để xét dấu nhị thức f(x) = ax + b, ta thực hiện các bước sau:

* Tìm nghiệm của nhị thức;

* Xét dấu của hệ số a;

* Dựa vào định lí về dấu nhị thức để lập bảng xét dấu của nhị thức, từ đó suy ra dấu của nhị thức trên các khoảng chia

b) Để xét dấu biểu thức f(x) là tích hoặc thương của các nhị thức, ta thực hiện các bước sau:

* Tìm nghiệm của nhị thức có mặt trong f(x);

* Xét dấu từng nhị thức theo định lí về dấu nhị thức;

* Sử dụng quy tắc nhân, chia dấu để xác định dấu của f(x), từ đó suy ra dấu của f(x) trên

các khoảng chia

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức sau:

a) f x( )  2x 8 b) g x( )   6 3x c) h x( ) (  m2  9)x 3m

Giải a) Ta có: 2x    8 0 x 4

Bảng xét dấu: (a = 2 > 0)

x –∞ 4 +∞

f(x) – 0 +

Vậy f(x) < 0 khi x   ; 4 ; f(x) > 0 khi x   4; 

b) Ta có: 6 3 x  0 x 2

Bảng xét dấu: (a = 3 < 0)

x –∞ 2 +∞

f(x) + 0 –

Vậy f(x) > 0 khi x  ; 2 ; f(x) < 0 khi x2;

c) Ta có: ( 2 9) 3 0 32

9



m

Bảng xét dấu: (a m 2  9 0, m)

x –∞ m

m2

3 9

 +∞

f(x) – 0 +

Vậy f(x) < 0 khi 32

9





m x

m ; f(x) > 0 khi 32

9





m x

Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f x( )x4 10 2  x b)

( )

3 2





 

x

g x

2 2 3 2

g x

Giải a) Ta có: x    4 0 x 4; 10 2 x  0 x 5

Bảng xét dấu:

f(x) – 0 + 0 –

Vậy f(x) < 0 khi x   ; 4hoặc x5; ;

f(x) > 0 khi x  4;5;

f(x) = 0 khi x  4;x 5;

b) Ta có 1 + x = 0  x = –1; x = 0; –3 – 2x = 0  x = –3/2

Bảng xét dấu:

Vậy g(x) > 0 khi x   ; 3 / 2hoặc x  1;0 ;

g(x) < 0 khi 3; 1

2

   

x hoặc x0; ;

g(x) = 0 khi x 1;

g(x) không xác định khi 3 ; 0

2

3 Bài tập rèn luyện

Bài 1 Xét dấu các nhị thức sau:

a) f x( )  4x 3 b) g x( )   5 x c) h x( )  4x

Bài 2 Xét dấu các biểu thức sau:

a) f x( ) ( 2   x 3)(x 2)(x 4) b) f x( ) (2 x3) (5 4 )2  x

c) f x

( )

x

f x

x

2 ( ) 1

3 2



 



Vấn đề 2 ỨNG DỤNG DẤU NHỊ THỨC GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH HOẶC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

1 Phương pháp giải

- Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 trong đó f(x) là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất

- Lập bảng xét dấu f(x) (lưu ý sắp xếp các nghiệm của f(x) theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải, các giá trị trùng nhau chỉ ghi một lần)

- Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3 Giải các bất phương trình sau:

2

x



Giải

a) Đặt f x( )x3 (  x 1)

Bảng xét dấu:

1

f(x) – 0 + 0 – Vậy bất phương trình có nghiệm là x  1 hoặc x 3

Đặt ( ) 1

2

x

f x

x





 Bảng xét dấu:

x + 1 – 0 + +

2 – x + + 0 –

– 0 + || – Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S     ; 1 2;

3 Bài tập rèn luyện

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

3

2

x x

Bài 4 Tìm tập xác điịnh hàm số

(3 )(2 )

Vấn đề 3.GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Phương pháp giải:

( )

f x

a) Khử dấu giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa: khi 0

khi 0

A





b) Đồng nhất thức |A|2 = A2, A

c) Sử dụng bất đẳng thức:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ; ( ) ( 0) ( ) hay ( )

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 4 Giải các bất phương trình sau:

a) |4 – 3x| ≤ 8; b) |5 – 8x| ≥ 11; c) 2x  1 x 2

Giải

4 a) 4 – 3 8 8 4 – 3 8 12 3 4 4

3

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 4 4

3

  x

3

5 – 8 11 8 6

5 – 8 11 –8 16

2





x

x

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 3

4

 

x hoặc x2

c) * Ta có:

2 1 khi 2 1 0

2 1

2 1 khi 2 1 0

x





* Với 2x  1 0 ta có hệ bất phương trình

1

3.

