tích phân suy rộng

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2

3 T ÍNH CHẤT CHUNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 VÀ 2

4 GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f (x)dx

f (x) trên [a, +∞) và ký hiệu là

Z +∞

a

f (x)dx.

Đ ỊNH NGHĨA 1.2

b→+∞

Z b a

f (x)dx tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được

hoặc bằng ∞ thì tích phân suy rộng loại 1

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Nếu f (x) Ê 0,∀x ∈ [a,+∞), thì giá trị của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn được giới hạn bởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

C HÚ Ý

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng,

ta được nếu f (x) Ê 0,∀x ∈ [a,+∞) và tồn tại giới hạn hữu hạn và khác 0

Đ ỊNH NGHĨA 1.4

a→−∞

Z b a

f (x)dx tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được

hoặc bằng ∞ thì tích phân suy rộng loại 1

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Nếu f (x) Ê 0,∀x ∈ (−∞,b], thì giá trị của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là diện tích của hình phẳng vô hạn được giới hạn bởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

Đ ỊNH NGHĨA 1.5

trên mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại 1 của hàm f (x) trên (−∞,+∞) được xác định bởi

nếu cả hai tích phân ở vế phải đều hội tụ

không phụ thuộc lẫn nhau.

C ÔNG THỨC N EWTON -L EIBNIZ

Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F(x) trên

[a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Tích phân suy rộng loại 1

Z +∞

a

f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn

a

a→−∞ F(a) = F(−∞)

Z +∞

−∞

f (x)dx = ³ F(c) − lim

a→−∞ F(a) ´ + +

µ lim

−∞

Như vậy, tích phân I hội tụ.

Khi α < 1 ta có lim

x→+∞

1

x α−1 = +∞nên I phân kỳ Khi α = 1 ta có I = lim

T ÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 I

1 Cho f (x) khả tích trên mọi đoạn

[a, b] ⊂ [a,+∞) vàc > a.Khi đó tích phân

T ÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 II

D ẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

1 Ta chỉ xét những hàm f (x) Ê 0,∀x ∈ [a,+∞)

còn trường hợp f (x) É 0,∀x ∈ [a,+∞) thì ta đưa về hàm−f (x) Ê 0 vì

Đ ỊNH LÝ 1.1

Cho f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn

[a, b] ⊂ [a,+∞) sao cho 0 É f (x) É g(x), ∀x Ê a.

Chú ý. Bất đẳng thức 0 É f (x) É g(x), ∀x Ê a có thể chỉ cần đúng ∀x Ê c > a vì

Z c a

Ta có 0 < 1

x 2 + 2x + 2 <

1

x 2 , ∀x > 0. Tuy nhiên nếu xét

x dx phân kỳ nên I phân kỳ.

Trường hợp 2: Nếu α < 1 thì α = 1 − 2a,a > 0. Khi đó

x 1−a phân kỳ ⇒ I phân kỳ

Trường hợp 3: Nếu α = 1 thì đặt t = lnx Khi đó

T ÓM LẠI

1 Nếu α > 1 thì I =

+∞

R 2

dx

x α ln β x hội tụ nếu

β > 1, phân kỳ nếu β É 1.

Đối với hàm có dấu không đổi ta sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ Tuy

nhiên, với hàm có dấu tùy ý trong khoảng lấy tích phân thì ta sẽ sử dụng sự hội tụ

tuyệt đối

Đ ỊNH LÝ 1.3

đoạn [a, b] ⊂ [a,+∞)và tích phân suy rộng

1 + x 3 liên tục trên mọi đoạn

[1, b] ⊂ [1,+∞) nên khả tích trên mọi đoạn

[1, b]. Tuy nhiên, f (x) có dấu thay đổi trên

[1, +∞) nên ta xét

Z +∞

1 |f (x)|dx.

