tích phận mặt tich phan mat tich_phan_mat

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Trang 1

TÍCH PHÂN MẶT

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016

Trang 2

N ỘI DUNG

1 T ÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

2 T ÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 2 / 78

Trang 3

N ỘI DUNG

1 T ÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

2 T ÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

Trang 4

Cho mặt cong S trong không gian có phân

bố khối lượng không đồng đều theo diện

tích mặt cong của nó Sự phân bố này được

mô tả bởi hàm khối lượng trên một đơn vị

Hãy tính khối lượngM của mặt congS

Trang 5

Đầu tiên, chúng ta chia mặt cong S thành

ta sẽ được tổng Riemann của tích phân mặtloại một Như vậy, khối lượng của vật thểđược tính gần đúng là

Trang 8

M ẶT CONGSCHO BỞI PHƯƠNG TRÌNHz = z(x,y)

Trang 9

M ẶT CONGSCHO BỞI PHƯƠNG TRÌNHy = y(x,z)

Trang 10

M ẶT CONGSCHO BỞI PHƯƠNG TRÌNHx = x(y,z)

Trang 11

Tích phân mặt loại một Mặt cong S cho bởi phương trình x = x(y,z)

Trang 17

2 +p3 ln 2.

Trang 20

2 + (p3 − 1)ln2.

Trang 21

Tích phân mặt loại một Mặt cong S cho bởi phương trình x = x(y,z)

Trang 23

84 − 1

420

!

·

Trang 25

z = 0,z = 1.

Trang 26

Giải Mặt cong S được xác định bởi phương

Trang 30

Giải Vì Slà 1 phần tám mặt cầu

Trang 32

T ÍNH DIỆN TÍCH CỦA MẶT CONGS

Trang 33

VÍ DỤ 1.6

Tính diện tích của mặt S, với S là phần mặt phẳng z = x bị chặn bởi các mặt phẳng

x + y = 1,y = 0,x = 0.

Trang 35

Giải Mặt cong S được xác định bởi phương

2 ·

Trang 36

Tích phân mặt loại hai Mặt định hướng

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu F(x, y, z) có các

đạo hàm riêng cấp một F x0, F y0, F z0 liên tục và không

đồng thời bằng0trên S.

Đ ỊNH NGHĨA 2.2

Mặt cong S được gọi là mặt định hướng , nếu tại mọi điểm M(x, y, z) của S luôn xác định được pháp véc tơ đơn vị sao cho hàm véc tơ

Trang 37

Cho mặt cong S : F(x, y, z) = 0.

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu F(x, y, z) có các đạo hàm riêng cấp một F x0, F y0, F z0 liên tục và không đồng thời bằng0trên S.

Đ ỊNH NGHĨA 2.2

Mặt cong S được gọi là mặt định hướng , nếu tại mọi điểm M(x, y, z) của S luôn xác định được pháp véc tơ đơn vị sao cho hàm véc tơ

−

→n (M) = (n1(x, y, z), n2(x, y, z), n3(x, y, z))

liên tục trên S

Trang 38

Cho S : F(x, y, z) = 0. Khi đó pháp véc tơ đơn

vị của S là

−

(F x0) 2+ (F y0) 2+ (F z0) 2 · (F x0, F y0, F z0)

Trường hợp: mặt cong S : z = z(x,y) và có

Trang 39

−

(F x0) 2+ (F y0) 2+ (F z0) 2 · (F x0, F y0, F z0)

−

1 + (z x0) 2+ (z0y) 2· (−z0x , −z y0, 1)

Trang 40

−

(F x0) 2+ (F y0) 2+ (F z0) 2 · (F x0, F y0, F z0)

Trang 41

dưới Khi đó S : F(x, y, z) = z(x,y) − z = 0 và

−

1 + (z0x) 2+ (z0y) 2 · (z0x , z0y, −1)

Trang 42

dưới Khi đó S : F(x, y, z) = z(x,y) − z = 0 và

Trang 43

Bài toán: tính lượng chất lỏng đi qua bề mặt

Trang 44

Bài toán: tính lượng chất lỏng đi qua bề mặt

Trang 45

Giả sử mật độ của chất lỏng (khối lượng

gian không đổi theo thời gian.

Trang 46

Khi đó khối lượng của chất lỏng đi qua mặt

đơn vị thời gian là

ρ.−→v (kg/(m2.s)) = (P(M i ), Q(M i ), R(M i))

phẳng Như vậy, chúng ta có thể tính gần

một đơn vị thời gian là

< ρ.−→v (M i), − →n (M

i ) > ∆S i.

Trang 47

< ρ.−→v (M i), − →n (M

i ) > ∆S i.

Trang 48

< ρ.−→v (M i), − →n (M

i ) > ∆S i.

Trang 49

một đơn vị thời gian được tính gần đúng là

M i là→−n (M i ) = (cosα(M i), cosβ(M i), cosγ(M i)).

Trang 50

Do đó, khối lượng chất lỏng đi qua S theomột đơn vị thời gian được tính gần đúng là

M i là→−n (M i ) = (cosα(M i), cosβ(M i), cosγ(M i)).

Trang 51

Trang 53

Cho những hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

véctơ đơn vị của mặt Slà

−

→n = (cosα,cosβ,cosγ),với α,β,γ lần lượt là

mặt loại một

Ï

S

[P cos α + Qcosβ + Rcosγ]dS

P, Q, R trên mặt định hướng S.

Trang 54

Tích phân mặt loại hai Cách tính tích phân mặt loại hai

Đ ƯA VỀ TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

hướng lên trên Khi đó, phương trình của

Trang 55

hướng lên trên Khi đó, phương trình của

Trang 56

P(x, y, z(x, y) )(−z0x ) + Q(x,y, z(x, y) )(−z y0) + R(x,y, z(x, y))i.dxdy

Trang 57

hướng xuống dưới thì phương trình của

Trang 58

Trang 59

Nếu pháp véc tơ đơn vị→−n của mặt congS

Trang 60

P(x, y, z(x, y)).z x0+ Q(x, y, z(x, y)).z0y + R(x, y, z(x, y))(−1)i.dxdy

Trang 62

T ÍNHI3

I3= Ï

Trang 63

T ÍNHI3

I3= Ï

Trang 64

Trang 65

Trang 66

Tia Oz có véc tơ chỉ phương đơn vị là

Trang 67

−

1 + (z0x) 2+ (z0y) 2 · (z x0, z0y, −1) cosγ = < −→n ,

Trang 68

Trang 69

−

1 + (z0x) 2+ (z0y) 2 · (z0x , z0y, −1) cosγ = < −→n ,

Trang 70

Nếu pháp véc tơ đơn vị→−n của mặt congS

−

1 + (z0x) 2+ (z0y) 2 · (z0x , z0y, −1) cosγ = < −→n ,

Trang 71

T ÍNHI3

Dấu "+" nếu pháp véctơ tạo với chiều

Dấu "-" nếu pháp véctơ tạo với chiều

Trang 72

T ÍNHI3

Trang 73

T ÍNHI3

Trang 74

T ÍNHI3

Trang 75

T ÍNHI1

Trang 76

T ÍNHI1

Trang 77

T ÍNHI1

Trang 78

T ÍNHI1

Trang 79

T ÍNHI2

Trang 80

T ÍNHI2

Trang 81

T ÍNHI2

Trang 82

T ÍNHI2

Trang 84

x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, trong đó S mặt

phía ngoài của nửa mặt cầu

x2+ y2+ z2= 9, z Ê 0.

Trang 85

Trang 86

S : z = p9 − x2− y2 S có pháp véc tơ đơn vị

hướng ra ngoài cùng phía với trục dương

của tia Oz (z Ê 0) Hình chiếu của Sxuống

Trang 87

Trang 89

T ÁCH THÀNH 3 TÍCH PHÂN I = I1+ I2+ I3

Tính I3: S : z = p9 − x2− y2 S có pháp véc tơ

đơn vị hướng ra ngoài cùng phía với trục

dương của tia Oz(z Ê 0) nên γ là góc nhọn

D xy.

I3= Ï

Trang 90

Trang 91

Trang 92

Tích phân mặt loại hai Cách tính tích phân mặt loại hai Tính I1: S : x = ±p9 − y2− z2

Trang 94

Tích phân mặt loại hai Cách tính tích phân mặt loại hai Tính I2: S : y = ±p9 − x2− z2

Trang 97

Cho S làmặt kín.Ω là vật thể được bao

Trang 98

Dấu 00 +00 nếu hướng của pháp véctơ với mặt

phía trong Ω

H ÌNH : Pháp véc tơ của mặt cong kínS

Trang 99

(y − x)dydz + (z − y)dzdx + (x − z)dxdy,

trong đó S là mặt phía ngoài hình lập

phương −1 É x É 1, −1 É y É 1, −1 É z É 1.

Trang 100

(y − x)dydz + (z − y)dzdx + (x − z)dxdy,

trong đó S là mặt phía ngoài hình lập

phương −1 É x É 1, −1 É y É 1, −1 É z É 1.

Trang 101

Tích phân mặt loại hai Ví dụ

Ω(−1 − 1 − 1)dxdydz = −3.23= −24.

Trang 102

Vì S là mặt phía ngoài hình lập phương

−1 É x É 1, −1 É y É 1, −1 É z É 1 nên S là mặt

kín có pháp véc tơ hướng ra phía ngoài

hình lập phương Theo công thức O - G,

Trang 103

ydydz + xydzdx − zdxdy, trong

đó S là mặt biên phía trong của vật thể xác định bởi x2+ y2É 4, 0 É z É x2+ y2.

Trang 104

ydydz + xydzdx − zdxdy, trong

đó S là mặt biên phía trong của vật thể xác định bởi x2+ y2É 4, 0 É z É x2+ y2.

Trang 105

mặt kín có pháp véc tơ hướng vào phía

trong vật thể Ω

Theo công thức O - G, ta có

I =

− Ñ

Trang 106

Vì S là mặt phía trong của vật thểΩ nên S là

mặt kín có pháp véc tơ hướng vào phía

trong vật thể Ω Theo công thức O - G, ta có

Trang 108

Trang 109

Trang 110

Vì S là mặt phía trong của vật thểΩ giới hạnbởi 0 É z É 4 − x2− y2 nên S là mặt kín có pháp

véc tơ hướng vào phía trong vật thể Ω

I =− Ñ

Trang 112

Trang 113

mặt kín Do đó ta phải thêm vào mặt

S1: z = 1với hướng của pháp véc tơ đơn vị

hướng xuống dưới Do đó theo công thức

Trang 114

Vì S là phần mặtz = 2 − x2− y2 nên S chưa làmặt kín Do đó ta phải thêm vào mặt

S1: z = 1với hướng của pháp véc tơ đơn vịhướng xuống dưới Do đó theo công thứcO-G, ta có

Trang 115

Cho S trơn, có định hướng với biên là

Trang 116

Trang 117

C

P(x, y, z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz =

= Ï

¸

dS.

Trang 120

Tích phân mặt loại hai Công thức Stokes

kim đồng hồ nên hướng của pháp véc tơ

phía trên Pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S

Trang 121

Vì hướng của đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng của pháp véc tơ

phía trên Pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S

là→−n = (0,0,1). Theo công thức Stokes, ta có

Trang 122

Trang 124

Vì hướng của đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng của pháp véc tơ

lên phía trên Do đó, pháp véc tơ đơn vị với

¶

= (cos α, cos β, cos γ) và→−n sẽ

Trang 125

Theo công thức Stokes, ta có

S

· 1.

µ

− p12

¶ + 3.

µ 1 p 2

¶¸

dS =

= − Ï

D xy

p 2.

q

1 + (z x0) 2+ (z0y) 2dxdy =

= − Ï

Trang 126

S

· 1.

µ

− p12

¶ + 3.

µ 1 p 2

¶¸

dS =

= − Ï

D xy

p 2.

q

1 + (z x0) 2+ (z0y) 2dxdy =

= − Ï

Trang 127

S

· 1.

µ

− p12

¶ + 3.

µ 1 p 2

Trang 128

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE

Định dạng
Số trang	128
Dung lượng	9,04 MB