2

3

x

x



Tập nghiệm 1 1;3

2

   

* Với 2x  1 0 ta có hệ bất phương trình

1

1

3

x x

x

x

 



 



Tập nghiệm 2 1 1;

3 2

S   



 

* Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 2 1;3

3

S S S   

 

3 Bài tập rèn luyện

Bài 4 Giải các bất phương trình sau:

a) 2x 5 3 b) 4 5 x 8 c) 2x  5 7 4x ;

d) x 3 2x5; e) 3x2 x  4 x 2 f) x   1 2 x 4

g) 3x   7 2x 28 h) x   2 x 3 i) x   4 x 3

§2 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f x( )ax2bx c a b c, ,  ,a 0

2 Nghiệm của tam thức bậc hai

* Nghiệm của phương trình ax2bx c = 0 gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

* Biệt thức  b24ac, biệt thức thu gọn  ' b'2acvới b b' / 2của tam thức bậc hai

3 Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a  0)

* ∆ < 0, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc 

* ∆ = 0, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x - b

2a



* ∆ > 0, dấu của f(x) được xét theo quy tắc: “TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG” nghĩa là

x –∞ x1 x2 +∞

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

B CÁC DẠNG TOÁN

Vấn đề 4 XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI

1 Phương pháp giải

Để xét dấu tam thức f(x) = ax2bx c , ta thực hiện các bước sau:

* Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức;

* Dựa vào số nghiệm và dấu của a, áp dụng định lí về dấu của tam thức để kết luận dấu

của tam thức

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

( )   2  3

f x x x c) f x( ) 2  x2 12x 18 d) f x( )   3x2 6x 3 e) f x( ) 2  x2 3x 7 f) 2

( )   3   5

Giải

( )   2  3

f x x x có hai nghiệm x = 1; x = –3, hệ số a = 1 > 0

Bảng xét dấu

f(x) + 0 – 0 + Vậy f x( ) 0 khi  x     ; 3 1; ; ( ) 0 khif x  x  3;1 ; f x( ) 0 khi  x  3; x 1

f x x x có hai nghiệm x = 4; x = –1, hệ số a = –1 < 0

Bảng xét dấu

f(x) – 0 + 0 – Vậy f x( ) 0 khi  x    ; 1 4; ; ( ) 0 khif x  x 1;4 ; f x( ) 0 khi  x  1; x 4 c) f x( ) x2 6x 9 có nghiệm kép x = –3, hệ số a = 2 > 0

Bảng xét dấu

f(x) + 0 +

Vậy f x( ) 0 khi  x      ; 3  3; ; f x( ) 0 khi  x  3

d) f x( )   3x2 6x 3có nghiệm kép x = 1, hệ số a = –3 < 0

Bảng xét dấu

f(x) – 0 – Vậy f x( ) 0 khi  x  ;1   1; ; f x( ) 0 khi  x 1

e) f x( ) 2  x2 3x 7có    47 0  , hệ số a = 2 > 0 nên f(x) > 0,  x

Bảng xét dấu

f(x) + Vậy f x( ) 0  với mọi x thuộc

( )   3   5

Bảng xét dấu

f(x) – Vậy f x( ) 0  với mọi x thuộc

Ví dụ 6: Xét dấu biểu thức sau: ( ) ( 7)(22 2 3)

2



 

f x

Giải Bảng xét dấu

x −∞ –2 1 7 +∞

x – 7 – | – | – 0 +

2

2x  x 3 + | + | + | +

2

2

 

x x + 0 – 0 + | + f(x) – || + || – 0 +

Kết luận: f(x) < 0 khi x  (−∞; −2)  (1; 7); f(x) > 0 khi x  (−2; 1)  (7; +∞); f(x) = 0 khi x = 7; f(x) không xác định khi x = –2; x = 1

3 Bài tập rèn luyện

Bài 5 Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f x( ) 2  x2 5x 2 b) f x( ) 4  x2 3x 1 c) f x( )   3x2 5x 1 d) f x( ) 3  x2 x 5 e) f x( )   4x2 8x 4 f) f x( )   3x2 5x 7

Bài 6 Xét dấu các biểu thức sau:

a) f x( ) (3  x2 10x 7)(4x2 5) b) f x( ) ( 3   x2  4 )(2x x2 x 1) c)

2

(3 )(3 ) ( )

2 1



f x

Vấn đề 5 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

1 Phương pháp giải

- Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng: f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 trong đó f(x) là tích hay thương của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai

- Lập bảng xét dấu f(x) Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 7 Giải các bất phương trình sau:

2

3 2

2

4 4

x



 a) Đặt f x( ) 

2 2

2

3 4 4



Bảng xét dấu:

x −∞ −2 −1 0 2 4 +∞

2

3 4

x  x + | + 0 − | − | − 0 +

2

x + | + | + 0 + | + | +

2

4 x − 0 + | + | + 0 − | −

f(x) − || + 0 − || − || + 0 − Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S     2; 1  2; 4

Đặt ( ) 2 1

4

x

f x

x





 Bảng xét dấu:

x −∞ −2 −1 2 +∞

x + 1 − − 0 + +

2

4

x  + 0 − − 0 +

+ || − 0 + || − Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S     ; 2  1; 2

c) 3x 4x   12 0 3 x 4 3   x 0 3 x x 6x 5 0

Đặt f x( ) =    2 

3 x x  6x 5 Bảng xét dấu:

x −∞ 1 3 5

+∞

3 – x + + 0 − −

2

6 5

x  x + 0 − − 0 + ( )

f x + 0 − 0 + 0 − Vậy bất phương trình có nghiệm là x 1 hoặc 3  x 5

3 Bài tập rèn luyện

Bài 7 Giải các bất phương trình sau:

a) 2

3 15 18 0

5 8 0

3 7 0

d) 2

( x 5x6)(3 2 ) x 0 e) 2

( x 2x7)(4x 3) 0 f) 1 2

4  3 3

2

6 9

0

4 3





x

2 2

3 1 1 1



( )

f x

j)x x

2

2

11 3 1

6 5

2

2 5 2  l)

x x

2 2

3 4 11 1

6

 

Bài 8 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)

2 2

5 4 5

y

x



  b)

5 2 5

y

3 5 2 5

y

Vấn đề 6 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN

1 Phương pháp giải:

Nguyên tắc chung là khử dấu căn Ta thường gặp các dạng cơ bản sau:

2

( ) 0 ( ) 0 (hay ( ) 0)

g x





( ) 0 hoặc ( ) ( ) ( ) 0 hoặc ( ) ( )

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 8 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a 2x2 10x  x2 9 (1) b 7 10 xx2  5 x (2)

c x22x15 x 4 (3) d x2 14x x 6 (4)

Giải

1hay 9

x



Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = 9.

 

x

 

             

b

hay

Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = 1.

 

6 0

6 0 3

x x

 



 

hoặc 0   x 14 hoặcx 18.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ; 14  18;

 

2

2 2

31

6

6 31

x





hoặc

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 5;31

6

  

3 Bài tập rèn luyện

Bài 9 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

d) x2  x 1 2x1; e) ; f) x2 9x 10  x 2;

Vấn đề 7 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUA ĐẾN THAM SỐ m

1 Phương pháp giải

Ta thường sử dụng các kiến thức sau để thiết lập một hệ bất phương trình theo ẩn là tham số cần tìm Giải hệ bất phương trình đó ta xác định được giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán

Nếu f(x) = ax 2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a  0) thì

1) f(x) = 0 vô nghiệm  ∆ b24ac< 0

2) f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt  Δ 0 

3) f(x) = 0 có hai nghiệm  Δ 0 

4) f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

5) f(x) = 0 có hai

nghiệm dương phân biệt

khi và chỉ khi

Δ 0 0 0



 



 





 



c a b a

6) f(x) = 0 có hai nghiệm

âm phân biệt khi và chỉ khi

Δ 0 0 0



 



 





 



c a b a

7) f(x) > 0, x   0

Δ 0

a





8) f(x) ≥ 0, x   0

Δ 0

a





9) f(x) < 0, x   0

Δ 0

a





10) f(x) ≤ 0, x   0

Δ 0

a





Lưu ý : Nếu trong yêu cầu đề bài không có số “2” hoặc chữ “hai” và hệ số a có chứa tham

số thì thường ta phải xét hai trường hợp a = 0 và a  0.

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 9 Cho phương trình 2  

2 2 4 8 =0(1)

mx  m x m Xác định m để phương trình

a) Vô nghiệm; b) Có nghiệm; c) Có hai nghiệm trái dấu; d) Có hai nghiệm phân biệt; e) Có hai nghiệm phân biệt đều âm; f) Có các nghiệm dương

Giải a) Pt(1) vô nghiệm

Nếu m = 0 thì (1) trở thành –4x + 8 = 0  x = 2

Vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán

Nếu m  0, thì pt(1) vô nghiệm khi và chỉ khi

0

m









2

0

2 hay 2

3 2

3

m m

m hay m







Tổng hợp hai trường hợp, m 2 hay 2

3

m

   thỏa yêu cầu bài toán

b) Pt(1) có nghiệm

Nếu m = 0 thì (1) trở thành –4x + 8 = 0  x = 2 Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

Nếu m  0, thì pt(1) vô nghiệm khi và chỉ khi

0

m









2

5 14 2 1 0

2

0 0

2 2

3

m m

m







  

Tổng hợp hai trường hợp, 2 2

3

m

   thỏa yêu cầu bài toán

c) Pt(1) có hai nghiệm trái dấu

Pt(1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0  m.(4m + 8) < 0  –2 < m < 0 Vậy –2 < m < 0 thỏa yêu cầu bài toán

d) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt

Pt(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

0

m







0 0

2 2

3

m m

m







  

Vậy với m  2;2  0

3 \



  thì thoả yêu cầu bài toán

e) Pt(1) có hai nghiệm phân biệt đều âm

Pt(1) có hai nghiệm phân biệt đều âm khi và chỉ khi

2

0

0

2 2

0

0

m

m

m m

b





















(hệ vô nghiệm)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán

f) Pt(1) có các nghiệm dương

Pt(1) có các nghiệm dương khi và chỉ khi

2

0

0

2 2

0

0

m

m

m m















  





Vậy    2 m 0thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 10 Tìm các giá trị của m để bất pt  2  

3m3 x  3m6 x  m 3 0 (1) vô nghiệm

Giải

Đặt f x( )   2  

3m3 x  3m6 x m 3

* m = 1: (1) trở thành −3x – 2 < 0 2

3

x

   Vậy m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

m

  bpt(1) vô nghiệm  ( ) 0, 0

Δ 0

a

3 3 0

3 6 4 3 3 3 0

m

 



 



2

20

0 hay 20

3 60 0

m





Vậy m > 20 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 11 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình   2  

4 5 20 2 1 0

nghiệm đúng với mọi x  

Giải

Đặt f(x) =   2  

* m = 4: f(x) = −9 < 0 Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán

Δ 0

a

4 0

5 20 4 4 2 1 0

m

 



 



2

4

4.

98

33 4

33 228 384 0

33

m m

m m







Vậy với 98 4

33  m thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 12 Chứng minh rằng phương trình 2  

4x 4 m5 x16m 2 0 (1)luôn có nghiệm với

mọi m

Giải

Δ' 4 m5 4 16m2 4m 8m92g m( )

Vì g(m) có a = 4 > 0 và  'g 0, m nên ’ = g(m) > 0, m

Cách 2 Ta có: Δ' 4 m28m92 2m 22.2 2 2m  284  2

2m 2 84 0, m

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

3 Bài tập rèn luyện

Bài 10 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :

a) 2

4( 2) 1 0

Bài 11 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) x2 – mx – 3m – 1 0; b) (3m + 1) x2 – (3m +1)x + m + 4 > 0

Bài 12 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu: x2(2m1)x m 2 m 0

Bài 13 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: (2m1)x23(m1)x m  1 0

Bài 14 CMR phương trình 2  

4x 4 m5 x16m 2 0 (1)luôn có nghiệm với mọi m

Bài 15 Tìm m để phương trình: (m1)x22(m1)x 1 0

a có nghiệm; b vô nghiệm; c có hai nghiệm; d có hai nghiệm trái dấu