x liên tục trên mọi đoạn

[1, b] ⊂ [1,+∞) nên khả tích trên mọi đoạn

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức trên khi

Z b

1

cos 2x 2x dx

Z +∞

1

cos 2x 2x dx = I 1 − I 2

I 1 phân kỳ,I 2 hội tụ nên

Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng

[a, b) và không bị chặn khi x → b − Giả sử f (x)

khả tích trên mọi đoạn [a, η] ⊂ [a,b). Đặt

Φ(η) =

Z η a

f (x)dx

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

f (x)dx

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội

tồn tại thì tích phân suy rộng loại 2 phân kỳ

Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng

(a, b] và không bị chặn khi x → a + Giả sử f (x)

khả tích trên mọi đoạn [ ξ,b] ⊂ (a,b]. Đặt

Ψ(ξ) =

Z b

ξ f (x)dx

ĐỊNH NGHĨA 2.3

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội

tồn tại thì tích phân suy rộng loại 2 phân kỳ

Nếu hàm số f (x) không bị chặn khi x → c, với

c ∈ (a,b) thì tích phân suy rộng

f (x)dx

C ÔNG THỨC N EWTON -L EIBNITZ

Cho hàm số f (x) không bị chặn khi x → b −

nhưng có nguyên hàm là F(x) trên mọi đoạn

[a, η] ⊂ [a,b). Tích phân suy rộng loại 2

C ÔNG THỨC N EWTON -L EIBNITZ

Cho hàm số f (x) không bị chặn khi x → a +

nhưng có nguyên hàm là F(x) trên mọi đoạn

[ ξ,b] ⊂ (a,b]. Tích phân suy rộng loại 2

C ÔNG THỨC N EWTON -L EIBNITZ

Cho hàm số f (x) không bị chặn khi x → c

nhưng có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [a, c]

và nguyên hàm G(x) trên đoạn (c, b] f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, η] ⊂ [a,c) và

[ ξ,b] ⊂ (c,b] Ngoài ra, tồn tại giới hạn hữu hạn lim

V Í DỤ 2.1

1 Z

0

dx x

V Í DỤ 2.4

Z b a

dx (b − x) α , (a < b)

Nếu α = 1 thì I = lim

ε→0

Z b−ε a

dx (b − x) α hội tụ

Z b a

dx (b − x) α phân kỳ

liên tục trên nửa khoảng [ α,β) sao cho

u([ α,β)) ⊂ [a,b),g(α) = a,g(β − 0) = b − 0.

Đ ỊNH LÝ 2.2

đoạn [a, η] ⊂ [a,b) và không bị chặn khi

x → b − Nếu tích phân suy rộng

Tương tự đối với trường hợp hàm f (x) và

|f (x)| khả tích trên mọi đoạn[ ξ,b] ⊂ (a,b]và không bị chặn khi x → a +

D ẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Nếu hàm f (x) có dấu thay đổi trên [a, b)

(hoặc (a, b] ) thì ta xét sự hội tụ của hàm

|f (x)|

Đ ỊNH LÝ 2.3

đoạn [a, η] ⊂ [a,b) và không bị chặn khi

x → b − Ngoài ra, với x ∈ [a,b) luôn có

Đ ỊNH LÝ 2.4

Cho hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn

[a, η] ⊂ [a,b) và không bị chặn khi x → b − Ngoài ra, với

x ∈ [a,b) luôn có 0 É f (x),0 É g(x), lim

f (x) g(x) = λ

x liên tục trên mọi đoạn

[ ξ,1] ⊂ (0,2] nên khả tích trên mọi đoạn [ ξ,2].

Tuy nhiên, f (x) có dấu thay đổi trên (0, 2]

nên ta xét

Z 2

0 |f (x)|dx.

T IÊU CHUẨN C AUCHY

Đ ỊNH LÝ 3.1

mọi ∀ε > 0,tồn tại số δ(ε) Ê a sao cho với mọi

T IÊU CHUẨN C AUCHY

Đ ỊNH LÝ 3.2

kiện cần và đủ là với mọi ∀ε > 0, tồn tại số

δ(ε) Ê a sao cho với mọi ∀η 0 , η 00 ∈ (0, δ) luôn có bất đẳng thức

Đ ỊNH LÝ 3.3

Φ(x) =

Z x a

Đ ỊNH LÝ 3.4 (D ẤU HIỆU D IRICHLET )

D ẤU HIỆU A BEL

Z

−∞

f (x)dx

V Í DỤ 4.2

Tính I = V p.

3 Z

V Í DỤ 4.3

Tính I = V p.

1 Z

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE